Automated deduction with built-in theories: completeness results and constraint solving techniques

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Combinable Extensions of Abelian Groups

The design of decision procedures for combinations of theories sharing some arithmetic fragment is a challenging problem in verification. One possible solution is to apply a combination method à la Nelson-Oppen, like the one developed by Ghilardi for unions of non-disjoint theories. We show how to apply this non-disjoint combination method with the theory of abelian groups as shared theory. We consider the completeness and the effectiveness of this non-disjoint combination method. For the completeness, we show that the theory of abelian groups can be embedded into a theory admitting quantifier elimination. For achieving effectiveness, we rely on a superposition calculus modulo abelian groups that is shown complete for theories of practical interest in verification

Set of support, demodulation, paramodulation: a historical perspective

This article is a tribute to the scientific legacy of automated reasoning pioneer and JAR founder Lawrence T. (Larry) Wos. Larry's main technical contributions were the set-of-support strategy for resolution theorem proving, and the demodulation and paramodulation inference rules for building equality into resolution. Starting from the original definitions of these concepts in Larry's papers, this survey traces their evolution, unearthing the often forgotten trails that connect Larry's original definitions to those that became standard in the field

Superposition modulo theory

This thesis is about the Hierarchic Superposition calculus SUP(T) and its application to reasoning in hierarchic combinations FOL(T) of the free first-order logic FOL with a background theory T where the hierarchic calculus is refutationally complete or serves as a decision procedure. Particular hierarchic combinations covered in the thesis are the combinations of FOL and linear and non-linear arithmetic, LA and NLA resp. Recent progress in automated reasoning has greatly encouraged numerous applications in soft- and hardware verification and the analysis of complex systems. The applications typically require to determine the validity/unsatisfiability of quantified formulae over the combination of the free first-order logic with some background theories. The hierarchic superposition leverages both (i) the reasoning in FOL equational clauses with universally quantified variables, like the standard superposition does, and (ii) powerful reasoning techniques in such theories as, e.g., arithmetic, which are usually not (finitely) axiomatizable by FOL formulae, like modern SMT solvers do. The thesis significantly extends previous results on SUP(T), particularly: we introduce new substantially more effective sufficient completeness and hierarchic redundancy criteria turning SUP(T) to a complete or a decision procedure for various FOL(T) fragments; instantiate and refine SUP(T) to effectively support particular combinations of FOL with the LA and NLA theories enabling a fully automatic mechanism of reasoning about systems formalized in FOL(LA) or FOL(NLA).Diese Arbeit befasst sich mit dem hierarchischen Superpositionskalkül SUP(T) und seiner Anwendung auf hierarchischen Kombinationen FOL(T) der freien Logik erste Stufe FOL und einer Hintergrundtheorie T, deren hierarchischer Kalkül widerlegungsvollständig ist oder als Entscheidungsverfahren dient. Die behandelten hierarchischen Kombinationen sind im Besonderen die Kombinationen von FOL und linearer und nichtlinearer Arithmetik, LA bzw. NLA. Die jüngsten Fortschritte in dem Bereich des automatisierten Beweisens haben zahlreiche Anwendungen in der Soft- und Hardwareverifikation und der Analyse komplexer Systeme hervorgebracht. Die Anwendungen erfordern typischerweise die Gültigkeit/Unerfüllbarkeit quantifizierter Formeln über Kombinationen der freien Logik erste Stufe mit Hintergrundtheorien zu bestimmen. Die hierarchische Superposition verbindet beides: (i) das Beweisen über FOL-Klauseln mit Gleichheit und allquantifizierten Variablen, wie in der Standardsuperposition, und (ii) mächtige Beweistechniken in Theorien, die üblicherweise nicht (endlich) axiomatisierbar durch FOL-Formeln sind (z. B. Arithmetik), wie in modernen SMT-Solvern. Diese Arbeit erweitert frühere Ergebnisse über SUP(T) signifikant, im Besonderen führen wir substantiell effektiverer Kriterien zur Bestimmung der hinreichenden Vollständigkeit und der hierarchischen Redundanz ein. Mit diesen Kriterien wird SUP(T) widerlegungsvollständig beziehungsweise ein Entscheidungsverfahren für verschiedene FOL(T)-Fragmente. Weiterhin instantiieren und verfeinern wir SUP(T), um effektiv die Kombinationen von FOL mit der LA- und der NLA-Theorie zu unterstützen, und erhalten eine vollautomatische Beweisprozedur auf Systemen, die in FOL(LA) oder FOL(NLA) formalisiert werden können

Superposition: Types and Induction

Proof assistants are becoming widespread for formalization of theories both in computer science and mathematics. They provide rich logics with powerful type systems and machine-checked proofs which increase the confidence in the correctness in complicated and detailed proofs. However, they incur a significant overhead compared to pen-and-paper proofs. This thesis describes work on bridging the gap between high-order proof assistants and first-order automated theorem provers by extending the capabilities of the automated theorem provers to provide features usually found in proof assistants. My first contribution is the development and implementation of a first-order superposition calculus with a polymorphic type system that supports type classes and the accompanying refutational completeness proof for that calculus. The inclusion of the type system into the superposition calculus and solvers completely removes the type encoding overhead when encoding problems from many proof assistants. My second contribution is the development of SupInd, an extension of the typed superposition calculus that supports data types and structural induction over those data types. It includes heuristics that guide the induction and conjecture strengthening techniques, which can be applied independently of the underlying calculus. I have implemented the contributions in a tool called Pirate. The evaluations of both contributions show promising results.Beweisassistenten werden zunehmend in der Formalisierung von Theorien, sowohl in der Informatik als auch in der Mathematik, genutzt. Ihre vielseitigen Logiken mit ausdrucksstarken Typsystemen ermöglichen Maschinenkontrollierte Beweise. Dies erhöht die Vertrauenswürdigkeit von komplizierten und detaillierten Beweisen. Im Gegensatz zu Papierbeweisen ist ihr Gebrauch jedoch aufwendiger. Diese Dissertation beschreibt Fortschritte darin, den Abstand zwischen Beweisassistenten höherer Stufe und automatischen Beweissystemen erster Stufe zu schließen, indem automatische Beweissysteme so erweitert werden, dass sie die Möglichkeiten die Beweisassistenten bieten auch bereit stellen. Der erste Beitrag ist die Erweiterung des Superpositionskalküls erster Stufe um ein polymorphes Typsystem, das Typklassen unterstützt. Die Erweiterung beinhaltet einen Beweis der Widerlegungsvollständigkeit. Das Typsystem als Teil des Superpositionskalkül ermöglicht die Übertragung von Problemen aus Beweisassistenten ohne den sonst üblichen Mehraufwand durch Typenenkodierung. Der zweite Beitrag ist die Entwicklung von SupInd, einer Erweiterung von Superposition, die Datentypen und strukturelle Induktion über diese Datentypen ermöglicht. SupInd beinhaltet Heuristiken, die die Induktion lenken und Annahmenverstärkungstechniken, die auch unabhängig des Kalküls benutzt werden können. Die Beiträge wurden im Tool Pirate umgesetzt, die Evaluationen zeigen vielversprechende Ergebnisse

Cancellative abelian monoids in refutational theorem proving

We present a constraint superposition calculus in which the axioms of cancellative abelian monoids and, optionally, further axioms (e.g., torsion-freeness) are integrated. Cancellative abelian monoids comprise abelian groups, but also such ubiquitous structures as the natural numbers or multisets. Our calculus requires neither extended clauses nor explicit inferences with the theory axioms. The number of variable overlaps is significantly reduced by strong ordering restrictions and powerful variable elimination techniques; in divisible torsion-free abelian groups, variable overlaps can even be avoided completely. Thanks to the equivalence of torsion-free cancellative and totally ordered abelian monoids, our calculus allows us to solve equational problems in totally ordered abelian monoids without requiring a detour via ordering literals.Wir stellen einen Constraint-Superpositionskalkül vor, in den die Axiome kürzbarer abelscher Monoide und weitere optionale Axiome (z.B. Torsionsfreiheit) eingebaut sind. Kürzbare abelsche Monoide umfassen abelsche Gruppen, aber auch so allgegenwärtige Strukturen wie die natürlichen Zahlen oder Multisets. Unser Kalkül erfordert weder erweiterte Klauseln noch explizite Interferenzen mit den Theorieaxiomen. Durch verschärfte Ordnungseinschränkungen und leistungsfähige Variableneliminationstechniken erzielen wir eine deutliche Einschränkung von Überlappungen mit Variablen; in dividierbaren torsionsfreien abelschen Gruppen werden Variablenüberlappungen sogar gänzlich überflüssig. Dank der Äquivalenz torsionsfreier kürzbarer und total geordneter abelscher Monoide bietet unser Kalkül die Möglichkeit, Gleichungsprobleme in total geordneten abelschen Monoiden ohne Umweg über Ordnungsliterale zu lösen

Cancellative abelian monoids in refutational theorem proving

We present a constraint superposition calculus in which the axioms of cancellative abelian monoids and, optionally, further axioms (e.g., torsion-freeness) are integrated. Cancellative abelian monoids comprise abelian groups, but also such ubiquitous structures as the natural numbers or multisets. Our calculus requires neither extended clauses nor explicit inferences with the theory axioms. The number of variable overlaps is significantly reduced by strong ordering restrictions and powerful variable elimination techniques; in divisible torsion-free abelian groups, variable overlaps can even be avoided completely. Thanks to the equivalence of torsion-free cancellative and totally ordered abelian monoids, our calculus allows us to solve equational problems in totally ordered abelian monoids without requiring a detour via ordering literals.Wir stellen einen Constraint-Superpositionskalkül vor, in den die Axiome kürzbarer abelscher Monoide und weitere optionale Axiome (z.B. Torsionsfreiheit) eingebaut sind. Kürzbare abelsche Monoide umfassen abelsche Gruppen, aber auch so allgegenwärtige Strukturen wie die natürlichen Zahlen oder Multisets. Unser Kalkül erfordert weder erweiterte Klauseln noch explizite Interferenzen mit den Theorieaxiomen. Durch verschärfte Ordnungseinschränkungen und leistungsfähige Variableneliminationstechniken erzielen wir eine deutliche Einschränkung von Überlappungen mit Variablen; in dividierbaren torsionsfreien abelschen Gruppen werden Variablenüberlappungen sogar gänzlich überflüssig. Dank der Äquivalenz torsionsfreier kürzbarer und total geordneter abelscher Monoide bietet unser Kalkül die Möglichkeit, Gleichungsprobleme in total geordneten abelschen Monoiden ohne Umweg über Ordnungsliterale zu lösen