On star and biclique edge-colorings

A biclique of G is a maximal set of vertices that induces a complete bipartite subgraph Kp,q of G with at least one edge, and a star of a graph G is a maximal set of vertices that induces a complete bipartite graph K1,q. A biclique (resp. star) edge-coloring is a coloring of the edges of a graph with no monochromatic bicliques (resp. stars). We prove that the problem of determining whether a graph G has a biclique (resp. star) edgecoloring using two colors is NP-hard. Furthermore, we describe polynomial time algorithms for the problem in restricted classes: K3-free graphs, chordal bipartite graphs, powers of paths, and powers of cycles

Clique-colouring and biclique-colouring unichord-free graphs

29 p. : il.The class of unichord-free graphs was recently investigated in the context of vertex-colouring [J. Graph Theory 63 (2010) 31{67], edge-colouring [Theoret. Comput. Sci. 411 (2010) 1221{1234] and total- colouring [Discrete Appl. Math. 159 (2011) 1851{1864]. Unichord-free graphs proved to have a rich structure that can be used to obtain in- teresting results with respect to the study of the complexity of colour- ing problems. In particular, several surprising complexity dichotomies of colouring problems are found in subclasses of unichord-free graphs. In the present work, we investigate clique-colouring and biclique-colouring problems restricted to unichord-free graphs. We show that the clique- chromatic number of a unichord-free graph is at most 3, and that the 2-clique-colourable unichord-free graphs are precisely those that are per- fect. We prove that the biclique-chromatic number of a unichord-free graph is at most its clique-number. We describe an O(nm)-time algo- rithm that returns an optimal clique-colouring, but the complexity to optimal biclique-colour a unichord-free graph is not classi ed yet. Nev- ertheless, we describe an O(n2)-time algorithm that returns an optimal biclique-colouring in a subclass of unichord-free graphs called cactus. Keywords: unichord-free, decomposition, hypergraphs, Petersen graph, Heawood graph, clique-colouring, biclique-colouring, cactus

Biclique aresta-coloração por listas

Orientador : Prof. Dr. André Luiz Pires GuedesCoorientadora : Profª. Drª. Marina GroshausDissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Informática. Defesa: Curitiba, 05/06/2017Inclui referências : f. 41-42Resumo: Na coloração de grafos existem algumas versões dos problemas de coloração de vértices e de coloração de arestas. Eles podem ser definidos a partir de conceitos como coloração por listas (colorir os elementos do grafo dados subconjuntos do conjunto de cores) ou colorir os elementos do grafo de forma que não existe uma estrutura monocromática. Um grafo G _e dito k-biclique aresta-selecionável se para qualquer atribuição de listas de cores para as arestas, onde cada lista tem tamanho k, existe uma coloração de E(G), onde cada aresta só pode usar as cores de sua lista, tal que não existe uma biclique (subgrafo induzido bipartido completo maximal) monocromática. Se k é o menor valor tal que G é k-biclique aresta-selecionável então k é o biclique índice de seleção de G. Assim nós podemos definir o k-biclique aresta-selecionabilidade como o problema de decidir se um grafo é k-biclique aresta-selecionável ou não. Nessa dissertação estudamos esse problema por provar que os grafos sem triangulo não isomorfo a um ciclo ímpar são 2-estrela aresta-selecionáveis (estrelas não monocromáticas), os bipartidos cordais são 2-biclique aresta-selecionáveis e mostramos um limite inferior do biclique índice de seleção dos grafos potencias de ciclos e potências de caminhos. E também apresentamos algoritmos polinomiais para computar uma 2-biclique (estrela) aresta-coloração das classes de grafos sem triangulo não isomorfo a um ciclo ímpar e bipartido cordal. Palavras-chave: Coloração por listas, Biclique, Coloração de arestas.Abstract: In graph coloring there are some versions of the vertex coloring and edge coloring problems. They can be defined using concepts like list coloring (to color graph elements given subsets of the set of colors) or coloring the elements of a graph such that there is no monochromatic structure. A graph G is said to be k-biclique edge-choosable if for any list assignment of colors to graph edges, which each list has size k, there is a coloring of E(G), that the edges can only use colors from theirs lists, such that there is no monochromatic biclique (maximal induced complete bipartite subgraph). If k is the smallest value such that G is k-biclique edge-choosable then k is the biclique choice index of G. Therefore we can define the k-biclique edge-choosability as the problem to decide if a given graph is k-biclique edge-choosable or not. In this dissertation we studied this problem by proving that triangle-free graphs not isomorphic to odd cycle are 2-star edge-choosable, the chordal bipartite are 2-biclique edge-choosable and showing a lower bound for the biclique choice index of power of cycles and power of paths. And we also show polynomial algorithms to compute a 2-biclique (star) edge-coloring for the graph classes triangle-free not isomorphic to odd cycle and chordal bipartite. Keywords: List coloring, biclique, edge coloring