Classification of poset-block spaces admitting MacWilliams-type identity

In this work we prove that a poset-block space admits a MacWilliams-type identity if and only if the poset is hierarchical and at any level of the poset, all the blocks have the same dimension. When the poset-block admits the MacWilliams-type identity we explicit the relation between the weight enumerators of a code and its dual.Comment: 8 pages, 1 figure. Submitted to IEEE Transactions on Information Theor

Fourier-Reflexive Partitions and MacWilliams Identities for Additive Codes

A partition of a finite abelian group gives rise to a dual partition on the character group via the Fourier transform. Properties of the dual partitions are investigated and a convenient test is given for the case that the bidual partition coincides the primal partition. Such partitions permit MacWilliams identities for the partition enumerators of additive codes. It is shown that dualization commutes with taking products and symmetrized products of partitions on cartesian powers of the given group. After translating the results to Frobenius rings, which are identified with their character module, the approach is applied to partitions that arise from poset structures

Error-block codes and poset metrics

Let P = ({1, 2,..., n}, <=) be a poset, let V-1, V-2,...,V-n, be a family of finite-dimensional spaces over a finite field F-q and let V = V-1 circle plus V-2 circle plus ... V-n. In this paper we endow V with a poset metric such that the P-weight is constant on the non-null vectors of a component V-i, extending both the poset metric introduced by Brualdi et al. and the metric for linear error-block codes introduced by Feng et al.. We classify all poset block structures which admit the extended binary Hamming code [8; 4; 4] to be a one-perfect poset block code, and present poset block structures that turn other extended Hamming codes and the extended Golay code [24; 12; 8] into perfect codes. We also give a complete description of the groups of linear isometrics of these metric spaces in terms of a semi-direct product, which turns out to be similar to the case of poset metric spaces. In particular, we obtain the group of linear isometrics of the error-block metric spaces.Let P = ({1, 2,..., n}, <=) be a poset, let V-1, V-2,...,V-n, be a family of finite-dimensional spaces over a finite field F-q and let V = V-1 circle plus V-2 circle plus ... V-n. In this paper we endow V with a poset metric such that the P-weight is cons2195111FAPESP - FUNDAÇÃO DE AMPARO À PESQUISA DO ESTADO DE SÃO PAULOsem informaçã

Teoria de códigos : uma abordagem usando métricas que respeitam suporte e outros problemas

Orientador: Marcelo FirerTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Esta tese estuda as métricas definidas por peso e respeitam o suporte dos vetores (TS-métricas) no contexto de teoria de códigos. Sua principal preocupação, considerando famílias específicas de métricas, é explorar e entender alguns resultados "estruturais" das métricas, a saber: descrever o grupo de isometrias lineares e, estabelecer condições para a validade da Identidade MacWilliams (uma relação entre a distribuição de peso de um código e a distribuição de peso - possivelmente de um peso modificado - do código dual) e da propriedade de extensão MacWilliams (quando isometrias lineares entre códigos lineares podem ser estendidas para isometrias lineares em todo o espaço). Esses resultados são os primeiros explorados para a família das métricas combinatoriais de Gabidulin e para uma nova família dessas métricas, as métricas de posets-bloco-rotulados. Além disso, é apresentada uma abordagem sistemática ao espaço de todas as TS-métricas, primeiro rotulando as arestas do cubo de Hamming. Em seguida, introduzimos um operador condicional nas TS-métricas, o que permite mostrar que qualquer TS-métrica pode ser obtida por uma sequência de somas condicionais de poset ou métricas combinatórias. Além deste estudo sistemático de TS-métricas, apresentamos alguns resultados relevantes em relação à representação de dígrafosAbstract: This thesis studies metrics determined by weight that are compatible with support of vectors (TS-metrics) in the context of coding theory. Its main concern, considering specific families of metrics, is to explore and understand some ''structural'' results of the metrics, namely: to describe the group of linear isometries and to establish conditions for the validity of the MacWilliams Identity (a relation between the weight distribution of a code and the weight distribution - possibly of a modified weight - of the dual code) and the MacWilliams extension property (when linear isometries between linear codes can be extended to linear isometries on the whole space).These results are first explored for the family of Gabidulin¿s comibinatorial metrics and for a new family of such metrics, the labeled-poset-block metrics. In addition, it is introduce a systematic approach to the space of all TS-metrics, first by labeling the edges of the Hamming cube. Then, we introduce a conditional operator on TS-metrics, which allows to show that any TS-metrics can be obtained, by a sequence of conditional sums of poset or combinatorial metrics. Besides this systematic study of TS-metrics, we present some relevant results concerning representation of digraphsDoutoradoMatematicaDoutor em Matemática2015/11286-8FAPES

Duality for poset codes

Orientador: Marcelo FirerTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientificaResumo: Considerando uma generalização da métrica de Hamming, a métrica ponderada por uma ordem parcial, fazemos uma descrição sistemática para os espaços com a métrica ponderada, dando ênfase aos códigos poset e à hierarquia de pesos contextualizada nesse novo ambiente. Técnicas de multiconjunto, para códigos ponderados, são utilizadas para estender o Teorema da Dualidade de Wei, uma relação entre as hierarquias do código e do seu dual. Como consequência desta Dualidade estendemos certos resultados sobre a discrepância, códigos MDS e uma relação entre a condição cadeia do código e do seu dual.Abstract: Considering a generalization of the Hamming metric, the metric weighted by a partial order, we make a systematic description of the spaces with those metrics, emphasizing poset codes and the weight hierarchy of weights of those codes. Techniques of multiset, for weighted codes, are used to extend the Duality Theorem of Wei, a relationship between the hierarchy of a code and its dual. As a consequence of Duality we extend some results about the discrepancy, MDS codes and a relationship between a chain code and its dual.DoutoradoMatematicaDoutor em Matemátic