Cubic graphs with large circumference deficit

The circumference $c(G)$ of a graph $G$ is the length of a longest cycle. By exploiting our recent results on resistance of snarks, we construct infinite classes of cyclically $4$-, $5$- and $6$-edge-connected cubic graphs with circumference ratio $c(G)/|V(G)|$ bounded from above by $0.876$, $0.960$ and $0.990$, respectively. In contrast, the dominating cycle conjecture implies that the circumference ratio of a cyclically $4$-edge-connected cubic graph is at least $0.75$. In addition, we construct snarks with large girth and large circumference deficit, solving Problem 1 proposed in [J. H\"agglund and K. Markstr\"om, On stable cycles and cycle double covers of graphs with large circumference, Disc. Math. 312 (2012), 2540--2544]

Rotulações próprias por gap : variantes de arestas e de vértices

Orientadores: Christiane Neme Campos, Rafael Crivellari Saliba SchoueryDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: Uma rotulação própria é uma atribuição de valores numéricos aos elementos de um grafo, que podem ser seus vértices, arestas ou ambos, de modo a obter - usando certas funções matemáticas sobre o conjunto de rótulos - uma coloração dos vértices do grafo tal que nenhum par de vértices adjacentes receba a mesma cor. Este texto aborda o problema da rotulação própria por gap em suas versões de arestas e de vértices. Na versão de arestas, um vértice de grau pelo menos dois tem sua cor definida como a maior diferença, i.e. o maior gap, entre os rótulos de suas arestas incidentes; já na variante de vértices, o gap é definido pela maior diferença entre os rótulos dos seus vértices adjacentes. Para vértices de grau um, sua cor é dada pelo rótulo da sua aresta incidente, no caso da versão de arestas, e pelo rótulo de seu vértice adjacente, no caso da versão de vértices. Finalmente, vértices de grau zero recebem cor um. O menor número de rótulos para o qual um grafo admite uma rotulação própria por gap de arestas vértices é chamado edge-gap (vertex-gap) number. Neste trabalho, apresentamos um breve histórico das rotulações próprias por gap e os resultados obtidos para as duas versões do problema. Estudamos o edge-gap e o vertex-gap numbers para as famílias de ciclos, coroas, rodas, grafos unicíclicos e algumas classes de snarks. Adicionalmente, na versão de vértices, investigamos a família de grafos cúbicos bipartidos hamiltonianos, desenvolvendo diversas técnicas de rotulação para grafos nesta classe. Em uma abordagem relacionada, provamos resultados de complexidade para a família dos grafos subcúbicos bipartidos. Além disso, demonstramos propriedades estruturais destas rotulações de vértices por gap e estabelecemos limitantes inferiores e superiores justos para o vertex-gap number de grafos arbitrários. Mostramos, ainda, que nem todos os grafos admitem uma rotulação de vértices por gap, exibindo duas famílias infinitas que não admitem tal rotulação. A partir dessas classes, definimos um novo parâmetro chamado de gap-strength, referente ao menor número de arestas que precisam ser removidas de um grafo de modo a obter um novo grafo que é gap-vértice-rotulável. Estabelecemos um limitante superior para o gap-strength de grafos completos e apresentamos evidências de que este valor pode ser um limitante inferiorAbstract: A proper labelling is an assignment of numerical values to the elements of a graph, which can be vertices, edges or both, so as to obtain - through the use of mathematical functions over the set of labels - a vertex-colouring of the graph such that every pair of adjacent vertices receives different colours. This text addresses the proper gap-labelling problem in its edge and vertex variants. In the former, a vertex of degree at least two has its colour defined by the largest difference, or gap, among the labels of its incident edges; in the vertex variant, the gap is defined by the largest difference among the labels of its adjacent vertices. For a degree-one vertex, its colour is defined by the label of its incident edge, in the edge version, and by the label of its adjacent vertex, in the vertex variant. Finally, degree-zero vertices receive colour one. The least number of labels for which a graph admits a proper gap-labelling of its edges (vertices) is called the edge-gap (vertex-gap) number. In this work, we present a brief history of proper gap-labellings and our results for both versions of the problem. We study the edge-gap and vertex-gap numbers for the families of cycles, crowns, wheels, unicyclic graphs and some classes of snarks. Additionally, in the vertex version, we investigate the family of cubic bipartite hamiltonian graphs and develop several labelling techniques for graphs in this class. In a related approach, we prove hardness results for the family of subcubic bipartite graphs. Also, we demonstrate structural properties of gap-vertex-labelable graphs and establish tight lower and upper bounds for the vertex-gap number of arbitrary graphs. We also show that not all graphs admit a proper gap-labelling, exhibiting two infinite families of graphs for which no such vertex-labelling exists. Thus, we define a new parameter called the gap-strength of graphs, which is the least number of edges that have to be removed from a graph so as to obtain a new, gap-vertex-labelable graph. We establish an upper bound for the gap-strength of complete graphs and argue that this value can also be used as a lower boundMestradoCiência da ComputaçãoMestre em Ciência da ComputaçãoCAPE

Novel procedures for graph edge-colouring

Orientador: Dr. Renato CarmoCoorientador: Dr. André Luiz Pires GuedesTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Informática. Defesa : Curitiba, 05/12/2018Inclui referências e índiceÁrea de concentração: Ciência da ComputaçãoResumo: O índice cromático de um grafo G é o menor número de cores necessário para colorir as arestas de G de modo que não haja duas arestas adjacentes recebendo a mesma cor. Pelo célebre Teorema de Vizing, o índice cromático de qualquer grafo simples G ou é seu grau máximo , ou é ? + 1, em cujo caso G é dito Classe 1 ou Classe 2, respectivamente. Computar uma coloração de arestas ótima de um grafo ou simplesmente determinar seu índice cromático são problemas NP-difíceis importantes que aparecem em aplicações notáveis, como redes de sensores, redes ópticas, controle de produção, e jogos. Neste trabalho, nós apresentamos novos procedimentos de tempo polinomial para colorir otimamente as arestas de grafos pertences a alguns conjuntos grandes. Por exemplo, seja X a classe dos grafos cujos maiorais (vértices de grau ?) possuem soma local de graus no máximo ?2 ?? (entendemos por 'soma local de graus' de um vértice x a soma dos graus dos vizinhos de x). Nós mostramos que quase todo grafo está em X e, estendendo o procedimento de recoloração que Vizing usou na prova para seu teorema, mostramos que todo grafo em X é Classe 1. Nós também conseguimos resultados em outras classes de grafos, como os grafos-junção, os grafos arco-circulares, e os prismas complementares. Como um exemplo, nós mostramos que um prisma complementar só pode ser Classe 2 se for um grafo regular distinto do K2. No que diz respeito aos grafos-junção, nós mostramos que se G1 e G2 são grafos disjuntos tais que |V(G1)| _ |V(G2)| e ?(G1) _ ?(G2), e se os maiorais de G1 induzem um grafo acíclico, então o grafo-junção G1 ?G2 é Classe 1. Além desses resultados em coloração de arestas, apresentamos resultados parciais em coloração total de grafos-junção, de grafos arco-circulares, e de grafos cobipartidos, bem como discutimos um procedimento de recoloração para coloração total. Palavras-chave: Coloração de grafos e hipergrafos (MSC 05C15). Algoritmos de grafos (MSC 05C85). Teoria dos grafos em relação à Ciência da Computação (MSC 68R10). Graus de vértices (MSC 05C07). Operações de grafos (MSC 05C76).Abstract: The chromatic index of a graph G is the minimum number of colours needed to colour the edges of G in a manner that no two adjacent edges receive the same colour. By the celebrated Vizing's Theorem, the chromatic index of any simple graph G is either its maximum degree ? or it is ? + 1, in which case G is said to be Class 1 or Class 2, respectively. Computing an optimal edge-colouring of a graph or simply determining its chromatic index are important NP-hard problems which appear in noteworthy applications, like sensor networks, optical networks, production control, and games. In this work we present novel polynomial-time procedures for optimally edge-colouring graphs belonging to some large sets of graphs. For example, let X be the class of the graphs whose majors (vertices of degree ?) have local degree sum at most ?2 ? ? (by 'local degree sum' of a vertex x we mean the sum of the degrees of the neighbours of x). We show that almost every graph is in X and, by extending the recolouring procedure used by Vizing's in the proof for his theorem, we show that every graph in X is Class 1. We further achieve results in other graph classes, such as join graphs, circular-arc graphs, and complementary prisms. For instance, we show that a complementary prism can be Class 2 only if it is a regular graph distinct from the K2. Concerning join graphs, we show that if G1 and G2 are disjoint graphs such that |V(G1)| _ |V(G2)| and ?(G1) _ ?(G2), and if the majors of G1 induce an acyclic graph, then the join graph G1 ?G2 is Class 1. Besides these results on edge-colouring, we present partial results on total colouring join graphs, cobipartite graphs, and circular-arc graphs, as well as a discussion on a recolouring procedure for total colouring. Keywords: Colouring of graphs and hypergraphs (MSC 05C15). Graph algorithms (MSC 05C85). Graph theory in relation to Computer Science (MSC 68R10). Vertex degrees (MSC 05C07). Graph operations (MSC 05C76)

Finding Independent Transversals Efficiently

Let G be a graph and (V_1,...,V_m) be a vertex partition of G. An independent transversal (IT) of G with respect to (V_1,...,V_m) is an independent set {v_1,...,v_m} in G such that v_i is in V_i for each i in {1,...,m}. There exist various theorems that give sufficient conditions for the existence of ITs. These theorems have been used to solve problems in graph theory (e.g. list colouring, strong colouring, delay edge colouring, circular colouring, various graph partitioning and special independent set problems), hypergraphs (e.g. hypergraph matching), group theory (e.g. generators in linear groups), and theoretical computer science (e.g. job scheduling and other resource allocation problems). However, the proofs of the existence theorems that give the best possible bounds do not provide efficient algorithms for finding an IT. In this thesis, we give poly-time algorithms for finding an IT under certain conditions and some applications, while weakening the original theorems only slightly. We also give e fficient poly-time algorithms for finding partial ITs and ITs of large weight in vertex-weighted graphs, as well as an application of these weighted results

Self-Evaluation Applied Mathematics 2003-2008 University of Twente

This report contains the self-study for the research assessment of the Department of Applied Mathematics (AM) of the Faculty of Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science (EEMCS) at the University of Twente (UT). The report provides the information for the Research Assessment Committee for Applied Mathematics, dealing with mathematical sciences at the three universities of technology in the Netherlands. It describes the state of affairs pertaining to the period 1 January 2003 to 31 December 2008