Hopf-pitchfork bifurcation of coupled van der Pol oscillator with delay

In this paper, the Hopf-pitchfork bifurcation of coupled van der Pol with delay is studied. The interaction coefficient and time delay are taken as two bifurcation parameters. Firstly, the normal form is gotten by performing a center manifold reduction and using the normal form theory developed by Faria and Magalhães. Secondly, bifurcation diagrams and phase portraits are given through analyzing the unfolding structure. Finally, numerical simulations are used to support theoretical analysis

Network resilience

Many systems on our planet are known to shift abruptly and irreversibly from one state to another when they are forced across a "tipping point," such as mass extinctions in ecological networks, cascading failures in infrastructure systems, and social convention changes in human and animal networks. Such a regime shift demonstrates a system's resilience that characterizes the ability of a system to adjust its activity to retain its basic functionality in the face of internal disturbances or external environmental changes. In the past 50 years, attention was almost exclusively given to low dimensional systems and calibration of their resilience functions and indicators of early warning signals without considerations for the interactions between the components. Only in recent years, taking advantages of the network theory and lavish real data sets, network scientists have directed their interest to the real-world complex networked multidimensional systems and their resilience function and early warning indicators. This report is devoted to a comprehensive review of resilience function and regime shift of complex systems in different domains, such as ecology, biology, social systems and infrastructure. We cover the related research about empirical observations, experimental studies, mathematical modeling, and theoretical analysis. We also discuss some ambiguous definitions, such as robustness, resilience, and stability.Comment: Review chapter

Adaptive dynamical networks

It is a fundamental challenge to understand how the function of a network is related to its structural organization. Adaptive dynamical networks represent a broad class of systems that can change their connectivity over time depending on their dynamical state. The most important feature of such systems is that their function depends on their structure and vice versa. While the properties of static networks have been extensively investigated in the past, the study of adaptive networks is much more challenging. Moreover, adaptive dynamical networks are of tremendous importance for various application fields, in particular, for the models for neuronal synaptic plasticity, adaptive networks in chemical, epidemic, biological, transport, and social systems, to name a few. In this review, we provide a detailed description of adaptive dynamical networks, show their applications in various areas of research, highlight their dynamical features and describe the arising dynamical phenomena, and give an overview of the available mathematical methods developed for understanding adaptive dynamical networks

Stochastic resonance in chua's circuit driven by alpha-stable noise

Thesis (Master)--Izmir Institute of Technology, Electronics and Communication Engineering, Izmir, 2012Includes bibliographical references (leaves: 75-80)Text in English; Abstract: Turkish and Englishx, 80 leavesThe main aim of this thesis is to investigate the stochastic resonance (SR) in Chua's circuit driven by alpha-stable noise which has better approximation to a real-world signal than Gaussian distribution. SR is a phenomenon in which the response of a nonlinear system to a sub-threshold (weak) input signal is enhanced with the addition of an optimal amount of noise. There have been an increasing amount of applications based on SR in various fields. Almost all studies related to SR in chaotic systems assume that the noise is Gaussian, which leads researchers to investigate the cases in which the noise is non-Gaussian hence has infinite variance. In this thesis, the spectral power amplification which is used to quantify the SR has been evaluated through fractional lower order Wigner Ville distribution of the response of a system and analyzed for various parameters of alpha-stable noise. The results provide a visible SR effect in Chua’s circuit driven by symmetric and skewed-symmetric alpha-stable noise distributions. Furthermore, a series of simulations reveal that the mean residence time that is the average time spent by the trajectory in an attractor can vary depending on different alpha-stable noise parameters

Mini-Workshop: Dynamics of Stochastic Systems and their Approximation

The aim of this workshop was to bring together specialists in the area of stochastic dynamical systems and stochastic numerical analysis to exchange their ideas about the state of the art of approximations of stochastic dynamics. Here approximations are considered in the analytical sense in terms of deriving reduced dynamical systems, which are less complex, as well as in the numerical sense via appropriate simulation methods. The main theme is concerned with the efficient treatment of stochastic dynamical systems via both approaches assuming that ideas and methods from one ansatz may prove beneficial for the other. A particular goal was to systematically identify open problems and challenges in this area

Squeezing in Kerr-like cavities: optomechanics, polariton microcavities and superconducting circuits

Aquesta tesi està dedicada fonamentalment a l’estudi teòric de la generació d’estats comprimits de la llum mitjançant cavitats òptiques tipus Kerr amb un bombeig bicromàtic. Bàsicament amb aquest tipus d’injecció fem que la usual corba de biestabilitiat observada en la dinàmica no lineal d’aquests sistemes amb injecció monocromàtica, canvie a una bifurcació tipus forca, degut a un fenòmen de mescla de quatre ones. A prop de l’esmentada bifurcació les fluctuacions quàntiques del camp electromagnètic són modificades de forma que l’estat quàntic de la llum a l’eixida de la cavitat és d’un buit comprimit. En aquesta introducció explicarem breument que és aquesta compressió de la llum, que són les cavitats Kerr i com les utilitzem per a modificar les propietats quàntiques de la llum. L’evolució temporal del camp electromagnètic en una regió lliure de càrregues ve descrita, en la seua forma més simple, per l’equació d’una ona plana com E(r, t) = E0 cos(ωt + φ), on E0 és l’amplitud i φ la fase de la ona. Aquesta equaciò pot ser escrita de la forma següent E = E1 cos ωt + E2 sin ωt, on hem introduït les quadratrues del camp electromagnètic Ei. Sota la descripció quàntica, el camp electromagnètic ve representat per un operador que actua sobre vectors de l’espai de Hilbert, on estan representats tots els diferents estats que pot assolir el sistema. Els observables del camp, que poden ser mesurats als experiments utilitzant detecció homodina, són les ja introduïdes quadratures del camp. Aquestes components obeeixen el principi d’incertesa de Heisenberg: si preparem diferents sistemes idèntics i en cadascún d’ells fem mesures d’ambdues quadratures complementaries, les seves variances obeeixen sempre que ΔE1 · ΔE2 ≥ epsilon. Per als anomenats estats coherents del camp, aproximadament el tipus de llum que genera un làser, com que les fluctuacions del camp tenen fases arbitràries, les variàncies d’ambdues quadratures són iguals, verificant que ΔE1 = ΔE2 ≥ √epsilon, on la igualtat es dona per als anomenats estat buit i per als coherents, on les fluctuacions són mínimes. Aquestes fluctuacions quàntiques poden ser modificades mitjaçant elements que introdueixen una interacció no lineal per al camp electromagnètic. D’aquesta forma estats de la llum on la variància per a una quadratura estiga sota la variància del buit poden ser generats. Aquestos estats s’anomenen estats comprimits de la llum i hi han estat generats als laboratoris emprant diversos sistems com l’oscil·lador òptic paramètric, cavitats Kerr amb injecció monocromàtica... Nosaltres proposem l’ús de cavitats Kerr amb injecció bicromàtica. Els estats comprimits tenen diferents aplicacions pel que fa a les tecnologies quàntiques: s’utilitzen per a mesures de precisió a interferòmetres (com per exemple LIGO), en certs protocols de computació quàntica,... Una cavitat tipus Kerr, és un sistema òptic composat d’un sistema d’espills que confina la llum a l’interior (formant una cavitat òptica) amb un element responsable de l’efecte Kerr. Aquest efecte consisteix en la generació d’una variació en la fase del camp electromagnètic, donada per una variació del camí òptic, proporcional a la intensitat del mateix camp. El Hamiltonià que descriu aquesta intaracció es proporcional al següent operador a†a†aa, (1) essent a l’operador bosònic de destrucció per al mode del camp electromagnètic considerat. Usualment aquests sistemes estan composats d’una cavitat tipus Fabry- Perot (dos espills enfrontats) amb un cristall Kerr a l’interior, on l’índex de refracció varia proporcionalment a la intensitat de la llum, i per tant el camí òptic es veu modificat, donant lloc a una variació de la fase del camp. Aquest és un efecte no lineal degut a la depèndencia amb la intesitat de la llum, que és proporcial al quadrat del camp. La importància de l’efecte Kerr per a la generació d’estats comprimits de la llum es troba en que introduix correlacions entre la quadratura d’amplitud i la quadratura de fase del camp. Si representem en l’espai de fases un estat coherent, observem que té una forma de disc degut a que les fluctuacions són independents de la fase, i si seguim la seua evolució sota la interacció Kerr, observem que les regions corresponents a una major intensitat han experimentat un major desplaçament de fase, resultant en un estat on les fluctuacions en una determinada quadratura són molt més grans que en la ortogonal. Amb el desenvolupament de noves tecnologies en els camps de les nanociències i les ciències de materials, han sorgit noves plataformes on poder implementar l’efecte Kerr. Aquestes presenten avantatges des del punt de vista de la generació d’estats quàntics de la llum, ja que permeten construir sistemes amb un millor aïllament de l’exterior, amb menys fonts de soroll i amb una varietat major de paràmetres que poder modificar. En aquesta tesi considerem les següents plataformes que presenten l’efecte Kerr: • Cavitats optomecàniques. Es tracta de cavitats òptiques, la longitud de la qual varia degut a l’acoblament amb les vibracions d’un grau de llibertat mecànic. L’exemple més senzill és una cavitat de tipus Fabry-Perot on un dels epills oscil·la acoblat a un moll. El camp intracavitat exerceix una força sobre l’espill mòbil degut a la pressió de radiació, generant un desplaçament de l’espill proporcional a la intensitat, i per tant una variació de la frequència de ressonància de la cavitat semblant a la deguda a l’efecte Kerr. Si aquests sistemes s’aïllen adequadament dels voltants i mitjançant differents tècniques són refredats de forma que el nombre de fonons de soroll és petit, es poden observan fenòmens quàntics. Els sistemes optomecànics són particularment importats per a l’estudi dels fonaments de la física quàntica, ja que són sistemes macroscòpics que poden donar pistes sobre la transició de la física cuàntica a la física clàssica. • Microcavitats polaritòniques. Es tracta de microcavitats òptiques construïdes amb espills de Bragg (làmines superpostes de diferents materials semiconductors que per a certes longituds d’ona tenen coefficients de reflexió molt alts), a l’interior de les quals s’insereix generalment un pou quàntic. Quan aquest es excitat amb llum, parells electrò-forat es creen, donant lloc a quasipartícules conegudes com excitons. Aquestes tenen una durada donada pel temps que tarda en recombinar-se el parell electrò-forat amb l’emissió del corresponent fotó. En el límit en que la generació i recombinació es donen ràpidament, no té cap sentit de tractar aïlladament fotons i excitons, sinò de modes híbrids amb unes propietats particulars anomenats modes polaritònics. Degut a que els polaritons contenen per partícules carregades, la força de Coulomb residual dóna lloc a diverses interaccions no lineals entre polaritons, entre aquestes hi trobem termes d’interacció tipus Kerr. La particularitat d’aquests sistemes està en que sols la part de la llum que forma la quasipartícula ix de la cavitat, on pot ser detectada. • Circuits superconductors. Aquests sistemes funcionen en el règim de les microones. Bàsicament consisteixen en circuits elèctrics formats amb els elementes usuals: linies de transmissió, inductàncies, condensadors... però refredats a temperatures on s’observa superconductivitat. En aquest règim cal emprar la mecànica quàntica per descriure els circuits, ja que el corrent està quantitzat. La interacció no lineal ve donada per un element conegut con unió de Josephson, que pot ser descrit com una inductància no lineal. Aquest element està format per dos superconductors separats per una zona aïllant, que pot ser travessada pel corrent degut a l’efecte túnel. Amb aquest elements es poden construir circuits dissenyats específicament per a realitzar diferents tasques, sols cal triar els elements i paràmetres de la forma correcta. Així és poden construir cavitats que presenten una interacció Kerr pura per a microones. Tots aquests sistemes venen descrits per la següent equació, escrita al sistema de refèrencia oscil·lant a la freqüencia de referència escollida ωL, dA/dt= [−Γ + iΔ]A + igA†Aˆ2 + εdriving + Θ(t), (2) on en cadascún dels casos A representa l’operador del camp que estem estudiant (llum, polaritons o microones), Γ és la corresponant taxa de decaïment, Δ = ωL−ωcav és la desintonía entre la freqüència d’injecció i la de la ressonància de la cavitat, g representa la intensitat de la interacció, εdriving és el terme d’injecció, proporcional a l’amplitud complexa del camp coherent injectat, i per últim Θ és un operador que recull els termes de soroll (soroll del buit quàntic electromagnètic en els tres casos esmentats, més soroll mecànic en el cas d’optomecànica i excitònic per als polaritons). Els tres sistemes descrits, en el règim Kerr, quan són operats amb injecció monocromàtica (amb εdriving independent del temps) presenten un fenòmen de biestabilitat òptica: quan la desintonía és menor que un cert valor, hi ha una regió en que per a una intensitat d’injecció donada apareixen dues solucions possibles per a la intensitat intracavitat. Tenim dues branques de solucions estables connectades per una branca inestable. Els punts on connecten aquestes branques s’anomenes punts crítics, i a prop d’questos punts les fluctuacions al voltat de la solució creixen sense restriccions fent que el sistema passe a un altra solució estable. És a prop dels punts crítics on el sistema genera llum fortament comprimida: que les fluctuacions en una quadratura siguen molt grans degut a la presència de les inestabilitats, en un altra quadratura poden estar comprimides. Aquest mecanisme de generació de llum comprimida té dos inconvenients bàsics: el tipus d’inestabilitat on el sistema bota a una altra solució fa que siga altament inestable sota fluctuacions i la reducció del soroll té lloc a la frequència de la llum que injectem, per tant el resultat és un estat comprimit amb un camp mitjà molt gran. Per a solucionar aquests problemes, nosaltres proposem l’ús d’una injecció bicromàtica. El sistema ve ara descrit per la mateixa equaciò, Eq. (2), però on fem el canvi εdriving → εdriving sin (Ωt) . (3) La motivació d’utilitzar aquest tipus d’injecció resideix en que sota certes circumstàncies fa que un sistema invariant en fase pase a tenir una biestabilitat de fase. Açò ocorre quan la freqüència de modulació Ω és molt més gran que la freqüència d’oscil·lació pròpia del sistema que estem considerant. Aquest intenta seguir el forçament, però és incapaç de seguir-lo donant lloc a dos possibles estats estables amb fases oposades i ortogonals a la injecció. Açò ocorre a una bifurcació de tipus forca, on la solució que oscil·la com la injecció esdevé inestable i apareixen dues solucions amb fases oposades. Amb la injecció bicromàtica transormem la biestabilitat òptica usual en un fenòmen de mescla de quatre ones, on s’aniquilen dos fotons d’injecció donant lloc a dos fotons a la frequència central d’injecció (ωL +Ω) + (ωL − Ω) → ωL + ωL. (4) En aquesta tesi demostrem que associat a aquesta bifurciaciò hi ha una forta reducció de les flucuacions a la freqüència central no injectada ωL. Els avantatges d’aquest mètode estàn en l’absència d’un camp mitjà a la freqüència central, per tant filtrant les components injectades podem generar un estats buit comprimits; i la continuïtat de les solucions en la bifurcació, fent el sistema més estable. Els continguts principals de la tesi són els següents: • Introducció als fonaments d’òptica quàntica necessaris per a la descripció dels sistemes que apareixen. • Introducció teòrica als tres sistemes considerats: optomecànica, microcavitats semiconductores i circuits superconductors. Analitzant en cada cas el límit Kerr. • Estudi de la dinàmica, tant clàssica com quàntica, i obtenció de l’espectre d’squeezing sota injecció monocromàtica. • Estudi de la dinàmica, tant clàsscia com quàntica, i obtenció de l’espectre d’squeezing sota injecció bicromàtica. Estudi de la modulació tipus “rocking”. • Estudi numèric per a verificar les diferents aproximacions en el límit Kerr. • Estudi de la generaciò de “pintes de freqüència” (“frequency combs”) comprimides amb cavitats optomecàniques, tant amb injecció monocromàtica com bricomàtica. La nostra predicció indica que aquests sistemes actúen com compressors universals, qualsevol pols que envierm a la cavitat, sota certes circumstànies, ix d’ella amb una reducció de les fluctuacions gran, sense camviar la forma del pols. • Estudi de la mesura precisa de la posició de l’espill mòbil en cavitats optomecàniques utilitzant un interferòmetre de Mach-Zehnder. Aquest estudi és el resultat de les investigacions dutes a terme durant l’estada realitzada entre els mesos d’agost a desembre del 2014 a la Universitat de Queensland (Austràlia) sota la direcció de Gerard Milburn. Es tracta d’un tema transversal a la temàtica principal de la tesi, relacionats per la utilització d’estats quàntics de la llum per a tasques de mesura ultraprecises