Combinable Extensions of Abelian Groups

The design of decision procedures for combinations of theories sharing some arithmetic fragment is a challenging problem in verification. One possible solution is to apply a combination method à la Nelson-Oppen, like the one developed by Ghilardi for unions of non-disjoint theories. We show how to apply this non-disjoint combination method with the theory of abelian groups as shared theory. We consider the completeness and the effectiveness of this non-disjoint combination method. For the completeness, we show that the theory of abelian groups can be embedded into a theory admitting quantifier elimination. For achieving effectiveness, we rely on a superposition calculus modulo abelian groups that is shown complete for theories of practical interest in verification

Superposition modulo theory

This thesis is about the Hierarchic Superposition calculus SUP(T) and its application to reasoning in hierarchic combinations FOL(T) of the free first-order logic FOL with a background theory T where the hierarchic calculus is refutationally complete or serves as a decision procedure. Particular hierarchic combinations covered in the thesis are the combinations of FOL and linear and non-linear arithmetic, LA and NLA resp. Recent progress in automated reasoning has greatly encouraged numerous applications in soft- and hardware verification and the analysis of complex systems. The applications typically require to determine the validity/unsatisfiability of quantified formulae over the combination of the free first-order logic with some background theories. The hierarchic superposition leverages both (i) the reasoning in FOL equational clauses with universally quantified variables, like the standard superposition does, and (ii) powerful reasoning techniques in such theories as, e.g., arithmetic, which are usually not (finitely) axiomatizable by FOL formulae, like modern SMT solvers do. The thesis significantly extends previous results on SUP(T), particularly: we introduce new substantially more effective sufficient completeness and hierarchic redundancy criteria turning SUP(T) to a complete or a decision procedure for various FOL(T) fragments; instantiate and refine SUP(T) to effectively support particular combinations of FOL with the LA and NLA theories enabling a fully automatic mechanism of reasoning about systems formalized in FOL(LA) or FOL(NLA).Diese Arbeit befasst sich mit dem hierarchischen Superpositionskalkül SUP(T) und seiner Anwendung auf hierarchischen Kombinationen FOL(T) der freien Logik erste Stufe FOL und einer Hintergrundtheorie T, deren hierarchischer Kalkül widerlegungsvollständig ist oder als Entscheidungsverfahren dient. Die behandelten hierarchischen Kombinationen sind im Besonderen die Kombinationen von FOL und linearer und nichtlinearer Arithmetik, LA bzw. NLA. Die jüngsten Fortschritte in dem Bereich des automatisierten Beweisens haben zahlreiche Anwendungen in der Soft- und Hardwareverifikation und der Analyse komplexer Systeme hervorgebracht. Die Anwendungen erfordern typischerweise die Gültigkeit/Unerfüllbarkeit quantifizierter Formeln über Kombinationen der freien Logik erste Stufe mit Hintergrundtheorien zu bestimmen. Die hierarchische Superposition verbindet beides: (i) das Beweisen über FOL-Klauseln mit Gleichheit und allquantifizierten Variablen, wie in der Standardsuperposition, und (ii) mächtige Beweistechniken in Theorien, die üblicherweise nicht (endlich) axiomatisierbar durch FOL-Formeln sind (z. B. Arithmetik), wie in modernen SMT-Solvern. Diese Arbeit erweitert frühere Ergebnisse über SUP(T) signifikant, im Besonderen führen wir substantiell effektiverer Kriterien zur Bestimmung der hinreichenden Vollständigkeit und der hierarchischen Redundanz ein. Mit diesen Kriterien wird SUP(T) widerlegungsvollständig beziehungsweise ein Entscheidungsverfahren für verschiedene FOL(T)-Fragmente. Weiterhin instantiieren und verfeinern wir SUP(T), um effektiv die Kombinationen von FOL mit der LA- und der NLA-Theorie zu unterstützen, und erhalten eine vollautomatische Beweisprozedur auf Systemen, die in FOL(LA) oder FOL(NLA) formalisiert werden können

Superposition: Types and Induction

Proof assistants are becoming widespread for formalization of theories both in computer science and mathematics. They provide rich logics with powerful type systems and machine-checked proofs which increase the confidence in the correctness in complicated and detailed proofs. However, they incur a significant overhead compared to pen-and-paper proofs. This thesis describes work on bridging the gap between high-order proof assistants and first-order automated theorem provers by extending the capabilities of the automated theorem provers to provide features usually found in proof assistants. My first contribution is the development and implementation of a first-order superposition calculus with a polymorphic type system that supports type classes and the accompanying refutational completeness proof for that calculus. The inclusion of the type system into the superposition calculus and solvers completely removes the type encoding overhead when encoding problems from many proof assistants. My second contribution is the development of SupInd, an extension of the typed superposition calculus that supports data types and structural induction over those data types. It includes heuristics that guide the induction and conjecture strengthening techniques, which can be applied independently of the underlying calculus. I have implemented the contributions in a tool called Pirate. The evaluations of both contributions show promising results.Beweisassistenten werden zunehmend in der Formalisierung von Theorien, sowohl in der Informatik als auch in der Mathematik, genutzt. Ihre vielseitigen Logiken mit ausdrucksstarken Typsystemen ermöglichen Maschinenkontrollierte Beweise. Dies erhöht die Vertrauenswürdigkeit von komplizierten und detaillierten Beweisen. Im Gegensatz zu Papierbeweisen ist ihr Gebrauch jedoch aufwendiger. Diese Dissertation beschreibt Fortschritte darin, den Abstand zwischen Beweisassistenten höherer Stufe und automatischen Beweissystemen erster Stufe zu schließen, indem automatische Beweissysteme so erweitert werden, dass sie die Möglichkeiten die Beweisassistenten bieten auch bereit stellen. Der erste Beitrag ist die Erweiterung des Superpositionskalküls erster Stufe um ein polymorphes Typsystem, das Typklassen unterstützt. Die Erweiterung beinhaltet einen Beweis der Widerlegungsvollständigkeit. Das Typsystem als Teil des Superpositionskalkül ermöglicht die Übertragung von Problemen aus Beweisassistenten ohne den sonst üblichen Mehraufwand durch Typenenkodierung. Der zweite Beitrag ist die Entwicklung von SupInd, einer Erweiterung von Superposition, die Datentypen und strukturelle Induktion über diese Datentypen ermöglicht. SupInd beinhaltet Heuristiken, die die Induktion lenken und Annahmenverstärkungstechniken, die auch unabhängig des Kalküls benutzt werden können. Die Beiträge wurden im Tool Pirate umgesetzt, die Evaluationen zeigen vielversprechende Ergebnisse

Cancellative Abelian Monoids and Related Structures in Refutational Theorem Proving (Part I)

We present superposition calculi in which the axioms of cancellative abelian monoids and, optionally, the torsion-freeness axiom are integrated. Cancellative abelian monoids comprise abelian groups, but also such ubiquitous structures as the natural numbers or multisets. Our calculi require neither extended clauses nor explicit inferences with the theory axioms. Compared with AC-superposition calculi, the number of variable overlaps is significantly reduced by strong ordering restrictions

Saturation-based decision procedures for extensions of the guarded fragment

We apply the framework of Bachmair and Ganzinger for saturation-based theorem proving to derive a range of decision procedures for logical formalisms, starting with a simple terminological language EL, which allows for conjunction and existential restrictions only, and ending with extensions of the guarded fragment with equality, constants, functionality, number restrictions and compositional axioms of form S ◦ T ⊆ H. Our procedures are derived in a uniform way using standard saturation-based calculi enhanced with simplification rules based on the general notion of redundancy. We argue that such decision procedures can be applied for reasoning in expressive description logics, where they have certain advantages over traditionally used tableau procedures, such as optimal worst-case complexity and direct correctness proofs.Wir wenden das Framework von Bachmair und Ganzinger für saturierungsbasiertes Theorembeweisen an, um eine Reihe von Entscheidungsverfahren für logische Formalismen abzuleiten, angefangen von einer simplen terminologischen Sprache EL, die nur Konjunktionen und existentielle Restriktionen erlaubt, bis zu Erweiterungen des Guarded Fragment mit Gleichheit, Konstanten, Funktionalität, Zahlenrestriktionen und Kompositionsaxiomen der Form S ◦ T ⊆ H. Unsere Verfahren sind einheitlich abgeleitet unter Benutzung herkömmlicher saturierungsbasierter Kalküle, verbessert durch Simplifikationsregeln, die auf dem Konzept der Redundanz basieren. Wir argumentieren, daß solche Entscheidungsprozeduren für das Beweisen in ausdrucksvollen Beschreibungslogiken angewendet werden können, wo sie gewisse Vorteile gegenüber traditionell benutzten Tableauverfahren besitzen, wie z.B. optimale worst-case Komplexität und direkte Korrektheitsbeweise