Transversal conics and the existence of limit cycles

This paper deals with the problem of location and existence of limit cycles for real planar polynomial differential systems. We provide a method to construct Poincar\'e--Bendixson regions by using transversal conics. We present several examples of known systems in the literature showing different features about limit cycles: hyperbolicity, Hopf bifurcation, sky-blue bifurcation, rotated vector fields, \ldots for which the obtained Poincar\'e--Bendixson region allows to locate the limit cycles. Our method gives bounds for the bifurcation values of parametrical families of planar vector fields and intervals of existence of limit cycles.Comment: 28 pages; 20 figure

The limit cycles of a class of quintic polynomial vector fields

Altres ajuts: ICREA AcademiaUsing the inverse integrating factor we study the limit cycles of a class of polynomial vector fields of degree 5

Hilbert's sixteenth problem for polynomial Liénard equations

This article reports on the survey talk 'Hilbert's Sixteenth Problem for Liénard equations,' given by the author at the Oberwolfach Mini-Workshop 'Algebraic and Analytic Techniques for Polynomial Vector Fields.' It is written in a way that it is accessible to a public with heterogeneous mathematical background. The article reviews recent developments and techniques used in the study of Hilbert's 16th problem where the main focus is put on the subclass of polynomial vector fields derived from the Liérd equations

Global Classification of a class of Cubic Vector Fields whose canonical regions are period annuli

Agraïments: Furthermore the first author is partially supported by the grant Juan de la Cierva with reference number JCI-2007-49-764

Patterns formation in axially symmetric Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski equations

The Landau-Lifshitz-Gilbert-Slonczewski equation describes magnetization dynamics in the presence of an applied field and a spin polarized current. In the case of axial symmetry and with focus on one space dimension, we investigate the emergence of space-time patterns in the form of wavetrains and coherent structures, whose local wavenumber varies in space. A major part of this study concerns existence and stability of wavetrains and of front- and domain wall-type coherent structures whose profiles asymptote to wavetrains or the constant up-/down-magnetizations. For certain polarization the Slonczewski term can be removed which allows for a more complete charaterization, including soliton-type solutions. Decisive for the solution structure is the polarization parameter as well as size of anisotropy compared with the difference of field intensity and current intensity normalized by the damping

On the perturbations theory of the Duffing oscillator in a complex domain

La thèse concerne l'étude des cycles limites d'une équation différentielle sur le plan (la deuxième partie du 16ème problème de Hilbert). La notion de "cycle limite" a une grande importance dans la théorie de la stabilité, elle est introduite par Poincaré vers la fin du 19ème siècle et désigne une orbite périodique isolée. Le but de cette thèse est : d'établir l'existence d'une borne supérieure finie, pour le nombre de cycle limites d'une équation quadratique dans le plan. Ce problème est aussi appelé 16ème problème d' Hilbert infinitésimal. Probablement, l'outil le plus fondamental pour l'étude de la stabilité et les bifurcations des orbites périodiques est l'application de Poincaré, défini par Henri Poincaré en 1881. Cependant, la méthode de Melnikov nous donne une excellente procédure pour déterminer le nombre de cycles limites dans une bande continue de cycles qui sont préservés sous perturbation. En effet, le nombre, les positions et les multiplicités des équations différentielles planes perturbées avec une petite perturbation non nulle sont déterminées par le nombre, les positions et les multiplicités des zéros des fonctions génératrices. La fonction de Melnikov est plus précisément, appelé la fonction de Melnikov de premier- ordre. Si cette fonction est identiquement nulle à travers la bande continue de cycles, on calcule ce qu'on appelle " la fonction de Melnikov d'ordre supérieure ". Ensuite, une analyse d'ordre supérieure est nécessaire, ce qui peut être fait par " l'algorithme de Françoise. Les discussions et les calculs présentés dans notre travail sont limités non seulement à la fonction de Melnikov de premier ordre, mais aussi pour les fonctions de Melnikov de deuxième -ordre. Ces outils seront utiles pour résoudre notre problématique. Les activités de recherche menées dans le cadre de cette recherche sont divisées en quatre parties : La première partie de cette thèse, traite les systèmes dynamiques plans et l'existence de cycles limites. Nous souhaitons après résoudre le problème suivant: Calculer la cyclicité de l'oscillateur asymétrique perturbé de Duffing. Dans la deuxième partie, nous sommes intéressés de la cyclicité à l'extérieur de l'anneau périodique de l'oscillateur de Duffing pour une perturbation particulière, puis, nous fournissons un diagramme de bifurcation complet pour le nombre de zéros de la fonction de Melnikov associée dans un domaine complexe approprié en se basant sur le principe de l'argument. Le nombre de cette cyclicité est égal à trois. Dans la troisième partie, nous étudions la cyclicité à l'intérieur ainsi que à l'extérieur de double boucle homocline pour une perturbation cubique arbitraire de l'oscillateur de Duffing en utilisant les mêmes techniques de Iliev et Gavrilov dans le cas d'un Hamiltonien asymétrique de degré quatre. Notre principal résultat est que deux au plus cycle limite peuvent bifurquer de la double homocline. D'autre part, il est représenté, qu'après bifurcation de eight-loop un cycle limite étranger est née, qui ne soit pas contrôlée par un zéro lié par les intégrales Abéliennes, ce cycle supplémentaire est appelé " Alien ".This thesis concerns the study of limit cycles of a differential equation in the plane (The second part of the 16th Hilbert problem). The concept of "limit cycle" has a great importance in the theory of stability; Poincaré introduces this notion at the end of the 19th century and denotes an isolated periodic orbit. The purpose of this thesis: Find an upper bound finite to the number of limit cycles of a quadratic equation in the plane. This problem is so- called the infinitesimal Hilbert 16th problem. Probably, the most basic tool for studying the stability and bifurcations of periodic orbits is the Poincaré, defined by Henri Poincaré in 1881. However, Melnikov's method gives us an excellent method for determining the number of limit Cycles in a continuous band of cycles that are preserved under perturbation. In fact, the number, positions and multiplicities of perturbed planar differential equations for a small nonzero parameters, are determined by the number, positions and multiplicities of the zeros of the generating functions. The Melnikov function is more precisely, called the first-order Melnikov function. If this function is identically equal zero across the continuous band of cycles, one computes the so-called "Higher order Melnikov function". Then, a higher order analysis is necessary which can be done by making use of the so called "the algorithm of Françoise". The discussions and computation presented in this thesis are restricted not only to the first order Melnikov function, but also to the second-order Melnikov functions. These tools will be useful to resolve the question problem. The research activities in the framework of this thesis are divided into four parts: The first part of this thesis, discusses planar dynamical systems and the existence of limit cycles. We wish to solve the following problem: Calculate the cyclicity of the perturbed asymmetric oscillator Duffing. In the second part, we are interested of the cyclicity of the exterior period annulus of the asymmetrically perturbed Duffing oscillator for a particular perturbation, then, we provide a complete bifurcation diagram for the number of zeros of the associated Melnikov function in a suitable complex domain based on the argument principle. The number of this cyclicity is equal to three. In the third part, we study the cyclicity of the interior and exterior eight-loop especially for arbitrary cubic perturbations by using the same techniques of Iliev and Gavrilov in the case of an asymmetric Hamiltonian of degree four. Our main result is that at most two limit cycles can bifurcate from double homoclinic loop. On the other hand, it is appears after bifurcation of eight-loop an "Alien" limit was born, which is not covered by a zero of the related Abelian integrals