Composition operators from the weighted . . .

The boundedness of the composition operator from the weighted Bergman space to the recently introduced by the author, the nth weighted space on the unit disc, is characterized. Moreover, the norm of the operator in terms of the inducing function and weights is estimated

Spectra of linear fractional composition operators and properties of universal operators

The topics of this thesis in mathematics belong to the area of operator theory which, in general, studies linear transformations between complete normed vector spaces. Here, all operators considered are bounded and act on complex separable infinite-dimensional Hilbert space. A prototypical example of Hilbert spaces is formed by the square summable sequences of complex numbers. Other common Hilbert spaces consist of functions which are analytic on some open domain of the complex plane. The characteristic property of analytic functions is that they are locally given by a convergent power series and so the behaviour of such functions is rather rigid. Thesis consists of the introductory part and three research articles, the first and the third being co-authored with, respectively, E. A. Gallardo-Gutiérrez and H.-O. Tylli. Our focus in the first two articles is in the spectral properties of composition operators which are induced by linear fractional transformations (also known as Möbius maps). As the name suggests, a composition operator composes a function with a fixed mapping called the inducing map. In studying these operators we can take advantage of function theoretic tools, and it is not surprising that the properties of composition operator depend intricately on the inducing map. The spectrum of an operator acting on an infinite-dimensional space generalizes the concept of eigenvalues of a finite matrix. In general, determining the spectrum of a given operator is not an easy task. In the first article we compute the spectra of composition operators induced by certain linear fractional self-maps of the unit disc. Here the operators act on the whole range of weighted Dirichlet spaces which are Hilbert spaces of analytic functions on the unit disc. Earlier results in this context cover e.g. the classical Hardy space, the weighted Bergman spaces and the classical Dirichlet space. Our results complete the spectral picture of linear fractional composition operators on the weighted Dirichlet spaces. In particular, we found a way to compute the spectra of parabolic and invertible hyperbolic composition operators on the spaces that are contained in the classical Dirichlet space. The second article continues the study of the spectral properties of linear fractional composition operators in the corresponding setting on the upper half-plane. The analogous spaces of the half-plane differ significantly from their counterparts in the unit disc; for instance, not all linear fractional self-maps of the half-plane induce bounded composition operators. We were able to compute the spectra of all bounded linear fractional composition operators acting on the Hardy, and the weighted Bergman spaces of the upper half-plane. Moreover, we show that the essential spectra coincide with the spectra on all cases. One of the main tools is the Paley-Wiener theorem along with its generalizations which allow us to transfer the computations to certain Hilbert spaces defined on the positive real line. An operator is called universal if it has such a rich lattice of invariant subspaces that it models any given operator (up to a constant multiple) when restricted to some of its invariant subspaces. The definition of universal operators can be generalized to commuting n-tuples of operators. In the third article we consider general properties of universal operators on separable infinite-dimensional Hilbert spaces. The task of finding and analysing concrete universal operators have gained a lot of attention since they could help in answering the question whether every operator on a separable infinite-dimensional Hilbert space has a non-trivial invariant subspace. We study the properties of the whole class of universal operators and as one of our main results we prove that universal operators have a big essential spectrum containing the origin. In addition, we give new examples of universal operators and universal commuting pairs.Väitöskirja kuuluu matemaattisen (funktionaali)analyysin ja tarkemmin operaattoriteorian piiriin. Operaattoriteoria tutkii lineaarisia kuvauksia normitetuilta vektoriavaruuksilta toisille. Tyypillisiä vektoriavaruuksia ovat mm. tietyt lukujonojen tai funktioiden muodostamat joukot. Operaattori on lineaarinen muunnos, joka kuvaa vektorin toiseksi vektoriksi. Vektoriavaruuden normi puolestaan mittaa vektoreiden etäisyyksiä toisistaan ja vektorin koko määritellään sen etäisyytenä nollavektorista. Peruskysymyksiä operaattoriteoriassa on selvittää onko annettu operaattori annetussa avaruudessa rajoitettu ja mikä on sen spektri. Ääretönulotteisissa avaruuksissa spektri on äärellisen matriisin ominaisarvojen yleistys, joskin yleisesti ottaen matriisin ominaisarvoja paljon hankalampi selvittää. Rajoitettujen operaattoreiden spektri on aina suljettu ja rajoitettu kompleksitason osajoukko ja itse operaattorin lisäksi se riippuu myös avaruudesta, jossa operaattori toimii. Väitöskirja sisältää kolme tutkimusartikkelia sekä johdanto-osion. Väitöskirjan kahdessa ensimmäisessä artikkelissa tarkastellaan Möbius-kuvausten indusoimien kompositio-operaattoreiden spektrejä kompleksisissa Hilbertin funktio-avaruuksissa. Hilbertin avaruus on tietyssä mielessä lähellä Euklidista kotiavaruuttamme, sillä se on sisätuloavaruus: sisätulo määrittää avaruuden normin ja mahdollistaa vektoreiden välisten kulmien ja kohtisuoruuden määrittämisen. Tarkastelussa olevat funktioavaruudet koostuvat funktioista, jotka ovat analyyttisiä kompleksitason yksikkökiekossa tai puolitasossa. Analyyttisyys takaa funktiolle monia hyviä ominaisuuksia ja määrittää sen käyttäytymistä. Kompositio-operaattori muuntaa annetun funktion kahden funktion yhdistetyksi funktioksi: yhdisteessä on annetun funktion lisäksi operaattorin indusoiva, kiinnitetty funktio. Kompositio-operaattorit ovat tärkeä, konkreettinen operaattoriluokka, joilla on paljon sovelluskohteita mm. dynaamisissa systeemeissä. Ensimmäinen artikkeleista on laadittu yhteistyössä E. A. Gallardo-Gutiérrezin kanssa ja siinä selvitetään Möbius-kuvausten indusoimien kompositio-operaattoreiden spektrejä tietyn tyyppisissä yksikkökiekossa määriteltyjen analyyttisten funktioiden muodostamissa avaruuksissa. Kaikki Möbius-kuvaukset, jotka kuvaavat yksikkökiekon itselleen, indusoivat rajoitetun kompositio-operaattorin tarkastelussa olevissa avaruuksissa. Tuloksemme täydentävät jo tunnettujen tulosten kanssa kokonaiskuvan kyseisten operaattoreiden spektreistä koko skaalalla painotettuja Dirichlet n avaruuksia. Osa uusista tuloksista on aiempiin tuloksiin verrattuna yllättäviä ja osa odotettavissa olevia; joka tapauksessa tietty säännönmukaisuus näiden avaruuksien suhteen ja spektrin riippuvuus indusoivan kuvauksen derivaatasta kiintopisteessä tulevat vahvasti esille. Toisessa artikkelissa lasketaan niin ikään Möbius-kuvausten indusoimien kompositio-operaattoreiden spektrejä, mutta tällä kertaa vastaavissa puolitason avaruuksissa. Puolitason avaruudet ovat hyvin erilaisia verrattuna yksikkökiekossa määriteltyihin ja kaikki Möbius-kuvaukset, jotka kuvaavat puolitason itselleen, eivät indusoi rajoitettua kompositio-operaattoria näissä avaruuksissa. Myös toisen artikkelin spektrituloksista nähdään, että samaa tyyppiä olevan Möbius-kuvauksen indusoimat kompositio-operaattorit käyttäytyvät eri tavalla puolitason tilanteessa verrattuna yksikkökiekkoon. Kolmannessa artikkelissa, joka on laadittu yhteistyössä H.-O. Tyllin kanssa, tarkastelemme niin kutsuttujen universaalien operaattoreiden luokkaa yleisessä Hilbertin avaruudessa. Universaaleiden operaattoreiden tunnusomainen piirre on, että niillä on paljon invariantteja aliavaruuksia, eli aliavaruuksia jotka operaattori kuvaa itselleen. Tietyssä mielessä universaalit operaattorit mallintavat mitä tahansa annettua operaattoria. Artikkelissa osoitetaan välttämätön, spektriä koskeva ehto universaalille operaattorille ja lisäksi annetaan uusia konkreettisia esimerkkejä universaaleista operaattoreista sekä universaaleista pareista

Composition Operators from the Hardy Space to the Zygmund-Type Space on the Upper Half-Plane

Here we introduce the nth weighted space on the upper half-plane Π+={z∈ℂ:Im z>0} in the complex plane ℂ. For the case n=2, we call it the Zygmund-type space, and denote it by 𝒵(Π+). The main result of the paper gives some necessary and sufficient conditions for the boundedness of the composition operator Cφf(z)=f(φ(z)) from the Hardy space Hp(Π+) on the upper half-plane, to the Zygmund-type space, where φ is an analytic self-map of the upper half-plane

Holomorphic Semiflows and Poincaré-Steklov Semigroups

Die Arbeit untersucht einen überraschenden Zusammenhang zwischen Halbflüssen von holomorphen Selbstabbildungen auf einfach zusammenhängenden Gebieten und Halbgruppen, die von Poincaré-Steklov Operatoren erzeugt werden. Mithilfe von Erzeuger von Kompositionshalbgruppen auf Banachräumen von analytischen Funktionen werden insbesondere Dirichlet-zu-Neumann und Dirichlet-zu-Robin Operatoren konstruiert. Dieser Zugang eröffnet einen neuen Ansatz für das Studium partiellen Differentialgleichungen, die mit solchen Operatoren assoziiert sind.We study a surprising connection between semiflows of holomorphic selfmaps of a simply connected domain and semigroups generated by Poincaré-Steklov operators. In particular, by means of generators of semigroups of composition operators on Banach spaces of analytic functions, we construct Dirichlet-to-Neumann and Dirichlet-to-Robin operators. This approach gives new insights to the theory of partial differential equations associated with such operators

On Compactness and Closed-Rangeness of Composition Operators

Let $\phi$ be an analytic self-map of the unit disk $\mathbb{D}:=\{z:\lvert z\rver

Higher integrability of the gradient of conformal maps

No description supplie

Spaces of Analytic Functions on the Complex Half-Plane

In this thesis we present certain spaces of analytic functions on the complex half-plane, including the Hardy, the Bergman spaces, and their generalisation: Zen spaces. We use the latter to construct a new type of spaces, which include the Dirichlet and the Hardy-Sobolev spaces. We show that the Laplace transform defines an isometric map from the weighted L^2(0, ∞) spaces into these newly-constructed spaces. These spaces are reproducing kernel Hilbert spaces, and we employ their reproducing kernels to investigate their features. We compare corresponding spaces on the disk and on the half-plane. We present the notions of Carleson embeddings and Carleson measures and characterise them for the spaces introduced earlier, using the reproducing kernels, Carleson squares and Whitney decomposition of the half-plane into an abstract tree. We also study multiplication operators for these spaces. We show how the Carleson measures can be used to test the boundedness of these operators. We show that if a Hilbert space of complex valued functions is also a Banach algebra with respect to the pointwise multiplication, then it must be a reproducing kernel Hilbert space and its kernels are uniformly bounded. We provide examples of such spaces. We examine spectra and character spaces corresponding to multiplication operators. We study weighted composition operators and, using the concept of causality, we link the boundedness of such operators on Zen spaces to Bergman kernels and weighted Bergman spaces. We use this to show that a composition operator on a Zen space is bounded only if it has a finite angular derivative at infinity. We also prove that no such operator can be compact. We present an application of spaces of analytic functions on the half-plane in the study of linear evolution equations, linking the admissibility criterion for control and observation operators to the boundedness of Laplace-Carleson embeddings