Simple and extensible plate and shell finite element models through automatic code generation tools

A large number of advanced finite element shell formulations have been developed, but their adoption is hindered by complexities of transforming mathematical formulations into computer code. Furthermore, it is often not straightforward to adapt existing implementations to emerging frontier problems in thin structural mechanics including nonlinear material behaviour, complex microstructures, multi-physical couplings, or active materials. We show that by using a high-level mathematical modelling strategy and automatic code generation tools, a wide range of advanced plate and shell finite element models can be generated easily and efficiently, including: the linear and non-linear geometrically exact Naghdi shell models, the Marguerre-von K ́arm ́an shallow shell model, and the Reissner-Mindlin plate model. To solve shear and membrane-locking issues, we use: a novel re-interpretation of the Mixed Interpolation of Tensorial Component (MITC) procedure as a mixed-hybridisable finite element method, and a high polynomial order Partial Selective Reduced Integration (PSRI) method. The effectiveness of these approaches and the ease of writing solvers is illustrated through a large set of verification tests and demo codes, collected in an open-source library, FEniCS-Shells, that extends the FEniCS Project finite element problem solving environment

Virtual product development and testing for aerospace tube hydroforming industry : improved non-linear solid-shell element

Dans les recherches réalisées pour ce projet de thèse, il est démontré qu’une traverse existante de train d’atterrissage d’hélicoptère à patins fabriquée par pliage et érosion chimique, pourrait être remplacée par une autre traverse, dont la forme innovante est fabricable par le procédé d’hydroformage de tubes. Ce procédé présente par exemple l’avantage d’être plus respectueux de l’environnement que le procédé de fabrication actuel, car il ne nécessite pas l’utilisation de produits chimiques polluant. De plus, la méthodologie développée dans le cadre des recherches réalisées permet de prendre en compte l’histoire du matériau de la traverse dans toutes les étapes de son processus de fabrication. Les performances d’un train d’atterrissage équipé de la nouvelle traverse ont été évaluées numériquement. Des travaux, développés avec le logiciel de calculs par éléments finis ABAQUS, ont permis de mettre en évidence l’intérêt d’utiliser des éléments finis de coque solides fiables et précis. Ces éléments sont en effet capables de prendre en compte le comportement dans l’épaisseur de structures minces avec une seule couche d’éléments. Une nouvelle technique de lissage appelé «Smoothed finite element method» ou «SFEM» a retenu l’attention pour sa simplicité de mise en œuvre et son insensibilité à la distorsion de maillage parfois rencontrée dans les simulations de formage de formes complexes. Un élément de coque solide résultant linéaire développé en utilisant cette méthode SFEM pour traiter de la cinématique en membrane et en flexion a été testé avec succès au travers d’exemples classiques identifiés dans la littérature. Ce nouvel élément a montré un niveau de précision souvent supérieur à celui d’autres éléments déjà existants. En outre, un élément de coque solide à intégration réduite, capable de fonctionner avec la plupart des lois de comportement en trois dimensions et cela même en présence de structures minces a été développé. Cet élément, libre de tout blocage a montré un bon niveau de précision par rapport aux éléments existants dans le cas de problèmes implicites géométriquement linéaires et non-linéaires. L’élément a été étendu en formulation explicite puis couplé avec une loi de comportement hyper élastoplastique en trois dimensions. Il a enfin été testé dans une simulation d’hydroformage de tubes en présence de pressions élevées, de frottement et de grandes déformations.In the current work, it is shown that an existing helicopter skid landing gear cross tube, made by tube bending and chemical milling, could be replaced by another cross tube, whose innovative shape is producible by tube hydroforming. This method has for example the advantage of being more environmentally friendly than the current manufacturing process, because it does not require the use of hazardous chemicals. In addition, the methodology developed in this project takes into account the cross tube material’s history throughout the manufacturing process. Moreover, the performance of a skid landing gear equipped with this new cross tube has been evaluated numerically. This thesis simulation work has been developed with the finite element analysis software ABAQUS. It highlights the potential gains of using a reliable and accurate solid-shell finite element which is capable to take into account the through-thickness behavior of thin structures with a single layer of elements. A new smoothing technique called «Smoothed finite element method» or «SFEM» has been considered for its simplicity and insensitivity to mesh distortion, sometimes encountered while simulating complex shapes forming. A new resultant linear solid-shell element using this SFEM to deal with membrane and bending kinematics has been developed and successfully tested through classical benchmark problems found in the literature. This new element has often shown much greater level of accuracy than other existing elements. In addition, a novel reduced integration solid-shell element, able to work with most three dimensions constitutive laws even in the presence of thin structures is also discussed. This element, free of locking, shows a good accuracy level with respect to existing elements in implicit geometrically linear and non-linear benchmark problems. Its extension to explicit formulation is coupled with a three dimensions hyper elastoplastic constitutive law and tested in a tube hydroforming simulation involving high pressures, friction and large deformations

BEST : Bézier-Enhanced Shell Triangle : a new rotation-free thin shell finite element

A new thin shell finite element is presented. This new element doesn’ t have rotational degrees of freedom. Instead, in order to overcome the C1 continuity requirement across elements, the author resorts to enhance the geometric description of the flat triangles of a mesh made out of linear triangles, by means of Bernstein polynomials and triangular Bernstein-Bézier patches. The author estimates the surface normals at the nodes of a mesh of triangles, in order to use them to define the Bernstein-Bézier patches. Ubach, Estruch and García-Espinosa performed a comprehensive statistical comparison of different weighting factors. The conclusion of that work is that the inverse of the area of the circumscribed circle to the triangle and the internal angle of the triangle at the node considered, should be used as weighting factor. Using this new weighting factor, we reduce by about 10% the root mean square error in the estimation of normals of randomly generated surfaces with respect to the previous best weighting factor found in the literature. The author uses the information of the normal vectors at the nodes and the triangular Bernstein-Bézier patches to build cubic Bézier triangles. These cubic Bézier triangles are surface interpolants; C1 continuous at the nodes and C0 continuous across the edges. Owing to this approach, the new element is called Bézier-enhanced shell triangle (BEST). The BEST element takes advantage of all the nodes’ connectivities in each triangle of the mesh. The computation of the normal vectors at the nodes doesn’ t depend on the number of triangles surrounding each node of the mesh. The BEST element is independent from the mesh topology. A new paradigm is presented consisting on the reconstruction of the geometry of a cubic triangular element. This geometric reconstruction exploits the properties of cubic B-spline functions (cubic Bézier triangle). This way, the author builds a conforming continuum-based shell finite element. A cubic Bézier triangle has 30 parameters (3 coordinates for each of the 10 control points). Therefore it needs to apply 30 independent conditions. 15 of these conditions are given directly by the positions of the 3 vertices of the triangle and the orientations of the normal vectors at the 3 vertices. 8 of the remaining conditions are imposed introducing energy minimization considerations. These energy minimization considerations serve also to define a well-posed element. The author defines 3 different reduced problems for the 3 different shell deformation modes: bending deformation, membrane (in-plane extension) deformation and in-plane shear (drilling rotation) deformation. The only degrees of freedom of the BEST element are the vertices’ coordinates (9 variables). The remaining 21 parameters are solved internally. In order to fix the values of these 21 internal parameters, each BEST element solves 9 systems of linear equations of rank 3. The BEST element is successfully applied to the analysis of thin shells in linear and geometrically non-linear regimes using an implicit method. The non-linearity is solved using a Total Lagrangian formulation. The author succeeds at pre-integrating through-the-thickness efficiently and accurately. The through-the-thickness integrals are evaluated just once: at the reference configuration. There are just 14 through-the-thickness scalar integrals to perform for each Gauss point. The numerical examples results show that the BEST element has the potential to achieve cubic convergence. Although they also cast doubts on the possibility of reproducing this result for a wide range of problems. For in-plane shear dominated problems, the formulation used in this thesis only achieves linear convergence. For membrane oriented tests with curvature, the convergence is quadratic. The BEST element exhibits membrane locking behavior. The author suggests exploiting further the drilling rotations kinematics in order to solve membrane locking.Se presenta un nuevo elemento finito de lámina delgada. Este nuevo elemento no usa rotaciones como grados de libertad. En su lugar, para sortear el requisito de mantener continuidad C1 entre elementos, el autor mejora la descripción geométrica de los triángulos planos de una malla de triángulos lineales, por medio de polinomios de Bernstein y particiones triangulares de Bernstein-Bézier. Para definir las particiones de Bernstein-Bézier, el autor estima las normales a la superficie en los nodos de una malla de triángulos. Ubach, Estruch y García-Espinosa hicieron una comparación estadística exhaustiva entre distintos factores de ponderación. La conclusión de dicho trabajo conduce a usar como factor de ponderación: el inverso del área de la circunferencia circunscrita al triángulo y el ángulo interno del triángulo en el nodo considerado. Con este nuevo factor de ponderación, se reduce en aproximadamente un 10% el error medio cuadrático cometido en la estimación de las normales de superficies generadas aleatoriamente, respecto del mejor factor usado previamente en la literatura. Con la información de los vectores normales en los nodos, el autor construye triángulos cúbicos de Bézier. Estos triángulos cúbicos de Bézier interpolan la superficie; con continuidad C1 en los nodos y C0 en las aristas. En virtud a este planteamiento, el nuevo elemento recibe el nombre de BEST. El elemento BEST aprovecha todas las conectividades nodales de cada triángulo de la malla. El número de triángulos que rodean cada nodo de la malla no afecta al cálculo de los vectores normales. El elemento BEST es independiente de la topología de la malla. Se propone un nuevo paradigma que consiste en reconstruir la geometría de un elemento triangular cúbico. Esta reconstrucción geométrica aprovecha las propiedades de las funciones cúbicas B-spline (triángulo cúbico de Bézier). Así, el autor crea un elemento de lámina conforme basado en el continuo. Un triángulo cúbico de Bézier tiene 30 parámetros (3 coordenadas para cada uno de los 10 puntos de control). Es necesario aplicar 30 condiciones independientes. 15 de estas condiciones se deducen de la posición de los 3 vértices del triángulo y de los vectores normales en los 3 vértices. De las otras 15 condiciones, 8 se obtienen a partir de criterios de minimización de la energía. Estos criterios de minimización de la energía sirven para definir un elemento bien planteado. El autor desarrolla 3 problemas reducidos para los 3 modos de deformación de la lámina: deformación de flexión, de membrana (extensión en el plano) y de cortante en el plano (rotación de taladro). Los únicos grados de libertad del elemento BEST son las posiciones de los vértices (9 variables). Los otros 21 parámetros se resuelven internamente. Para obtener estos 21 parámetros internos, hay que resolver 9 sistemas de ecuaciones lineales de rango 3 para cada elemento BEST. Se ha aplicado el elemento BEST con éxito al cálculo de láminas delgadas en régimen lineal y geométricamente no-lineal con un método implícito. La no-linealidad se plantea con una formulación Lagrangiana total. Se demuestra cómo pre-integrar en el espesor de manera eficiente y precisa. Solo es preciso evaluar las integrales en el espesor una vez: en la configuración de referencia. Solo hay 14 integrales escalares en el espesor para cada punto de Gauss. Los ejemplos numéricos muestran que el elemento BEST tiene potencial para converger cúbicamente. Pero también existen dudas sobre la capacidad de reproducir de manera consistente este resultado en un amplio rango de problemas. En problemas dominados por la deformación de cortante en el plano, la formulación utilizada en esta tesis solo alcanza convergencia lineal. En ejemplos orientados a la deformación de membrana que incluyen curvatura, la convergencia es cuadrática. El elemento BEST sufre de bloqueo por membrana. El autor sugiere desarrollar más profundamente la cinemática de las rotaciones de taladro para resolver el bloqueo por membrana.Es presenta un nou element finit de làmina prima. Aquest nou element no fa servir rotacions com a graus de llibertat. Enlloc d'això, per esquivar el requisit de mantenir continuïtat C1 entre els elements, l'autor millora la descripció geomètrica dels triangles plans d'una malla de triangles lineals, mitjançant polinomis de Bernstein i particions triangulars de Bernstein-Bézier.Per definir les particions de Bernstein-Bézier, l'autor estima les normals a la superfície en els nodes d'una malla de triangles. Ubach, Estruch i García-Espinosa varen fer una comparació estadística exhaustiva entre diferents factors de ponderació. La conclusió d'aquest treball condueix a fer servir com a factor de ponderació: l'invers de l'àrea de la circumferència circumscrita al triangle i l'angle intern del triangle en el node considerat. Amb aquest nou factor de ponderació, es redueix aproximadament en un 10% l'error quadràtic mig comès en l'estimació de les normals de superfícies generades aleatòriament, respecte del millor factor usat prèviament a la literatura.Amb la informació dels vectors normals en els nodes, l'autor construeix triangles cúbics de Bézier. Aquests triangles cúbics de Bézier interpolen la superfície; amb continuïtat C1 als nodes i C0 a les arestes. En virtut d'aquest plantejament, el nou element rep el nom de BEST (Bézier-enhanced shell triangle).L'element BEST aprofita totes les connectivitats nodals de cada triangle de la malla. El nombre de triangles que envolten cada node de la malla no afecta al càlcul dels vectors normals. L'element BEST és independent de la topologia de la malla.Es proposa un nou paradigma que consisteix en reconstruir la geometria d'un element triangular cúbic. Aquesta reconstrucció geomètrica aprofita les propietats de les funcions cúbiques B-spline (triangle cúbic de Bézier). D'aquesta manera l'autor crea un element de làmina que és conforme i basat en el continu.Un triangle cúbic de Bézier té 30 paràmetres (3 coordenades per cadascun dels 10 punts de control). Cal aplicar 30 condicions independents. 15 d'aquestes condicions es dedueixen de la posició dels 3 vèrtexs del triangle i dels vectors normals en els 3 vèrtexs.De les 15 condicions restants, 8 s'obtenen a partir de criteris de minimització de l'energia. Aquests criteris de minimització de l'energia serveixen per definir un element ben plantejat. L'autor desenvolupa 3 problemes reduïts per als 3 modes de deformació de la làmina: deformació de flexió, de membrana (extensió en el pla) i de tallant en el pla (rotació de barrina).Els únics graus de llibertat de l'element BEST són les posicions dels vèrtexs (9 variables). Els altres 21 paràmetres es resolen internament. Per obtenir aquests 21 paràmetres interns, cal resoldre 9 sistemes d'equacions lineals de rang 3 per cada element BEST.S'ha aplicat l'element BEST amb èxit al càlcul de làmines primes en règim lineal i geomètricament no-lineal fent servir un mètode implícit. La no-linealitat es planteja amb una formulació Lagrangiana total. Es demostra com es pot pre-integrar a través del gruix de manera eficient i precisa. Només cal avaluar les integrals a través del gruix un cop: a la configuració de referència. Només hi ha 14 integrals escalars a través del gruix per a cada punt de Gauss. Els exemples numèrics mostren que l'element BEST té potencial per convergir cúbicament. Però també hi ha dubtes de que aquest resultat es pugui reproduir de manera consistent per un ventall ampli de problemes. En problemes dominats per la deformació de tallant en el pla, la formulació emprada en aquesta tesi només assoleix convergència lineal. En exemples orientats a la deformació de membrana que incloguin curvatura, la convergència és quadràtica. L'element BEST pateix de bloqueig per membrana. L'autor suggereix desenvolupar en més profunditat la cinemàtica de les rotacions de barrina per resoldre el bloqueig per membrana

Multiscale Analysis of Reinforced Concrete Structures

A multiscale approach, coined as the High Order Computational Continua (HC2), has been developed for efficient and accurate analysis and design of reinforced concrete structures. Unlike existing homogenization-like methods, the proposed multiscale approach is capable of handling large representative volume elements (RVE), i.e., the classical assumption of infinitesimally is no longer required, while possessing accuracy of direct numerical simulation (DNS) and the computational efficiency of classical homogenization methods. The multiscale beam and plate elements formulated using the proposed HC2 methodology can be easily incorporated into the existing reinforced concrete design practices. The salient features of the proposed formulation are: (i) the ability to consider large representative volume elements (RVE) characteristic to nonsolid beams,waffle and hollowcore slabs, (ii) versatility stemming from the ease of handling damage, prestressing, creep and shrinkage, and (iii) computational efficiency resulting from model reduction, combined with the damage law rescaling methods that yield simulation results nearly mesh-size independent. The multiscale formulation has been validated against experimental data for rectangular beams, I beams, pretensioned beams, continuous posttension beams, solid slabs, prestressed hollowcore slabs and waffle slabs

Modélisation du comportement des composites stratifiés à préformes textiles avec prédiction du délaminage pour des simulations d'impact

Carbon Fabric Reinforced Polymers (CFRP) will soon used in high volume automotive production in order to reduce the vehicle weight. For safety and design reasons, their complex behaviours under low-speed impacts, such as pedestrian impacts, need to be accurately modelled and predicted by finite element simulations. For this purpose, a material model dedicated to explicit finite element simulations has been developed and implemented in a commercial finite element code. Subject to low-speed impacts, the CFRP shows four different physical mechanisms which alter the initial stiffness of the material: intralaminar matrix cracks, fibre failure, delamination and strain-rate sensitivity. The intralaminar damage is modelled through constitutive equations based on the continuum damage theory. It is based on the Onera Damage Model, but with the consideration of friction mechanisms between crack lips in order to represent the hysteresis loops in case of cyclic loading. The strain-rate sensitivity is introduced by means of the rheological generalised Maxwell viscoelastic model. Regarding the fibre damage, a failure criterion based on the strain of the fibre direction is introduced. The energy release due to the fibre failure is also regularised thanks to a smeared crack approach. Finally, in order to welldescribed the out-of-plane behaviour, such as bending, of a laminated CFRP material, a recomputation of a realistic strain field through-the thickness of the laminate is introduced at level of the material model. Based on strain energy equilibrium between usual shell element theory and higher-order zigzag theory, this formulation is able to consider delamination at ply interfaces by using only one shell element through-the-thickness of a laminate. In addition, the model is placed in a total Lagrangian framework to ensure both objectivity and material coherence. The identification procedure, with the needed experimental tests, as well as validation tests and experimental/numerical correlations are given for all physical mechanisms previously described. Finally, this model is evaluated through the behaviour prediction of an industrial structure.Les composites à matrice organique et renforcés par des préformes textiles (CMORT) sont en passe d’être déployés sur les véhicules de grandes séries pour réduire leur poids. Lorsqu’ils sont soumis à des impacts basse vitesse ces matériaux présentent des comportements complexes qui doivent être précisément modélisés et prédis au moyen de simulations par éléments finis. Dans ce but, un modèle matériau a été développé et implémenté dans un code éléments finis commercial. Soumis à un impact basse vitesse, un CMORT présente quatre mécanismes physiques majeurs qui altèrent la rigidité initiale du matériau : fissuration matricielle intralaminaire, rupture des fibres, délaminage et sensibilité à la vitesse de déformation. L’endommagement matriciel est modélisé grâce à un modèle constitutif reposant sur la mécanique de l’endommagement des milieux continus. Basé sur l’Onera Damage Model, il prend en compte les mécanismes de friction aux abords des fissures. La sensibilité à la vitesse de déformation est introduite au moyen d’un modèle de Maxwell généralisé. Ensuite, un critère de rupture est utilisé pour prédire l’initiation de la rupture des fibres et l’endommagement des fibres qui en découle est régularisé par l’utilisation d’un modèle de rupture progressive. Finalement, afin de prédire précisément le comportement hors-plan d’un stratifié, le calcul d’une distribution de déformation réaliste à travers l’épaisseur est réalisé au niveau du modèle matériau. Cette modélisation est capable de prendre en compte les effets du délaminage en utilisant seulement un élément coque. De plus, l’intégralité du modèle est formulé suivant la description Lagrangienne totale afin d’assurer l’objectivité et la cohérence matérielle durant la simulation. La procédure d’identification, ainsi que les tests de validation et les corrélations essais/simulations sont décrits pour chaque mécanisme physique. Enfin, le modèle est évalué au travers de la prédiction du comportement d’une structure automobile industrielle