Multiskalen-Verfahren für Konvektions-Diffusions Probleme

In dieser Arbeit werden erstmalig über einen zur Nichtstandardform gehörenden Erzeugendensystem-Ansatz robuste Wavelet-basierte Multiskalen-Löser für allgemeine zweidimensionale stationäre Konvektions-Diffusions-Probleme entworfen und praktisch umgesetzt. Für Multiskalen-Verfahren, die lediglich direkte Unterraumzerlegungen verwenden, ist es im allgemeinen nicht mehr möglich, zugehörige Multiskalen-Glätter zu konstruieren, die im Grenzfall sehr starker Konvektion auf jeder Skala zu einem direkten Löser entarten. Als eine Möglichkeit zur Konstruktion robuster Multiskalen-Methoden bleibt die Wahl der Multiskalen-Zerlegungen selbst. Es ist sicherzustellen, dass man sowohl hinsichtlich der singulären Störung stabile Grobgitter- probleme als auch bezüglich der Maschenweite stabile Unterraum- zerlegungen erhält. Gleichzeitig muss der Aspekt der approximativen Gauss-Elimination beachtet werden, der durch das Zusammenspiel matrixabhängiger Prolongationen und Restriktionen mit einer hierarchischen Basis Zerlegung gegeben ist. Um alle diese Forderungen zu erfüllen, wird zunächst ausgehend von geometrischen Vergröberungen ein allgemeines Petrov--Galerkin Multiskalen-Konzept entwickelt, bei dem die Zerlegungen auf der Ansatz- und Testseite unterschiedlich sind. Es werden matrixabhängige Prolongationen, die von robusten Mehrgitter-Techniken her bekannt sind, verwendet, zusammen mit Wavelet-artigen und hierarchischen Multiskalen-Zerlegungen der Ansatz- und Testräume bezüglich des feinsten Gitters. Die Kernidee bei den vorgeschlagenen Verfahren ist, jeweils einen der Komplementräume auf der Ansatz- oder Testseite hierarchisch zu wählen, um zusammen mit einer problemabhängigen Vergröberung auf der anderen Seite physikalisch sinnvolle Grobgitter- diskretisierungen und gleichzeitig einen approximativen Eliminations- effekt zu erreichen. Die Komplementräume auf der entsprechend anderen Seite werden hingegen Wavelet-artig aufgespannt, was insbesondere zu einer Stabilisierung des Verfahrens bezüglich der Abhängigkeit von der Maschenweite der Diskretisierung führt. Mit den weiterhin entwickelten AMGlet-Zerlegungen, die auf rein algebraischen Prinzipien beruhen, gelingt es, geometrisch orientierte Tensorprodukt- Konstruktionen, die für separable Probleme erfolgreich sind, zu verlassen, um schwierige nichtseparable Aufgaben in unter Umständen kompliziert berandeten Gebieten behandeln zu können. Dies eröffnet darüberhinaus auch den Übergang von Modellproblemen hin zu praxisnahen Fragestellungen. Unterschiedliche numerische Beispiele zeigen, dass man durch die vorgeschlagenen Konstruktionen zu verallgemeinerten Hierarchische Basis Mehrgitter-Verfahren mit robusten Konvergenzeigenschaften gelangt

Direkte und inverse elektromagnetische Streuprobleme für lokal gestörte periodische Medien

We consider the direct and inverse scattering problem of electromagnetic and acoustic wave phenomena for an unbounded, inhomogeneous and bi-periodic media, which includes a local defect. At first, we show the unique solvability of the vector valued scattering problem formulated in terms of the Maxwell's equations, as well as the scalar valued scattering problem modeled by the Helmholtz equation, by assuming some reasonable presumptions on the regularity of the parameter. Moreover, we show some regularity results for the Bloch-Floquet transformed solution w.r.t. the quasiperiodicy and derive a numerical method for the approximation of the solution based on the finite-elements method. We continue with the inverse problem of reconstructing the perturbation. For that, we consider different measurement operators, prove the injectivity and apply a Newton method. Furthermore, we introduce the Factorization method as a fast imaging method to localize the support of the perturbation

Fehlerkontrollierte adaptive FEM-BEM Kopplungsmethoden und Anwendungen

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Steigerung der Effizienz Hierarchischer Matrizen durch Verwendung gemeinsamer Basen

Viele physikalische Probleme führen zu Randwertproblemen. Dabei gilt es die Lösung einer Dfferentialgleichung zu finden, so dass auf dem Rand vorgegebene Funktionswerte, die so genannten Randbedingungen, angenommen werden. Differentialgleichungen können nur in wenigen Spezialfällen analytisch gelöst werden. Man muss also auf numerische Verfahren zurückgreifen. Ein Problem aus der Praxis ist in der Regel von zu hoher Komplexität. Wir können daher nicht davon ausgehen ein Black-Box-Verfahren zu finden, welches jede Dfferentialgleichung innerhalb akzeptabler Zeit löst. Deshalb brauchen wir auf die Problemklassen zugeschnittene Verfahren, welche ihre speziellen Eigenschaften ausnutzen. Wir beschränken uns hier auf elliptische Randwertprobleme. Sie werden zu Integralgleichungen umformuliert, mittels Randelementmethode diskretisiert und damit in ein lineares Gleichungssystem überführt. Zur Behandlung des Gleichungssystems bedienen wir uns Hierarchischer Matrizen. Obwohl diese bereits effektive Hilfsmittel darstellen, wollen wir versuchen ihre Effzienz durch Verwendung gemeinsamer Basen weiter zu steigern.

Optimale Steuerprozesse unter partiellen Differentialgleichungs-Restriktionen mit linear eingehender Steuerfunktion

In dieser Arbeit wird die optimale Steuerung von Prozessen behandelt, die durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Vor allem die Naturwissenschaften Physik, Chemie, Biologie sowie die Ingenieurwissenschaften liefern eine große Zahl an Problemen, die durch partielle Differentialgleichungen modelliert werden. Ein Schwerpunkt wird dabei auf Prozesse gelegt, deren Steuerfunktion linear auftritt. Die theoretische sowie numerische Berechnung dieser Funktionen unter semilinearen elliptischen bzw. parabolischen Restriktionen führt auf interessante bang-bang und singuläre Steuerungen. Ein wichtiges Anwendungsgebiet für optimale Steuerprozesse mit linear eingehender Steuerfunktion liegt in der Ansteuerung stationärer Zustände von nichtlinearen Evolutionsgleichungen. In der Arbeit wird dies anhand von Aktivator-Inhibitor-Systemen veranschaulicht. Zudem wurde anhand einer lokalen Optimierungsmethode die optimale Vorschubgeschwindigkeit eines Wasserstrahlschneiders bestimmt

Lösung des symmetrischen Eigenwertproblems mit algebraischen Mehrgitterverfahren

Kern der Arbeit ist die Lösung verallgemeinerter Eigenwertprobleme für symmetrisch positiv definite Matrizen unter Verwendung vorkonditionierter Iterationen in Kombination mit Mehrgitterverfahren. Im Gegensatz zur etablierten Methode der geometrischen Mehrgitterverfahren wird hier eine algebraische Mehrgittervorkonditionierung vorgeschlagen. Zum Nachweis der Effizienz der resultierenden Eigenlöser wird ein breites Feld an Modellaufgaben, insbesondere auch anisotrope und geometriefreie Probleme, untersucht und bewertet

N=2 Strings und selbstduale Feldtheorien

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Möglichkeiten der Nutzung kinematischer Satellitenbahnen zur Bestimmung des Gravitationsfeldes der Erde

Die Extraktion von Schwerefeldinformation aus den Bahnverfolgungsdaten von Satelliten gehört zu den frühesten wissenschaftlichen Anwendungen der Weltraumtechnik. Die Ausrüstung von Satelliten mit GPSEmpfängern hat hier neue Perspektiven eröffnet, da nun in hoher zeitlicher Dichte eine Vielzahl von Simultanbeobachtungen gesammelt werden. Erstmals kann damit die Aufgabe der Bahnbestimmung getrennt von der Aufgabe der Feldbestimmung bearbeitet werden. Für den zweiten Schritt lassen sich damit zahlreiche neue, im allgemeinen einfachere Algorithmen finden. In der vorliegenden Arbeit wird der Versuch unternommen, die damit zur Auswahl stehenden Verfahren zu systematisieren und auf ihre Eigenschaften zu untersuchen. Soweit möglich, werden die Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Verfahren auf analytischem Weg herausgearbeitet. Die Untersuchung wird durch umfangreiche numerische Tests mit simulierten und realen Daten der Mission CHAMP ergänzt. Die Ergebnisse der Arbeit zeigen, dass die Mehrzahl der Verfahren mit fehlerbehafteten Bahnen weitgehend identische Ergebnisse liefern. Unterschiede zeigen sich bei unkorrelierten Bahnfehlern lediglich in den hochfrequenten Feldanteilen, bedingt durch unterschiedliche Genauigkeiten in den numerischen Quadraturen. Bei der Auswertung von Echtdaten verwischen sich diese Unterschiede, da die Fehler realer GPSbestimmter Bahnen korreliert sind. Signifikant abweichende Lösungen werden nur mit solchen Verfahren erhalten, die lediglich Teile des in der Bahn enthaltenen Signals verwerten. Ein solches Verfahren ist die sehr populäre Energiebilanzmethode. Da dieses Verfahren nur die Signalanteile in Flugrichtung benutzt, wird das Gravitationsfeld damit fast um den Faktor 2 schlechter bestimmt als mit den Verfahren mit isotroper Empfindlichkeit.Options of Using Kinematical Satellite Orbits in Gravity Field Recovery Extracting gravity information from satellite tracking data is amongst the earliest applications of space technology. In this area, new vistas have been opened up by equipping satellites with GPS receivers collecting a large number of simultaneous observations with high temporal density. Now, for the first time, the task of orbit determination can be completed independently from the task of gravity field recovery. As a consequence of this, many new approaches can be found for the latter task, most of them distinguished by their simplicity. This thesis aims to systemise the approaches which are now applicable to such missions and to investigate their properties. If possible, their differences and similarities are established analytically. The study is backed by various numerical computations using simulated and real data from the CHAMPmission. It is shown that most of the procedures yield almost identical results if operated with orbits contaminated by noise. When using white noise, there are some differences in the upper-frequency part of the field caused by the unequal accuracies of the techniques for numerical quadratures. This differences reduce with real orbits due to the fact that their noise is correlated. Distinctly different solutions are obtained only if the procedure discards large parts of the gravity signal contained in the orbit. One of this procedures is the very popular energy balance approach. Making use only of the signal in flight direction, this approach leads to an error in the field solution almost twice as large than in the solutions obtained with procedures of isotropic sensitivity