Kolmogorov complexity

In dieser Dissertation werden neue Ergebnisse über Kolmogorovkomplexität diskutiert. Ihr erster Teil konzentriert sich auf das Studium von Kolmogorovkomplexität ohne Zeitschranken. Hier beschäftigen wir uns mit dem Konzept nicht-monotoner Zufälligkeit, d.h. Zufälligkeit, die von Martingalen charakterisiert wird, die in nicht-monotoner Reihenfolge wetten dürfen. Wir werden in diesem Zusammenhang eine Reihe von Zufälligkeitsklassen einführen, und diese dann von einander separieren. Wir präsentieren auß erdem einen systematischen überblick über verschiedene Traceability-Begriffe und charakterisieren diese durch (Auto-)Komplexitätsbegriffe. Traceabilities sind eine Gruppe von Begriffen, die ausdrücken, dass eine Menge beinahe berechenbar ist. Der zweite Teil dieses Dokuments beschäftigt sich mit dem Thema zeitbeschränkter Kolmogorovkomplexität. Zunächst untersuchen wir den Unterschied zwischen zwei Arten, ein Wort zu beschreiben: Die Komplexität, es genau genug zu beschreiben, damit es von anderen Wörter unterschieden werden kann; sowie die Komplexität, es genau genug zu beschreiben, damit das Wort aus der Beschreibung tatsächlich generiert werden kann. Diese Unterscheidung ist im Falle zeitunbeschränkter Kolmogorovkomplexität nicht von Bedeutung; sobald wir jedoch Zeitschranken einführen, wird sie essentiell. Als nächstes führen wir den Begriff der Tiefe ein und beweisen ein ihn betreffendes Dichotomieresultat, das in seiner Struktur an Kummers bekanntes Gap-Theorem erinnert. Zu guter Letzt betrachten wir den wichtigen Begriff der Solovayfunktionen. Hierbei handelt es sich um berechenbare obere Schranken der Kolmogorovkomplexität, die unendlich oft scharf sind. Wir benutzen sie, um in einem gewissen Zusammenhang Martin-Löf-Zufälligkeit zu charakterisieren, und um eine Charakterisierung von Jump-Traceability anzugeben

Optimal asymptotic bounds on the oracle use in computations from Chaitin’s Omega

Chaitin’s number is the halting probability of a universal prefix-free machine, and although it depends on the underlying enumeration of prefix-free machines, it is always Turing-complete. It can be observed, in fact, that for every computably enumerable (c.e.) real �, there exists a Turing functional via which computes �, and such that the number of bits of that are needed for the computation of the first n bits of � (i.e. the use on argument n) is bounded above by a computable function h(n) = n + o (n). We characterise the asymptotic upper bounds on the use of Chaitin’s in oracle computations of halting probabilities (i.e. c.e. reals). We show that the following two conditions are equivalent for any computable function h such that h(n)

On the Design of LIL Tests for (Pseudo) Random Generators and Some Experimental Results

NIST SP800-22 (2010) proposes the state of art testing suite for (pseudo) random generators to detect deviations of a binary sequence from randomness. On the one hand, as a counter example to NIST SP800-22 test suite, it is easy to construct functions that are considered as GOOD pseudorandom generators by NIST SP800-22 test suite though the output of these functions are easily distinguishable from the uniform distribution. Thus these functions are not pseudorandom generators by definition. On the other hand, NIST SP800-22 does not cover some of the important laws for randomness. Two fundamental limit theorems about random binary strings are the central limit theorem and the law of the iterated logarithm (LIL). Several frequency related tests in NIST SP800-22 cover the central limit theorem while no NIST SP800-22 test covers LIL. This paper proposes techniques to address the above challenges that NIST SP800-22 testing suite faces. Firstly, we propose statistical distance based testing techniques for (pseudo) random generators to reduce the above mentioned Type II errors in NIST SP800-22 test suite. Secondly, we propose LIL based statistical testing techniques, calculate the probabilities, and carry out experimental tests on widely used pseudorandom generators by generating around 30TB of pseudorandom sequences. The experimental results show that for a sample size of 1000 sequences (2TB), the statistical distance between the generated sequences and the uniform distribution is around 0.07 (with $0$ for statistically indistinguishable and $1$ for completely distinguishable) and the root-mean-square deviation is around 0.005