Reconstructing Functions on the Sphere from Circular Means

The present thesis considers the problem of reconstructing a function f that is defined on the d-dimensional unit sphere from its mean values along hyperplane sections. In case of the two-dimensional sphere, these plane sections are circles. In many tomographic applications, however, only limited data is available. Therefore, one is interested in the reconstruction of the function f from its mean values with respect to only some subfamily of all hyperplane sections of the sphere. Compared with the full data case, the limited data problem is more challenging and raises several questions. The first one is the injectivity, i.e., can any function be uniquely reconstructed from the available data? Further issues are the stability of the reconstruction, which is closely connected with a description of the range, as well as the demand for actual inversion methods or algorithms. We provide a detailed coverage and answers of these questions for different families of hyperplane sections of the sphere such as vertical slices, sections with hyperplanes through a common point and also incomplete great circles. Such reconstruction problems arise in various practical applications like Compton camera imaging, magnetic resonance imaging, photoacoustic tomography, Radar imaging or seismic imaging. Furthermore, we apply our findings about spherical means to the cone-beam transform and prove its singular value decomposition.Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der Rekonstruktion einer Funktion f, die auf der d-dimensionalen Einheitssphäre definiert ist, anhand ihrer Mittelwerte entlang von Schnitten mit Hyperebenen. Im Fall d=2 sind diese Schnitte genau die Kreise auf der Sphäre. In vielen tomografischen Anwendungen sind aber nur eingeschränkte Daten verfügbar. Deshalb besteht das Interesse an der Rekonstruktion der Funktion f nur anhand der Mittelwerte bestimmter Familien von Hyperebenen-Schnitten der Sphäre. Verglichen mit dem Fall vollständiger Daten birgt dieses Problem mehrere Herausforderungen und Fragen. Die erste ist die Injektivität, also können alle Funktionen anhand der gegebenen Daten eindeutig rekonstruiert werden? Weitere Punkte sind die die Frage nach der Stabilität der Rekonstruktion, welche eng mit einer Beschreibung der Bildmenge verbunden ist, sowie der praktische Bedarf an Rekonstruktionsmethoden und -algorithmen. Diese Arbeit gibt einen detaillierten Überblick und Antworten auf diese Fragen für verschiedene Familien von Hyperebenen-Schnitten, angefangen von vertikalen Schnitten über Schnitte mit Hyperebenen durch einen festen Punkt sowie Kreisbögen. Solche Rekonstruktionsprobleme treten in diversen Anwendungen auf wie der Bildgebung mittels Compton-Kamera, Magnetresonanztomografie, fotoakustischen Tomografie, Radar-Bildgebung sowie der Tomografie seismischer Wellen. Weiterhin nutzen wir unsere Ergebnisse über sphärische Mittelwerte, um eine Singulärwertzerlegung für die Kegelstrahltomografie zu zeigen

Artificial Intelligence for Science in Quantum, Atomistic, and Continuum Systems

Advances in artificial intelligence (AI) are fueling a new paradigm of discoveries in natural sciences. Today, AI has started to advance natural sciences by improving, accelerating, and enabling our understanding of natural phenomena at a wide range of spatial and temporal scales, giving rise to a new area of research known as AI for science (AI4Science). Being an emerging research paradigm, AI4Science is unique in that it is an enormous and highly interdisciplinary area. Thus, a unified and technical treatment of this field is needed yet challenging. This work aims to provide a technically thorough account of a subarea of AI4Science; namely, AI for quantum, atomistic, and continuum systems. These areas aim at understanding the physical world from the subatomic (wavefunctions and electron density), atomic (molecules, proteins, materials, and interactions), to macro (fluids, climate, and subsurface) scales and form an important subarea of AI4Science. A unique advantage of focusing on these areas is that they largely share a common set of challenges, thereby allowing a unified and foundational treatment. A key common challenge is how to capture physics first principles, especially symmetries, in natural systems by deep learning methods. We provide an in-depth yet intuitive account of techniques to achieve equivariance to symmetry transformations. We also discuss other common technical challenges, including explainability, out-of-distribution generalization, knowledge transfer with foundation and large language models, and uncertainty quantification. To facilitate learning and education, we provide categorized lists of resources that we found to be useful. We strive to be thorough and unified and hope this initial effort may trigger more community interests and efforts to further advance AI4Science

Coordinate Independent Convolutional Networks -- Isometry and Gauge Equivariant Convolutions on Riemannian Manifolds

Motivated by the vast success of deep convolutional networks, there is a great interest in generalizing convolutions to non-Euclidean manifolds. A major complication in comparison to flat spaces is that it is unclear in which alignment a convolution kernel should be applied on a manifold. The underlying reason for this ambiguity is that general manifolds do not come with a canonical choice of reference frames (gauge). Kernels and features therefore have to be expressed relative to arbitrary coordinates. We argue that the particular choice of coordinatization should not affect a network's inference -- it should be coordinate independent. A simultaneous demand for coordinate independence and weight sharing is shown to result in a requirement on the network to be equivariant under local gauge transformations (changes of local reference frames). The ambiguity of reference frames depends thereby on the G-structure of the manifold, such that the necessary level of gauge equivariance is prescribed by the corresponding structure group G. Coordinate independent convolutions are proven to be equivariant w.r.t. those isometries that are symmetries of the G-structure. The resulting theory is formulated in a coordinate free fashion in terms of fiber bundles. To exemplify the design of coordinate independent convolutions, we implement a convolutional network on the M\"obius strip. The generality of our differential geometric formulation of convolutional networks is demonstrated by an extensive literature review which explains a large number of Euclidean CNNs, spherical CNNs and CNNs on general surfaces as specific instances of coordinate independent convolutions.Comment: The implementation of orientation independent M\"obius convolutions is publicly available at https://github.com/mauriceweiler/MobiusCNN

Magnetic Proximity Effects in Highly-ordered Transition Metal Oxide Heterosystems studied by Soft X-Ray Photoemission Electron Microscopy

Abstract: In this thesis, the magnetic proximity effect (MPE) in highly-ordered transition metal oxide (TMO) heterosystems composed of single crystals of ferrimagnetic (FIM) Fe3O4 and thin antiferromagnetic (AF) NiO layers has been investigated by Photoelectron Emission Microscopy using polarized soft x-rays (XPEEM). The systems have been prepared in-situ by Molecular Beam Epitaxy on single crystalline Fe3O4 substrates polished to various crystallographic surface orientations and conditioned by Ar sputtering and annealing in O2 background. The magnetic order was determined by vectorial magnetometry exploiting XMCD and anisotropic XMLD for single crystalline systems of cubic symmetry. Two major contributions to the MPE were identified: First, short-ranged interfacial exchange interactions create an ultrathin zone of altered magnetic structure near the interface. Second, long-ranged magnetoelastic interactions lead to a change of the magnetic structure on a larger scale, affecting the whole NiO adlayer. The influence of directional lattice strain on the magnetic order via magnetoelastic coupling was studied by means of samples with different crystallographic interface orientations. The strain appears to affect the AF stacking-directions in NiO as well as the coupling behaviour at the NiO/Fe3O4 interface. Additionally, the in-plane bonding anisotropy of the films leads to variations of the uncompensated magnetization induced in the NiO AF layer via exchange coupling. It was found, that the uncompensated magnetization resides directly at the interface, and the bulk of the NiO layers is compensated. XMCD sum-rule analysis of a NiO wedge on Fe3O4 (110) revealed extremal values for the Fe and Ni orbital moments for 1ML, possibly related to the reconstruction of the interface layer to NiFe2O4. Temperature-dependent measurements of the XMD contrast reveal lowered critical temperatures for both NiO and Fe3O4 due to finite size effects and interfacial coupling. Fits of the theoretically expected XMLD contrast to profiles of the exchangeinduced AF domain walls yielded a wall structure consistent with a simple coherent in-plane rotation model of the NiO spin-axis. In magnetically-annealed samples, the anisotropy of the Fe3O4 (110)/NiO interface was found to be altered, leading to non-crystallographic easy-axes. In a simple picture, the effect may be explained as a superposition of bulk and interfacial magnetocrystalline and magnetoelastic anisotropies. A highly-ordered Fe3O4 (110)/NiO[51Å]/Co[15Å] trilayer-system was found to exhibit the same composite anisotropy as mentioned before, and in addition a possibly roughness-driven perpendicular interlayer coupling between Co and Fe3O4.Zusammenfassung: In dieser Arbeit wurde der Magnetische Proximitätseffekt in hochgeordneten Übergangsmetalloxid-Heterosystemen bestehend aus ferrimagnetischen (FIM) Fe3O4 Einkristallen und dünnen antiferromagnetischen (AF) NiO Schichten mittels Weichr¨ontgen-Photoemissions-Elektronenmikroskopie untersucht. Die Schichtsysteme wurden in-situ mittels Molekularstrahlepitaxie auf einkristallinen Fe3O4-Substraten hergestellt, welche durch Ar-Sputtern und Tempern in Sauerstoff vorbereitet wurden. Die magnetische Ordnung wurde mittels vektorieller Magnetometrie unter Ausnutzung des Magnetischen Zirkulardichroismus (XMCD) und des anisotropen Lineardichroismus (XMLD) bestimmt. Zwei Hauptbeiträge zum Magnetischen Proximitätseffekt konnten identifiziert werden: Erstens wird durch kurzreichweitige Austauschwechselwirkung eine ultradünne Zone veränderter magnetischer Struktur nahe der Grenzfläche induziert. Zweitens führen magnetoelastische Wechselwirkungen zu einer Veränderung der magnetischen Ordnung auf größerer Skala, wodurch meist die gesamte NiO Schicht betroffen ist. Der Einfluss gerichteter Gitterverzerrungen auf den Magnetismus mittels magnetoelastischer Kopplung wurde an Hand von Proben mit verschiedenen kristallographischen Grenzfl ächenorientierungen untersucht. Die Verzerrung scheint sowohl die AF Stapelrichtungen in NiO als auch das Kopplungsverhalten an der Fe3O4/NiO Grenzfläche zu beeinflussen. Des weiteren führt die Bindungsanisotropie in der Grenzflächenebene zu Variationen der durch den Grenzflächenaustausch induzierten unkompensierten Magnetisierung in NiO. Ferner wurde beobachtet, dass die unkompensierte Ni-Magnetisierung direkt an der Grenzfläche lokalisiert ist, während das Innere der NiO Schichten kompensiert ist. Analyse der XMCD Summenregeln in einem NiO-Keil auf Fe3O4 (110) zeigte extremale Werte für das Fe- und Ni- Bahnmoment für etwa 1ML Schichtdicke, möglicherweise in Verbingung mit der Rekonstruktion der Grenzflächenlage zu NiFe2O4. Tempearaturabhängige Messungen des dichroischen Kontrastes zeigen erniedrigte kritische Temperaturen sowohl für NiO als auch für Fe3O4, in Folge von Finite-Size Effekten und Grenzflächenaustauschkopplung. Fits des theoretisch erwarteten XMLD Kontrastes an Linienprofile der austauschinduzierten AF Domänenwände in NiO ergaben, dass die Wandstruktur konsistent ist mit einem einfachenModell einer kohärenten Spinachsenrotation in der Schichtebene. In magnetisch getemperten Proben wurde eine veränderte Anisotropie der Fe3O4 (110)/NiO Grenzfläche festgestellt, welche nichtkristallographische leichte Achsen aufwies. In einem einfachen Modell könnte dieser Effekt als eine Überlagerung von Volumen- und Grenzflächenanisotropien magnetokristalliner und magnetoelastischer Natur angesehen werden. Schließlich wurde in einem Fe3O4 (110)/NiO[51Å]/Co[15Å] Dreifachschichtsystem die gleiche zuvor erwähnte Gesamtanisotropie gefunden, zusätzlich jedoch eine möglicherweise rauhigkeitsinduzierte senkrechte Zwischenschichtkopplung von Cobalt und Fe3O4

Spinful Algorithmization of High Energy Diffraction

High energy diffraction probes fundamental interactions, the vacuum, and quantum mechanically coherent matter waves at asymptotic energies. In this work, we algorithmize our abstract ideas and develop a set of rigid rules for diffraction. To get spin under control, we construct a new Monte Carlo simulation engine, GRANIITTI. It is the first event generator with custom spin-dependent scattering amplitudes for the glueball domain semi-exclusive diffraction, driven by fully multithreaded importance sampling and written in C++. Our simulations provide new computational evidence that the enigmatic glueball filter observable is a spin polarization filter for tensor resonances. For algorithmic spin studies, we automate the classic Laplace spherical harmonics inverse expansion, carefully define the geometric acceptance related phase space issues and study the harmonic mixing properties systematically in different Lorentz frames. To improve the big picture, we generalize the standard soft diffraction observables and definitions by developing a high dimensional probabilistic framework based on incidence algebras, Combinatorial Superstatistics, and solve also a new superposition inverse problem using the Möbius inversion theorem. For inverting stochastic autoconvolution integral equations or `inverting the proton', we develop a novel recursive inverse algorithm based on the Fast Fourier Transform and relative entropy minimization. The first algorithmic inverse results of the proton double multiplicity structure and multiparton interaction rates are obtained using the published LHC data, in agreement with standard phenomenology. For optimal inversion of the detector efficiency response, we build the first Deep Learning based solution working in higher phase space dimensions, DeepEfficiency, which inverts the detector response on an event-by-event basis and minimizes the event generator dependence. Using the ALICE experiment proton-proton data at the LHC at 13 TeV, we obtain the first unfolded fiducial measurement of the multidimensional combinatorial partial cross sections, the first multidimensional maximum likelihood fit of the effective soft pomeron intercept and the first multidimensional maximum likelihood fit of the single, double and non-diffractive component cross sections. Great care is taken with the fiducial and non-fiducial definitions. The second topic of measurements centers on semi-exclusive central diffractive production of hadron pairs, which we study with the ALICE data. We measure and fit the resonance spectra of identified pion and kaon pairs, which is crucial on the road towards solving the mysteries of glueballs, the proton structure fluctuations, and the pomeron.Suurenergiadiffraktio heijastelee luonnon perusvuorovaikutuksia, tyhjiötä ja kvanttimekaanisesti koherentteja aaltoja asymptoottisen suurilla energioilla. Tässä työssä teen abstrakteista ideoista algoritmeja ja kehitän joukon täsmällisiä sääntöjä suurenergiadiffraktiolle. Jotta spin ja kulmaliikemäärä saadaan haltuun, rakennan uuden avoimen lähdekoodin Monte Carlo -simulaatiokoneiston nimeltään GRANIITTI. Se on ensimmäinen törmäysgeneraattori, joka kykenee mallintamaan kattavasti spin-riippuvia relativistisia sironta-amplitudeja keskeisdiffraktion prosesseissa. Näitä hiukkassimulaatioita tarvitaan esimerkiksi CERN:in LHC-kiihdyttimellä tehtävissä kokeissa, joissa keskitytään niin kutsuttujen ”liimapallojen” (eng. glueballs) löytämiseen. Liimapallot ovat vahvan vuorovaikutuksen gluonihiukkasten muodostamia resonoivia kvanttitiloja, joilla on teoreettinen yhteys suurenergiadiffraktioon, mutta joita ei ole saatu kokeellisesti vielä yksikäsitteisesti havaittua. Tämä johtuu niiden monikomponenttiliiman kaltaisesta kvanttitilasta, jossa mukana voi olla myös kvarkkeja. Simulaatioiden avulla löydän uutta laskennallista todistetta sille, että liimapallosuotimena tunnettua arvoituksellista observaabelia ajaa resonanssien spin-polarisaatiotiheys. Suurena tavoitteena on kehittää suurenergiadiffraktion kokonaiskuvaa. Tätä varten esittelen uuden matemaattisen koneiston perustuen todennäköisyyslaskentaan ja kombinatorisiin insidenssialgebroihin. Kutsun tätä kombinatoriseksi superstatistiikaksi. Näin saadaan määriteltyä ja ratkaistua heti uusi inversio-ongelma jo tunnetun Möbius-inversiolauseen avulla. Jatkan inversio-ongelmien saralla ja näytän ensimmäisenä kuinka protoni-protoni -törmäyksissä syntyneiden varattujen hiukkasten todennäköisyysjakauma voidaan algoritmillisesti uudelleenorganisoida. Näin saadaan uusia näkökulmia suurenergiaprotonien monimutkaiseen rakenteeseen ja dynamiikkaan, jossa useat partonit protonin sisältä törmäävät samanaikaisesti. LHC-datan avulla saadut algoritmilliset tulokset ovat samansuuntaisia aiempien mallipohjaisten tulkintojen kanssa. Kehitän myös ensimmäisenä algoritmin, joka syväkorjaa lähes optimaalisesti mittauslaitteiston tehokkuusvasteen moniulotteisessa liikemääräavaruudessa törmäys törmäykseltä. Tämä algoritmi perustuu syviin neuroverkkoihin. Työn kokeellisessa osuudessa hyödynnetään työssä kehitettyjä menetelmiä ja algoritmeja LHC:n ALICE-kokeessa, käyttäen LHC-kiihdyttimen tuottamaa protoni-protoni -törmäysdataa 13 TeV:n massakeskipiste-energialla. Näin tehdään ensimmäinen kokonaisvaltainen pehmeiden törmäysten moniulotteinen fidusiaalimittaus ja ensimmäinen moniulotteinen diffraktiivisten vaikutusalojen suurimman uskottavuuden fidusiaalianalyysi. Lisäksi analysoidaan diffraktiofenomenologian oleellisia parametreja. Toinen mittausten aihe on keskeisdiffraktio. Työssä mitataan hadroniset resonanssispektrit, joiden tutkiminen vie meidät kohti liimapallojen, protonin fluktuoivan sisärakenteen ja pomeronin salaisuuksien ratkaisuja