Modélisation de la dépendance à l'aide des mélanges communs et applications en actuariat

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2018-2019La modélisation de la dépendance entre les risques pour un portefeuille d’une assurance ou d’une entité financière est devenue de plus en plus importante pour la solvabilité des institutions financières et l’examen de solvabilité dynamique et l’analyse financière dynamique des compagnies d’assurance. L’hypothèse d’indépendance entre les risques est parfois réaliste et facilite l’évaluation, l’agrégation et l’allocation des risques. Cependant, dans la majorité des cas, les risques individuels sont influencés par un ou plusieurs facteurs communs, tels que l’environnement économique, les régions géographiques ou les conditions climatiques et il est donc moins réaliste, voire dangereux, de supposer l’indépendance entre les risques d’un même portefeuille. Dans la littérature, un tel cas peut être modélisé par des modèles avec mélange commun. Ces modèles ont de nombreuses applications en assurance et en finance. L’objectif de cette thèse est donc d’explorer les modèles de dépendance construits à l’aide des mélanges communs et de faire sortir, à l’aide de plusieurs applications, la dangerosité de considérer l’indépendance entre les risques au sein d’un portefeuille. En particulier, la focalisation est mise sur un modèle souvent considéré pour modéliser le montant de sinistres, notamment la loi exponentielle mélange. Cette thèse considère les modèles de risque basés sur la loi exponentielle mélange. Le premier chapitre constitue une introduction générale aux modèles avec mélanges communs et introduit les notions qui seront utilisées dans les autres chapitres. Dans le deuxième chapitre, nous considérons un portefeuille de risques représentés par un vecteur de variables aléatoires dont la fonction de répartition conjointe est définie par une copule Archimédienne ou une copule Archimédienne imbriquée. Nous examinons le calcul de la fonction de répartition de la somme ou une variété de fonctions de ces variables aléatoires. En nous basant sur la méthodologie computationnelle présentée dans ce chapitre, nous examinons plusieurs problèmes reliés à différents modèles de risque en actuariat, tels que l’agrégation et l’allocation du capital. De plus, en utilisant une telle structure de dépendance avec des marginales spécifiques, nous obtenons des expressions explicites pour plusieurs quantités relatives au risque agrégé telles que sa fonction de masse de probabilité, sa fonction de répartition, sa TVaR, etc. L’échangeabilité des copules Archimédiennes implique que toutes les marginales sont égales. Afin de généraliser les copules Archimédiennes pour permettre les asymétries, plusieurs chercheurs utilisent une structure hiérarchique obtenue en imbriquant plusieurs copules Archimédiennes. Toutefois, il est difficile de valider la condition d’imbrication permettant d’assurer que la structure résultante est une copule, lorsque les copules impliquées appartiennent à des familles Archimédiennes différentes. Afin de remédier à ce problème, nous présentons, au troisième chapitre, une nouvelle méthode d’imbrication basée sur la construction des lois composées multivariées exponentielles mélange. En introduisant plusieurs paramètres, un large spectre de structures de dépendance peut être couvert par cette nouvelle construction, ce qui semble être très intéressant pour des applications pratiques. Des algorithmes efficients de simulation et d’agrégation sont également présentés. En nous inspirant à la fois des chapitres 2 et 3, nous proposons et examinons en détail au quatrième chapitre une nouvelle extension au modèle collectif de risque en supposant une certaine dépendance entre la fréquence et la sévérité des sinistres. Nous considérons des modèles collectifs de risque avec différentes structures de dépendance telles que des modèles impliquant des lois mélanges d’Erlang multivariées ou, dans un cadre plus général, des modèles basés sur des copules bivariées ou multivariées. Nous utilisons également les copules Archimédiennes et Archimédiennes hiérarchiques afin de modéliser la dépendance entre les composantes de la somme aléatoire représentant le montant de sinistre global. En nous basant encore une fois sur la représentation de notre modèle sous forme d’un mélange commun, nous adaptons la méthodologie computationnelle présentée au chapitre 2 pour calculer la fonction de masse de probabilité d’une somme aléatoire incorporant une dépendance hiérarchique. Finalement, dans le cinquième chapitre, nous soulignons l’utilité des modèles avec mélange commun et nous étudions plus en détail les lois exponentielles mélange dans leurs versions univariée et multivariée et nous expliquons leur lien étroit avec les copules Archimédiennes et Archimédiennes hiérarchiques. Nous proposons également plusieurs nouvelles distributions et nous établissons leurs liens avec des distributions connues.Risk dependence modelling has become an increasingly important task for the solvency of financial institutions and insurance companies. The independence assumption between risks is sometimes realistic and facilitates risk assessment, aggregation and allocation. However, in most cases individual risks are influenced by at least one common factor, such as the economic environment, geographical regions or climatic conditions, and it is therefore less realistic or even dangerous to assume independence between risks. In the literature, such a case can be modelled by common mixture models. These models have many applications in insurance and finance. The aim of this thesis is to explore the dependence models constructed using common mixtures and to bring out, with the use of several applications, the riskiness of considering the independence between risks within an insurance company or a financial institution. In particular, the focus is on the exponential mixture. Exponential mixture distributions are on the basis of this thesis. The first chapter is a general introduction to models with common mixtures and introduces the concepts that will be used in the other chapters. In the second chapter, we consider a portfolio of risks represented by a vector of random variables whose joint distribution function is defined by an Archimedean copula or a nested Archimedean copula. We examine the computation of the distribution of the sum function or a variety of functions of these random variables. Based on the computational methodology presented in this chapter, we examine risk models regarding aggregation, capital allocation and ruin problems. Moreover, by using such a dependency structure with specific marginals, we obtain explicit expressions for several aggregated risk quantities such as its probability mass function, its distribution function, and its TVaR. The exchangeability of the Archimedean copulas implies that all margins are equal. To generalize Archimedean copulas to allow asymmetries, several researchers use a hierarchical structure obtained by nesting several Archimedean copulas. However, it is difficult to validate the nesting condition when the copulas involved belong to different Archimedean families. To solve this problem, we present, in the third chapter, a new imbrication method via the construction of the multivariate compound distributions. By introducing several parameters, a large spectrum of dependency structures can be achieved by this new construction, which seems very interesting for practical applications. Efficient sampling and aggregation algorithms are also presented. Based on both Chapters 2 and 3, we propose and examine in detail, in the fourth chapter, a new extension to the collective risk model assuming a certain dependence between the frequency and the severity of the claims. We consider collective risk models with different dependence structures such as models based on multivariate mixed Erlang distributions, models involving bivariate or multivariate copulas, or in a more general setting, Archimedean and hierarchical Archimedean copulas. Once again, based on the common mixture representation, we adapt the computational methodology presented in Chapter 2 to compute the probability mass function of a random sum incorporating a hierarchical Archimedean dependency. Finally, in the last chapter, we study, in more details, the exponential mixture distributions in their univariate and multivariate versions and we explain their close relationship to Archimedean and hierarchical Archimedean copulas. We also derive several new distributions, and we establish their links with pre-existent distributions. Keywords : Common mixture models, Exponential mixture, Bernoulli mixture, Archimedean copulas, Nested Archimedean copulas, Compounding, Marshall-Olkin, Hierarchical dependence structures

Modélisation de la dépendance et apprentissage automatique dans le contexte du provisionnement individuel et de la solvabilité en actuariat IARD

Les compagnies d'assurance jouent un rôle important dans l'économie des pays en s'impliquant de façon notable dans les marchés boursiers, obligataires et immobiliers, d'où la nécessité de préserver leur solvabilité. Le cycle spécifique de production en assurance amène des défis particuliers aux actuaires et aux gestionnaires de risque dans l'accomplissement de leurs tâches. Dans cette thèse, on a pour but de développer des approches et des algorithmes susceptibles d'aider à résoudre certaines problématiques liées aux opérations de provisionnement et de solvabilité d'une compagnie d'assurance. Les notions préliminaires pour ces contributions sont présentées dans l'introduction de cette thèse. Les modèles de provisionnement traditionnels sont fondés sur des informations agrégées. Ils ont connu un grand succès, comme en témoigne le nombre important d'articles et documents actuariels connexes. Cependant, en raison de la perte d'informations individuelles des sinistres, ces modèles représentent certaines limites pour fournir des estimations robustes et réalistes dans des contextes susceptibles d'évoluer. Dans ce sens, les modèles de réserve individuels représentent une alternative prometteuse. En s'inspirant des récentes recherches, on propose dans le Chapitre 1 un modèle de réserve individuel basé sur un réseau de neurones récurrent. Notre réseau a l'avantage d'être flexible pour plusieurs structures de base de données détaillés des sinistres et capable d'incorporer plusieurs informations statiques et dynamiques. À travers plusieurs études de cas avec des jeux de données simulés et réels, le réseau proposé est plus performant que le modèle agrégé chain-ladder. La détermination des exigences de capital pour un portefeuille repose sur une bonne connaissance des distributions marginales ainsi que les structures de dépendance liants les risques individuels. Dans les Chapitres 2 et 3 on s'intéresse à la modélisation de la dépendance et à l'estimation des mesures de risque. Le Chapitre 2 présente une analyse tenant compte des structures de dépendance extrême. Pour un portefeuille à deux risques, on considère en particulier à la dépendance négative extrême (antimonotonocité) qui a été moins étudiée dans la littérature contrairement à la dépendance positive extrême (comonotonocité). On développe des expressions explicites pour des mesures de risque de la somme d'une paire de variables antimontones pour trois familles de distributions. Les expressions explicites obtenues sont très utiles notamment pour quantifier le bénéfice de diversification pour des risques antimonotones. Face à une problématique avec plusieurs lignes d'affaires, plusieurs chercheurs et praticiens se sont intéressés à la modélisation en ayant recours à la théorie des copules au cours de la dernière décennie. Cette dernière fournit un outil flexible pour modéliser la structure de dépendance entre les variables aléatoires qui peuvent représenter, par exemple, des coûts de sinistres pour des contrats d'assurance. En s'inspirant des récentes recherches, dans le Chapitre 3, on définit une nouvelle famille de copules hiérarchiques. L'approche de construction proposée est basée sur une loi mélange exponentielle multivariée dont le vecteur commun est obtenu par une convolution descendante de variables aléatoires indépendantes. En se basant sur les mesures de corrélation des rangs, on propose un algorithme de détermination de la structure, tandis que l'estimation des paramètres est basée sur une vraisemblance composite. La flexibilité et l'utilité de cette famille de copules est démontrée à travers deux études de cas réelles.Insurance companies play an essential role in the countries economy by monopolizing a large part of the stock, bond, and estate markets, which implies the necessity to preserve their solvency and sustainability. However, the particular production cycle of the insurance industry may involve typical problems for actuaries and risk managers. This thesis project aims to develop approaches and algorithms that can help solve some of the reserving and solvency operations problems. The preliminary concepts for these contributions are presented in the introduction of this thesis. In current reserving practice, we use deterministic and stochastic aggregate methods. These traditional models based on aggregate information have been very successful, as evidenced by many related actuarial articles. However, due to the loss of individual claims information, these models represent some limitations in providing robust and realistic estimates, especially in variable settings. In this context, individual reserve models represent a promising alternative. Based on the recent researches, in Chapter 1, we propose an individual reserve model based on a recurrent neural network. Our network has the advantage of being flexible for several detailed claims datasets structures and incorporating several static and dynamic information. Furthermore, the proposed network outperforms the chain-ladder aggregate model through several case studies with simulated and real datasets. Determining the capital requirements for a portfolio relies on a good knowledge of the marginal distributions and the dependency structures linking the individual risks. In Chapters 2 and 3, we focus on the dependence modeling component as well as on risk measures. Chapter 2 presents an analysis taking into account extreme dependence structures. For a two-risk portfolio, we are particularly interested in extreme negative dependence (antimonotonicity), which has been less studied in the literature than extreme positive dependence (comonotonicity). We develop explicit expressions for risk measures of the sum of a pair of antimonotonic variables for three families of distributions. The explicit expressions obtained are very useful, e.g., to quantify the diversification benefit for antimonotonic risks. For a problem with several lines of business, over the last decade, several researchers and practitioners have been interested in modeling using copula theory. The latter provides a flexible tool for modeling the dependence structure between random variables that may represent, for example, claims costs for insurance contracts. Inspired by some recent researches, in Chapter 3, we define a new family of hierarchical copulas. The proposed construction approach is based on a multivariate exponential mixture distribution whose common vector is obtained by a top-down convolution of independent random variables. A structure determination algorithm is proposed based on rank correlation measures, while the parameter estimation is based on a composite likelihood. The flexibility and usefulness of this family of copulas are demonstrated through two real case studies

Innovations in Quantitative Risk Management

Quantitative Finance; Game Theory, Economics, Social and Behav. Sciences; Finance/Investment/Banking; Actuarial Science

Densités de copules archimédiennes hiérarchiques

Les copulas archimédiennes hiérarchiques ont récemment gagné en intérêt puisqu’elles généralisent la famille de copules archimédiennes, car elles introduisent une asymétrie partielle. Des algorithmes d’échantillonnages et des méthodes ont largement été développés pour de telles copules. Néanmoins, concernant l’estimation par maximum de vraisemblance et les tests d’adéquations, il est important d’avoir à disposition la densité de ces variables aléatoires. Ce travail remplie ce manque. Après une courte introduction aux copules et aux copules archimédiennes hiérarchiques, une équation générale sur les dérivées des noeuds et générateurs internes apparaissant dans la densité des copules archimédiennes hiérarchique. sera dérivée. Il en suit une formule tractable pour la densité des copules archimédiennes hiérarchiques. Des exemples incluant les familles archimédiennes usuelles ainsi que leur transformations sont présentés. De plus, une méthode numérique efficiente pour évaluer le logarithme des densités est présentée.Nested Archimedean copulas recently gained interest since they generalize the well-known class of Archimedean copulas to allow for partial asymmetry. Sampling algorithms and strategies have been well investigated for nested Archimedean copulas. However, for likelihood based inference such as estimation or goodness-of-fit testing it is important to have the density. The present work fills this gap. After a short introduction on copula and nested Archimedean copulas, a general formula for the derivatives of the nodes and inner generators appearing in nested Archimedean copulas is developed. This leads to a tractable formula for the density of nested Archimedean copulas. Various examples including famous Archimedean families and transformations of such are given. Furthermore, a numerically efficient way to evaluate the log-density is presented

Innovations in Quantitative Risk Management

Quantitative Finance; Game Theory, Economics, Social and Behav. Sciences; Finance/Investment/Banking; Actuarial Science

Aktuarielle Methoden als Beitrag zur Lösung aktueller Herausforderungen in der Assekuranz

[no abstract

Empirical essays in quantitative risk management

Copula theory is particularly useful for modeling multivariate distributions as it allows us to decompose a joint distribution into marginal distributions and a copula. Copula-based models have been widely applied in finance, insurance, macroeconomics, microeconomics and many other areas in recent years. This doctoral thesis particularly pays attention to applications of copula theory in quantitative risk management. The first chapter of this thesis provides a comprehensive review of recent developments of copula models and some important applications in the large and growing finance and economics literature. The first part of this chapter briefly introduces the definition and properties of copulas as well as several related concepts. The second part reviews estimation and inference methods, goodness-of-fit tests and model selection tests for copula models considered in the literature. The third part provides an exhaustive review of the extensive literature of copula-based models in finance and economics. Finally, an interesting topic for further research is suggested. The remaining three chapters investigate applications of copula theory in three topics: market risk prediction, portfolio optimization and credit risk estimation. Chapter Two investigates the dynamic and asymmetric dependence structure between equity portfolios from the US and UK. We demonstrate the statistical significance of dynamic asymmetric copula models in modeling and forecasting market risk. First, we construct ``high-minus-low" equity portfolios sorted on beta, coskewness, and cokurtosis. We find substantial evidence of dynamic and asymmetric dependence between characteristic-sorted portfolios. Second, we consider a dynamic asymmetric copula model by combining the generalized hyperbolic skewed t copula with the generalized autoregressive score (GAS) model to capture both the multivariate non-normality and the dynamic and asymmetric dependence between equity portfolios. We demonstrate the usefulness of this model by evaluating the forecasting performance of Value-at-Risk and Expected Shortfall for high-minus-low portfolios. From backtesting, we find consistent and robust evidence that our dynamic asymmetric copula model provides the most accurate forecasts, indicating the importance of incorporating the dynamic and asymmetric dependence structure in risk management. Chapter Three investigates the dependence between equity and currency in international financial markets and explores its economic importance in portfolio allocation. First, we find striking evidence for the existence of time-varying and asymmetric dependence between equity and currency. Second, we offer a methodological contribution. A novel time-varying skewed t copula (TVAC) model is proposed to accommodate non-Gaussian features in univariate time series as well as the dynamic and asymmetric dependence in multivariate time series. The multivariate asymmetry is captured by the skewed t copula derived from the mutlivariate skewed t distribution in Bauwens and Laurent (2005) and the time-varying dependence is captured by the GAS dynamics proposed by Creal et al. (2013). This model can be easily generalized from the bivariate case to the multivariate case. Third, we show that findings of dynamic and asymmetric dependence between equity and currency have important implications for risk management and asset allocation in international financial markets. Our empirical results show the statistical significance of the TVAC model in risk management and its economic values in real-time investment. Chapter Four studies the credit risk of UK top-tier banks. We document asymmetric and time-varying features of dependence between the credit risk of UK top tier banks using a new CDS dataset. The market-implied probability of default for individual banks is derived from observed market quotes of CDS. The default dependence between banks is modeled by a novel dynamic asymmetric copula framework. We show that all the empirical features of CDS spreads, such as heavy-tailedness, skewness, time-varying volatility, multivariate asymmetries and dynamic dependence, can be captured well by our model. Given the marginal default probability and estimated copula model, we compute the joint and conditional probability of default of UK banks by applying a fast simulation algorithm. Comparing our model with traditional copula models, we find that the traditional models may underestimate the joint credit risk most of the time, especially during a crisis. Furthermore, we perform an extensive regression analysis and find solid evidence that time-varying tail dependence between CDS spreads of UK banks contains useful information to explain and predict their joint and conditional default probabilities. Chapter Five concludes with recommendations for further study

Current Topics on Risk Analysis: ICRA6 and RISK2015 Conference

Peer ReviewedPostprint (published version

Current Topics on Risk Analysis: ICRA6 and RISK2015 Conference

Artículos presentados en la International Conference on Risk Analysis ICRA 6/RISK 2015, celebrada en Barcelona del 26 al 29 de mayo de 2015.Peer ReviewedPostprint (published version