Randomized rounding and rumor spreading with stochastic dependencies

Randomness is an important ingredient of modern computer science. The present thesis is concerned with two uses of randomness, viz. randomized roundings and randomized rumor spreading algorithms. The theorem of Beck and Fiala (1981) asserts that for every hypergraph and every set of vertex weights there is a rounding of the vertex weights such that the additive rounding error for all hyperedges is bounded by the maximum degree. In Chapter 2 this theorem will be extended to randomized roundings, that is, to roundings that are efficiently generated at random in such a way that each value is rounded up with probability equal to its fractional part. The larger part of this thesis deals with randomized rumor spreading algorithms. These are protocols for disseminating information on graphs. The classical randomized rumor spreading was introduced and first investigated by Frieze and Grimmett on the complete graph (1985). In Chapter 3 a generalization of their results both in terms of the model used and in terms of the underlying graph will be shown. In Chapter 4 a quasirandom rumor spreading protocol introduced by Doerr, Friedrich, and Sauerwald (2008) will be considered. We present a detailed analysis of its evolution and show that its performance and robustness match performance and robustness of the randomized rumor spreading protocol. The unifying idea is to use dependencies so as to obtain results that are superior or equal to those obtained via independent randomness.Die Verwendung von Zufallselementen ist ein wichtiger Bestandteil der modernen Informatik. Die vorliegende Arbeit untersucht zwei Bereiche, in denen randomisierte Methoden Verwendung finden, nämlich randomisierte Rundungen und randomisierte Algorithmen zur Gerüchteverbreitung. Der Satz von Beck und Fiala (1981) sagt aus, dass es für jeden Hypergraphen und für jeden Satz von Knotengewichten eine Rundung gibt derart, dass der Rundungsfehler pro Kante vom Maximalgrad beschränkt wird. Im ersten Teil der Arbeit wird dieser Satz auf den Fall randomisierter Rundungen verallgemeinert, das heißt auf zufällige Rundungen, bei denen jede Zahl mit der Wahrscheinlichkeit entsprechend ihren Nachkommastellen aufgerundet wird. Der zweite, größere Teil der Arbeit handelt von randomisierten Algorithmen zur Gerüchteverbreitung. Das klassische "Randomized Rumor Spreading" wurde von Frieze und Grimmett (1985) eingeführt. Ihre Ergebnisse werden in Kapitel 3 sowohl hinsichtlich des Modells als auch hinsichtlich des zugrundegelegten Graphen verallgemeinert. In Kapitel 4 wird ein quasizufälliges Modell zur Gerüchteverbreitung betrachtet und gezeigt, dass es bezüglich Laufzeit und Robustheit dem klassischen Modell gleichwertig ist. Gemeinsam liegt beiden Teilen der Arbeit die Idee zugrunde, stochastische Abhängigkeiten zu nutzen um Ergebnisse zu erzielen, die den unter Verwendung stochastischer Unabhängigkeit erzielten gleichwertig oder überlegen sind

Matrix rounding, evolutionary algorithms, and hole detection

In this thesis we study three different topics from the field of algorithms and data structures. First, we investigate a problem from statistics. We give two randomised algorithms that can round matrices of fractional values to integer-valued matrices. These matrices will exhibit only small rounding errors for sums of initial row or column entries. Both algorithms also round each entry up with probability equal to its fractional value. We give a derandomisation of both algorithms. Next, we consider the analysis of evolutionary algorithms (EAs). First, we analyse an EA for the Single Source Shortest Path problem. We give tight upper and lower bounds on the optimisation time of the EA. For this, we develop some new techniques for such analyses. We also analyse an EA for the All-Pairs Shortest Path problem. We show that adding crossover to this algorithm provably decreases its optimisation time. This is the first time that the usefulness of crossover has been shown for a non-constructed combinatorial problem. Finally, we examine how to retrieve the implicit geometric information hidden in the communications graph of a wireless sensor network. We give an algorithm that is able to identify wireless nodes close to a hole in this network based on the connectivity information alone. If the input fulfils several preconditions, then the algorithm finds a node near each boundary point and never misclassifies a node.Diese Dissertation befasst sich mit drei Bereichen aus dem Gebiet der Algorithmen und Datenstrukturen. Zuerst betrachten wir ein Problem aus der Statistik. Wir präsentieren zwei randomisierte Algorithmen, die Matrizen von Kommazahlen in ganzzahlige Matrizen runden. Die berechneten Matrizen haben einen kleinen Rundungsfehler in allen Summen zusammenhängender Zeilen- oder Spaltenelemente. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl aufgerundet wird, gleich ihrem Nachkommawert. Für beide Algorithmen zeigen wir derandomisierte Varianten. Dann beschäftigen wir uns mit der Analyse Evolutionärer Algorithmen (EAs). Zuerst analysieren wir einen EA für das Single Source Shortest Path Problem. Wir zeigen scharfe obere und untere Schranken für die Optimierungszeit dieses EAs. Dazu entwickeln wir neue Techniken für solche Analysen. Außerdem untersuchen wir einen EA für das All-Pairs Shortest Path Problem. Wir zeigen, dass Rekombination die Optimierungszeit dieses EAs beweisbar beschleunigt. Dies ist das erste kombinatorische Problem, für das der Nutzen von Rekombination gezeigt werden konnte. Abschließend untersuchen wir, wie man implizite geometrische Informationen im Kommunikationsgraphen eines Sensornetzes finden kann. Wir entwickeln einen Algorithmus, der Knoten nahe eines Loches im Netzwerk anhand der Konnektivitätsinformation identifizieren kann. Unter gewissen Bedingungen findet der Algorithmus einen Knoten nahe aller Randpunkte und markiert auch nur solche Knoten