Local controllability of 1D linear and nonlinear Schr\"odinger equations with bilinear control

We consider a linear Schr\"odinger equation, on a bounded interval, with bilinear control, that represents a quantum particle in an electric field (the control). We prove the controllability of this system, in any positive time, locally around the ground state. Similar results were proved for particular models (by the first author and with J.M. Coron), in non optimal spaces, in long time and the proof relied on the Nash-Moser implicit function theorem in order to deal with an a priori loss of regularity. In this article, the model is more general, the spaces are optimal, there is no restriction on the time and the proof relies on the classical inverse mapping theorem. A hidden regularizing effect is emphasized, showing there is actually no loss of regularity. Then, the same strategy is applied to nonlinear Schr\"odinger equations and nonlinear wave equations, showing that the method works for a wide range of bilinear control systems

Détection et isolation de défauts actionneurs basées sur un modèle de l'organe de commande

Dans cette thèse nous proposons une nouvelle formulation de la procédure de détection et d'isolation de défauts provenant des actionneurs pour les systèmes dynamiques. Habituellement, un système de commande se compose de trois parties : les capteurs, le procédé et les actionneurs. L'actionneur est un dispositif interne avec sa propre structure et ses caractéristiques dynamiques. Dans la majorité des études, il est considéré tout simplement et d'une manière approximative comme des coefficients constants, mais ce type de formulation d'actionneur n'est pas efficace pour l'identification exacte des défauts issus des organes de commande pour les systèmes réels. Dans le but de s'approcher de la réalité et aussi pour améliorer l'efficacité du diagnostic, nous allons considérer l'actionneur comme un sous-système connecté en cascade avec le procédé. En utilisant cette nouvelle formulation, les défauts actionneurs peuvent être modélisés en les considérant comme étant un changement au niveau des paramètres internes de ce sous-système actionneur. Nous supposons que la sortie de l'actionneur qui représente aussi l'entrée du système dynamique est non mesurable, donc nous allons obtenir l'information sur les défauts actionneurs seulement à partir de la variable de sortie du procédé. Une question intéressante peut se poser lors de l'implantation de la procédure de diagnostic des défauts actionneurs: est ce que l'information sur les défauts actionneurs peut être complètement vue à la sortie du système dynamique ? Cet apport informationnel constitue le problème primordial pour concevoir la procédure de diagnostic désirée. Pour décrire cette nouvelle reformulation, nous avons introduit quelques notions sur les systèmes inverses et nous avons donné également une condition de rang pour l'inversibilté à gauche des systèmes linéaires. Le but de l'étude de ces notions est de trouver les conditions satisfaisantes qui vont permettre la détection de défauts provenant de l'actionneur. Pour l'isolation des défauts, nous avons utilisé une approche basée sur les observateurs par intervalles. En effet, cette méthode nous a permis d'isoler les défauts d'une manière très rapide. L'ensemble des résultats présentés ont été illustrés par un exemple de simulation sur un réacteur nucléaire montrant l'efficacité de la méthode pour l'isolation de défautIn this thesis we propose a new formulation of the procedure for fault detection and isolation from the actuators for dynamic systems. Usually, a control system consists of three parts: the sensors, the industrial process and the actuators. The actuator is a device with its own internal structure and its dynamic characteristics. In most studies, it is considered simply and in an approximate manner as constant coefficients, but this type of actuator formulation is not effective for the accurate identification of faults, from actuators for real systems. In order to approach the reality and also to improve the efficiency of diagnosis, we will consider the actuator as a subsystem connected in cascade with the process. Using this new formulation, actuators faults can be modeled by considering them as a change in the internal parameters of the actuator subsystem. We assume that the output of the actuator which is also the entrance of the dynamic system is not measurable, so we'll get the information on the faults actuators only through the output variable of the process. An interesting question may arise during the implementation of the diagnostic procedure for the faults actuators: is that information on faults actuators can be fully seen in the output of the dynamic system? This informational intake is the primary problem to design the desired diagnostic procedure. To describe this new formulation, we introduce some notions on inverse systems and we have also given a rank condition, for invertibility of left linear systems. The purpose of the study of these notions is to find satisfactory conditions that will allow the detection of faults from the actuator. For fault isolation, we used an approach based on interval observers. Indeed, this method allowed us to isolate faults in a very quick manner. The results presented were illustrated by an example of a nuclear reactor simulation showing the effectiveness of the method for fault isolatio

Contrôle et optimisation de systèmes physiques : application à la mécanique quantique et au confinement magnétique dans les stellarators.

This PhD manuscript deals with the optimization and control of several physical systems. It is divided into three parts.The first part is devoted to stellarators. This type of nuclear fusion reactor poses many challenges related to optimization. We focus on an inverse problem well known to physicists, modeling the optimal design of superconducting coils generating a given magnetic field. We conduct both a theoretical and a numerical study of an extension of this problem, involving shape optimization. Then, we develop a new method to prove the existence of optimal shapes in the case of hypersurface optimization problems. Finally, we study and optimize the Laplace forces acting on a current surface density. The second part of this manuscript deals with the control of finite dimensional quantum systems. We rigorously study the combination of the rotating wave approximation with the adiabatic approximation. First, we obtain the robustness of a population transfer method on qubits. The latter then allows to extend results of Li and Khaneja on the ensemble control of qubits by restricting to the use of a single control. We also present a second contribution, devoted to the analysis of a chattering phenomenon for an optimal control problem of a quantum system. Finally, the third part is dedicated to the proof of a small-time global null controllability result for generalized Burgers' equations using a boundary layer.Cette thèse porte sur l’optimisation et le contrôle de plusieurs systèmes physiques : elle est composée de trois parties.La première partie est consacrée aux stellarators. Ce type de réacteur à fusion nucléaire pose de nombreux défis reliés à l’optimisation. Nous nous sommes concentrés sur un problème inverse bien connu des physiciens, modélisant la conception optimale de bobines supraconductrices générant un champ magnétique donné. Nous avons conduit une étude théorique et numérique d’une extension de ce problème, portant sur une optimisation de forme. Nous avons ensuite développé une nouvelle méthode afin de prouver l’existence de formes optimales dans le cas de problèmes d’optimisation d’hypersurfaces. Nous avons enfin effectué l’étude et l’optimisation des forces de Laplace s’exerçant sur une densité surfaciquede courant.La deuxième partie porte ensuite sur l’étude du contrôle de systèmes quantiques de dimension finie. Nous avons étudié rigoureusement la combinaison de l’approximation de l’onde tournante avec l’approximation adiabatique. Dans un premier temps, nous avons obtenu la robustesse des méthodes de transfert de population sur les qubits. Cette dernière permet alors d’étendre des résultats de Li et Khaneja sur le contrôle d’ensemble des qubits en se restreignant à l’utilisation d’un seul contrôle. Nous présentons égallement une seconde contribution, consacrée à l’analyse d’un phénomène de chattering pour un problème de contrôle optimal d’un système quantique.Enfin, la troisième partie est dédiée à la preuve d’un résultat de contrôlabilité à zéro en temps petit pour des équations de Burgers généralisées grâce à l’utilisation d’une couche limite

Mathématiques pour l'ingénieur

National audience1. Introduction aux distributions. 2. Optimisation et LMI. 3. Systèmes stochastiques. 4. EDO non linéaires. 5. Calcul des variations. 6. Systèmes à retards. 7. Commande algébrique des EDP. 8. Platitude et algèbre différenetielle