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List Distinguishing Parameters of Trees
A coloring of the vertices of a graph G is said to be distinguishing}
provided no nontrivial automorphism of G preserves all of the vertex colors.
The distinguishing number of G, D(G), is the minimum number of colors in a
distinguishing coloring of G. The distinguishing chromatic number of G,
chi_D(G), is the minimum number of colors in a distinguishing coloring of G
that is also a proper coloring.
Recently the notion of a distinguishing coloring was extended to that of a
list distinguishing coloring. Given an assignment L= {L(v) : v in V(G)} of
lists of available colors to the vertices of G, we say that G is (properly)
L-distinguishable if there is a (proper) distinguishing coloring f of G such
that f(v) is in L(v) for all v. The list distinguishing number of G, D_l(G), is
the minimum integer k such that G is L-distinguishable for any list assignment
L with |L(v)| = k for all v. Similarly, the list distinguishing chromatic
number of G, denoted chi_{D_l}(G) is the minimum integer k such that G is
properly L-distinguishable for any list assignment L with |L(v)| = k for all v.
In this paper, we study these distinguishing parameters for trees, and in
particular extend an enumerative technique of Cheng to show that for any tree
T, D_l(T) = D(T), chi_D(T)=chi_{D_l}(T), and chi_D(T) <= D(T) + 1.Comment: 10 page
Impact of Symmetries in Graph Clustering
Diese Dissertation beschäftigt sich mit der durch die Automorphismusgruppe definierten Symmetrie von Graphen und wie sich diese auf eine Knotenpartition, als Ergebnis von Graphenclustering, auswirkt. Durch eine Analyse von nahezu 1700 Graphen aus verschiedenen Anwendungsbereichen kann gezeigt werden, dass mehr als 70 % dieser Graphen Symmetrien enthalten. Dies bildet einen Gegensatz zum kombinatorischen Beweis, der besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Graphen symmetrisch zu sein bei zunehmender Größe gegen Null geht. Das Ergebnis rechtfertigt damit die Wichtigkeit weiterer Untersuchungen, die auf mögliche Auswirkungen der Symmetrie eingehen. Bei der Analyse werden sowohl sehr kleine Graphen (10 000 000 Knoten/>25 000 000 Kanten) berücksichtigt.
Weiterhin wird ein theoretisches Rahmenwerk geschaffen, das zum einen die detaillierte Quantifizierung von Graphensymmetrie erlaubt und zum anderen Stabilität von Knotenpartitionen hinsichtlich dieser Symmetrie formalisiert. Eine Partition der Knotenmenge, die durch die Aufteilung in disjunkte Teilmengen definiert ist, wird dann als stabil angesehen, wenn keine Knoten symmetriebedingt von der einen in die andere Teilmenge abgebildet werden und dadurch die Partition verändert wird. Zudem wird definiert, wie eine mögliche Zerlegbarkeit der Automorphismusgruppe in unabhängige Untergruppen als lokale Symmetrie interpretiert werden kann, die dann nur Auswirkungen auf einen bestimmten Bereich des Graphen hat. Um die Auswirkungen der Symmetrie auf den gesamten Graphen und auf Partitionen zu quantifizieren, wird außerdem eine Entropiedefinition präsentiert, die sich an der Analyse dynamischer Systeme orientiert. Alle Definitionen sind allgemein und können daher für beliebige Graphen angewandt werden. Teilweise ist sogar eine Anwendbarkeit für beliebige Clusteranalysen gegeben, solange deren Ergebnis in einer Partition resultiert und sich eine Symmetrierelation auf den Datenpunkten als Permutationsgruppe angeben lässt.
Um nun die tatsächliche Auswirkung von Symmetrie auf Graphenclustering zu untersuchen wird eine zweite Analyse durchgeführt. Diese kommt zum Ergebnis, dass von 629 untersuchten symmetrischen Graphen 72 eine instabile Partition haben. Für die Analyse werden die Definitionen des theoretischen Rahmenwerks verwendet. Es wird außerdem festgestellt, dass die Lokalität der Symmetrie eines Graphen maßgeblich beeinflusst, ob dessen Partition stabil ist oder nicht. Eine hohe Lokalität resultiert meist in einer stabilen Partition und eine stabile Partition impliziert meist eine hohe Lokalität.
Bevor die obigen Ergebnisse beschrieben und definiert werden, wird eine umfassende Einführung in die verschiedenen benötigten Grundlagen gegeben. Diese umfasst die formalen Definitionen von Graphen und statistischen Graphmodellen, Partitionen, endlichen Permutationsgruppen, Graphenclustering und Algorithmen dafür, sowie von Entropie. Ein separates Kapitel widmet sich ausführlich der Graphensymmetrie, die durch eine endliche Permutationsgruppe, der Automorphismusgruppe, beschrieben wird. Außerdem werden Algorithmen vorgestellt, die die Symmetrie von Graphen ermitteln können und, teilweise, auch das damit eng verwandte Graphisomorphie Problem lösen.
Am Beispiel von Graphenclustering gibt die Dissertation damit Einblicke in mögliche Auswirkungen von Symmetrie in der Datenanalyse, die so in der Literatur bisher wenig bis keine Beachtung fanden
Flavour Physics
In these four lectures I review the theory and phenomenology of weak decays
of quarks, and their r\^ole in the determination of the parameters of the
Standard Model of particle physics, in testing subtle features of the theory
and in searching for signatures of new physics. Attempts to understand
CP-violation in current and future experiments is discussed.Comment: A course of four lectures presented at the 1997 European School of
High-Energy Physics, Menstrup, Denmark, 15 May - 7 June 1997 (to be published
in the proceedings). 41 Pages - Latex file plus four figures and 2 style
files. Some references correcte
Vector and axial-vector correlators in a chirally symmetric model
We present a chirally symmetric hadronic model for the vector and
axial-vector correlators in vacuum. The dominant contributions to these
correlators come from intermediate pions, rho and a_1 mesons which are
calculated in one-loop approximation. The resulting spectral functions are
compared with the data obtained by the ALEPH collaboration from tau decay. In
the vector channel we find good agreement up to q^2 = 1 GeV^2, in the
transverse axial-vector channel up to q^2 = 2 GeV^2, corresponding to the
regimes dominated by two-pion or three-pion decay channels, respectively. The
longitudinal axial correlator is in almost perfect agreement with the PCAC
result.Comment: 32 pages, 25 figures included; revised version with one additional
figure and appendix, accepted for publication in Nucl. Phys.
Emergence of polarization in a sigmoidal bounded-confidence model of opinion dynamics
We study a nonlinear bounded-confidence model (BCM) of continuous-time
opinion dynamics on networks with both persuadable individuals and zealots. The
model is parameterized by a scalar , which controls the steepness of a
smooth influence function. This influence function encodes the relative weights
that nodes place on the opinions of other nodes. When , this
influence function recovers Taylor's averaging model; when , the influence function converges to that of a modified
Hegselmann--Krause (HK) BCM. Unlike the classical HK model, however, our
sigmoidal bounded-confidence model (SBCM) is smooth for any finite . We
show that the set of steady states of our SBCM is qualitatively similar to that
of the Taylor model when is small and that the set of steady states
approaches a subset of the set of steady states of a modified HK model as
. For several special graph topologies, we give
analytical descriptions of important features of the space of steady states. A
notable result is a closed-form relationship between the stability of a
polarized state and the graph topology in a simple model of echo chambers in
social networks. Because the influence function of our BCM is smooth, we are
able to study it with linear stability analysis, which is difficult to employ
with the usual discontinuous influence functions in BCMs.Comment: 29 pages, 7 figure
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