Asymptotic estimates for the widths of classes of functions of high smoothness

We find two-sided estimates for Kolmogorov, Bernstein, linear and projection widths of the classes of convolutions of $2\pi$-periodic functions $\varphi$, such that $\|\varphi\|_2\le1$, with fixed generated kernels $\Psi_{\bar{\beta}}$, which have Fourier series of the form $\sum\limits_{k=1}^\infty \psi(k)\cos(kt-\beta_k\pi/2),$ where $\psi(k)\ge0,$ $\sum\psi^2(k)<\infty, \beta_k\in\mathbb{R},$ in the space $C$. It is shown that for rapidly decrising sequences $\psi(k)$ (in particular, if $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}{\psi(k+1)}/{\psi(k)}=0$) obtained estimates are asymptotic equalities. We establish that asymptotic equalities for widths of this classes are realized by trigonometric Fourier sums.Comment: 14 page

Disordered Systems: Random Schrödinger Operators and Random Matrices

[no abstract available

О рациональных приближениях интегралов Пуассона на отрезке суммами Фейера интегральных операторов Фурье – Чебышева

   Изучаются аппроксимации суммами Фейера рациональных интегральных операторов Фурье – Чебышева с ограничениями на число геометрически различных полюсов. В качестве объекта исследований выступает класс функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке [–1, 1]. Установлены интегральные представления приближений и оценки сверху равномерных приближений. В случае, когда граничная функция имеет на отрезке [–1, 1] степенную особенность, найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений, асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Подробно исследуется задача об аппроксимации интегралов Пуассона при двух геометрически различных полюсах аппроксимирующей рациональной функции. В этом случае найдены оптимальные значения параметров, при которых достигается наибольшая скорость равномерных приближений изучаемым методом. В случае, когда интеграл Пуассона является представлением функции |x|s, s ∈ (0, 1], оценки равномерных приближений являются выше соответствующих полиномиальных аналогов. В качестве следствия получены асимптотические выражения точных верхних граней отклонений сумм Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева на классах интегралов Пуассона на отрезке, а также оценки равномерных приближений функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке, с граничной функцией, имеющей степенную особенность, суммами Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева.   Approximations of the Fejér sums of the Fourier – Chebyshev rational integral operators with restrictions on numerical geometrically different poles are herein studied. The object of research is the class of functions defined by Poisson integrals on the segment [–1, 1]. Integral representations of approximations and upper estimates of uniform approximations are established. In the case when the boundary function has a power singularity on the segment [–1, 1], upper estimates of pointwise and uniform approximations are found, and the asymptotic representation of the majorant of uniform approximations is found. As a separate problem, approximations of Poisson integrals for two geometrically different poles of the approximating rational function are considered. In this case, the optimal values of the parameters at which the highest rate of uniform approximations by the studied method is achieved are found. If the function |x|s, s ∈ (0, 1], is approximated, then this rate is higher than the corresponding polynomial analogues. Consequently, asymptotic expressions of the exact upper bounds of the deviations of Fejer sums of polynomial Fourier – Chebyshev series on classes of Poisson integrals on a segment are obtained. Estimates of uniform approximations by Fejer sums of polynomial Fourier – Chebyshev series of functions given by Poisson integrals on a segment with a boundary function having a power singularity are also obtained.   Изучаются аппроксимации суммами Фейера рациональных интегральных операторов Фурье – Чебышева с ограничениями на число геометрически различных полюсов. В качестве объекта исследований выступает класс функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке [–1, 1]. Установлены интегральные представления приближений и оценки сверху равномерных приближений. В случае, когда граничная функция имеет на отрезке [–1, 1] степенную особенность, найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений, асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Подробно исследуется задача об аппроксимации интегралов Пуассона при двух геометрически различных полюсах аппроксимирующей рациональной функции. В этом случае найдены оптимальные значения параметров, при которых достигается наибольшая скорость равномерных приближений изучаемым методом. В случае, когда интеграл Пуассона является представлением функции |x|s, s ∈ (0, 1], оценки равномерных приближений являются выше соответствующих полиномиальных аналогов. В качестве следствия получены асимптотические выражения точных верхних граней отклонений сумм Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева на классах интегралов Пуассона на отрезке, а также оценки равномерных приближений функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке, с граничной функцией, имеющей степенную особенность, суммами Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева

A multiscale method for heterogeneous bulk-surface coupling

In this paper, we construct and analyze a multiscale (finite element) method for parabolic problems with heterogeneous dynamic boundary conditions. As origin, we consider a reformulation of the system in order to decouple the discretization of bulk and surface dynamics. This allows us to combine multiscale methods on the boundary with standard Lagrangian schemes in the interior. We prove convergence and quantify explicit rates for low-regularity solutions, independent of the oscillatory behavior of the heterogeneities. As a result, coarse discretization parameters, which do not resolve the fine scales, can be considered. The theoretical findings are justified by a number of numerical experiments including dynamic boundary conditions with random diffusion coefficients

Boundary behavior p-harmonic functions in the Heisenberg group

We study the boundary behavior of nonnegative p-harmonic functions which vanish on a portion of the boundary of a domain in the Heisenberg group H^n. Our main results are: 1) An estimate from above which shows that, under suitable geometric assumptions on the relevant domain, such a p-harmonic function vanishes at most linearly with respect to the sub-Riemannian distance to the boundary. 2) An estimate from below which shows that for a (Euclidean) C^{1,1} domain, away from the characteristic set, such a p-harmonic function vanishes exactly like the distance to the boundary. By combining 1) and 2) we obtain a comparison theorem stating that, at least away from the characteristic set, any two such p-harmonic functions must vanish at the same rate

Doctor of Philosophy

dissertationTransport in disordered composite media is a problem that arises throughout the sciences and engineering and has attracted significant theoretical, computational, and experimental interest. One of the key features of these types of problems is the critical dependence of the effective transport properties on system parameters, such as volume fraction, component contrast ratio, applied field strength, etc. In recent years a broad range of mathematical techniques have been developed to study phase transitions exhibited by such composites, revealing features which are virtually ubiquitous in disordered systems. Here we construct a multifaceted mathematical framework describing phase transitions exhibited by two phase random media, using techniques from: statistical mechanics, percolation theory, random matrix theory, and a critical theory for Stieltjes functions of a complex variable involving the spectral measure of a self-adjoint random operator (or matrix). In particular, we present a general theory for critical behavior of transport in two phase random media. The theory holds for lattice and continuum percolation models in both the static case with real parameters and the frequency dependent quasi-static case with complex parameters. Through a direct, analytic correspondence between the magnetization of the Ising model and the effective parameter problem of two phase random media, we show that the critical exponents of the transport coefficients satisfy the standard scaling relations for phase transitions in statistical mechanics. Our work also shows that delta components form in the underlying spectral measures at the spectral endpoints precisely at the percolation threshold pc and 1 − pc. This is analogous to the Lee-Yang-Ruelle characterization of the Ising model phase transition, and identifies these transport transitions with the collapse of spectral gaps in these measures. Using random matrix theory, we also characterize these transport transitions via transitions in the eigenvalue statistics of the underlying random matrix. Finally, we construct a canonical ensemble statistical mechanics framework for general transport models of two phase random dielectric media, which parallels the Ising model. Our physically consistent model is formulated from first principles in physics, and is both physically transparent and mathematically tractable