Courbes remplissant l'espace et leur application en traitement d'images

The space-filling curves are known for the ability to order the multidimensional points on a line while preserving the locality, i.e. the close points are closely ordered on the line. The locality preserving is wished in many applications. Hilbert curve is the best locality preserving space-filling curve. This curve is originally proposed in 2D, i.e. it is only applied to points in a 2D space. For application in the multidimensional case, we propose in this thesis a generalization of Hilbert curve. Generalized curve is based on the essential property of Hilbert curve that creates its level of locality preserving: the adjacency. Thus, it avoids the dependence on the pattern RBG, which is the only pattern of the curve extended by previous researches. The result is a family of curves preserving well the locality. The optimization of the locality preserving is also addressed to find out the best locality preserving curve. For this purpose, we propose a measure of the locality preserving. Based on the parameters, this measure can adapt to different application situations such as the change of metric or locality size. The curve construction is an important part of the thesis. It is the basis of the index calculation used in application. For a rapid index calculation, the self-similar Hilbert curves is used. They are Hilbert curves satisfying the self-similar conditions specified in chapitre 4. The generalized curve is finally applied in image search. It is the question of the content-based image search (CBIR) where each image is characterized by a multidimensionalvector. Images are ordered by the curve of a line, and the search is simplified to the search on an ordered list. By giving an input image, similar images are those corresponding to neighbors of the index of the input. The locality preserving ensures that these indexes correspond to similar images.Les courbes remplissant l'espace sont connues pour la capacité d'ordonner les points multidimensionnels sur une ligne en tout conservant la localité, i.e. les points proches sont toujours proches sur la ligne. La conservation de la localité est beaucoup recherchée dans plusieurs applications. La courbe de Hilbert est la courbe remplissant l'espace qui conserve le mieux la localité. Cette courbe est originalement proposée en 2D, i.e. n'est qu'applicable aux points dans un espace 2D. Pour une perspective d'application dans le cas multidimensionnel, nous proposons dans cette thèse une généralisation de la courbe de Hilbert. La courbe généralisée est définie en s'appuyant sur la propriété essentielle de la courbe de Hilbert qui crée son niveau de conservation de la localité : l'adjacence. Ainsi, elle évite la dépendance du motif primitif RBG qui est le seul motif primitif de la courbe étendu par les recherches précédentes. Le résultat est donc une famille de courbe conservant bien la localité. L'optimisation de la conservation de la localité est aussi abordée pour permettre de retrouver la courbe qui conserve le mieux la localité. Pour cet objectif, nous proposons une mesure de la conservation de la localité. En s'appuyant sur les paramètres, cette mesure peut adapter aux différentes situations applicatives comme le changement de métrique ou de taille de localité. La construction est une partie importante de la thèse, elle est la base du calcul de l'index utilisé dans l'application. Pour un calcul de l'index rapide, la courbe de Hilbert autosimilaire est utilisée. La courbe de Hilbert satisfaisant les conditions de la courbe fait l'objet du chapitre 4. La courbe généralisée est enfin appliquée dans la recherche d'image. Il s'agit d'une recherche par le contenu où chaque image est caractérisée par un vecteur multidimensionnel. Les images sont ordonnées par la courbe sur une ligne ; ainsi, la recherche est simplifiée en une recherche sur une liste ordonnée. En donnant une image d'entrée, les images similaires sont celles correspondantes aux index voisins de l'index de l'image d'entrée. La conservation de la localité garantit que ces index correspondent aux images similaires

Analyse d'images : Filtrage et segmentation

Ouvrage publié avec l'aide du Ministère des affaires étrangères, direction de la coopération scientifique et technique. AVERTISSEMENT Le livre publié en 1995 chez MASSON (EAN13 : 9782225849237) est épuisé. Cette version pdf est une version élaborée à partie de la version préliminaire transmise à l'éditeur. La mise en page est légèrement différente de celle du livre. Malheureusement quelques figures de l'annexe C ont été perdues.International audienceL'analyse d'image touche à l'heure actuelle de nombreux domaines, avec des objectifs aussi variés que l'aide au diagnostic pour les images médicales, la vision artificielle en robotique ou l'analyse des ressources terrestres à partir des images prises par satellite. Le but du traitement de ces images est à la fois simple dans son concept et difficile dans sa réalisation. Simple en effet, puisqu'il s'agit de reconnaître des objets que notre système visuel perçoit rapidement, du moins pour la majorité d'entre eux. Difficile cependant, car dans la grande quantité d'informations contenues dans l'image, il faut extraire des éléments pertinents pour l'application visée et ceci indépendamment de la qualité de l'image. L'analyse d'image s'est donc dotée d'outils et de méthodes puissants issus de domaines aussi variés que les mathématiques, le traitement du signal, ou l'informatique. Cet ouvrage présente un des aspects les plus importants du traitement des images : la " segmentation ". Il récapitule d'abord les grandeurs observables et calculables sur une image et les algorithmes de manipulation des structures de données associées. Il détaille ensuite les traitements préliminaires, tels le filtrage du bruit et les deux types d'approche de la segmentation, l'extraction des contours et celle des régions. Chacune fait l'objet d'une étude théorique et de nombreux résultats illustrent les performances. Une des originalités de l'ouvrage est l'étude comparative des différentes techniques appliquées sur un même corpus d'images réelles

Contributions à la compression de données

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal

Catégorisation par mesures de dissimilitude et caractérisation d'images en multi échelle

Dans cette thèse, on introduit la métrique "Coefficient de forme" pour la classement des données de dissimilitudes. Cette approche est inspirée par l'analyse discriminante géométrique et on a défini des règles de décision pour imiter le comportement du classifieur linéaire et quadratique. Le nombre de paramètres est limité (deux par classe). On a également étendu et amélioré cette démarche avantageuse et rapide pour apprendre uniquement à partir des représentations de dissimilitudes en utilisant l'efficacité du classificateur des Machines à Vecteurs de Support. Comme contexte applicatif pour la classification par dissimilitudes, on utilise la recherche d'images à l'aide d'une représentation des images en multi échelle en utilisant la "Pyramide Réduite Différentielle". Une application pour la description de visages est développée. Des résultats de classification à partir du coefficient de forme et utilisant une version adaptée des Machines à Vecteurs de Support, sur des bases de données issues des applications du monde réel sont présentés et comparés avec d'autres méthodes de classement basées sur des dissimilitudes. Il en ressort une forte robustesse de la méthode proposée avec des perfommances supérieures ou égales aux algorithmes de l'état de l'art.The dissimilarity representation is an alternative for the use of features in the recognition of real world objects like images, spectra and time-signal. Instead of an absolute characterization of objects by a set of features, the expert or the system is asked to define a measure that estimates the dissimilarity between pairs of objects. Such a measure may also be defined for structural representations such as strings and graphs. The dissimilarity representation is potentially able to bridge structural and statistical pattern recognition. In this thesis we introduce a new fast Mahalanobis-like metric the Shape Coefficient for classification of dissimilarity data. Our approach is inspired by the Geometrical Discriminant Analysis and we have defined decision rules to mimic the behavior of the linear and quadratic classifier. The number of parameters is limited (two per class). We also expand and ameliorate this advantageous and rapid adaptive approach to learn only from dissimilarity representations by using the effectiveness of the Support Vector Machines classifier for real-world classification tasks. Several methods for incorporating dissimilarity representations are presented, investigated and compared to the Shape Coefficient in this thesis: Pekalska and Duin prototype dissimilarity based classifiers; Haasdonk's kernel based SVM classifier; KNN classifier. Numerical experiments on artificial and real data show interesting behavior compared to Support Vector Machines and to KNN classifier: (a) lower or equivalent error rate, (b) equivalent CPU time, (c) more robustness with sparse dissimilarity data. The experimental results on real world dissimilarity databases show that the Shape Coefficient can be an alternative approach to these known methods and can be as effective as them in terms of accuracy for classification.SAVOIE-SCD - Bib.électronique (730659901) / SudocGRENOBLE1/INP-Bib.électronique (384210012) / SudocGRENOBLE2/3-Bib.électronique (384219901) / SudocSudocFranceF

Reconstruction de modèles 3D à partir d'information 2D partielle : application au cas d'une plante

Une méthode pour générer des modèles informatiques fidèles de plantes naturelles est proposée dans ce travail; cette méthode prend comme entrée des photographies 2D prises du champ. Le formalisme choisi comme base pour la représentation de plantes s'appelle «Systèmes de Lindenmayer» (LSystems), qui sont des systèmes grammaticaux contrôlés par une condition initale et une (ou plusieurs) règle(s) de réécriture Générer un modèle informatique d'une plante est l'équivalent à résoudre le problème inverse pour un sous-type de ce formalisme, appelé «LSystems à crochets»; ce travail utilise un algorithme évolutif pour résoudre ce problème inverse. Une description détaillée de l'algorithme, ainsi que la justification du design choisi, sont présentées; un ensemble d'expériences démontre que l'algorithme explore de manière satisfaisante l'espace de solutions candidates, et que les approximations qu'il propose sont adéquates dans la majorité des cas. Ses limitations et faiblesses sont aussi rapportées et ensuite discutées

Morphologie, Géométrie et Statistiques en imagerie non-standard

Digital image processing has followed the evolution of electronic and computer science. It is now current to deal with images valued not in {0,1} or in gray-scale, but in manifolds or probability distributions. This is for instance the case for color images or in diffusion tensor imaging (DTI). Each kind of images has its own algebraic, topological and geometric properties. Thus, existing image processing techniques have to be adapted when applied to new imaging modalities. When dealing with new kind of value spaces, former operators can rarely be used as they are. Even if the underlying notion has still a meaning, a work must be carried out in order to express it in the new context.The thesis is composed of two independent parts. The first one, "Mathematical morphology on non-standard images", concerns the extension of mathematical morphology to specific cases where the value space of the image does not have a canonical order structure. Chapter 2 formalizes and demonstrates the irregularity issue of total orders in metric spaces. The main results states that for any total order in a multidimensional vector space, there are images for which the morphological dilations and erosions are irregular and inconsistent. Chapter 3 is an attempt to generalize morphology to images valued in a set of unordered labels.The second part "Probability density estimation on Riemannian spaces" concerns the adaptation of standard density estimation techniques to specific Riemannian manifolds. Chapter 5 is a work on color image histograms under perceptual metrics. The main idea of this chapter consists in computing histograms using local Euclidean approximations of the perceptual metric, and not a global Euclidean approximation as in standard perceptual color spaces. Chapter 6 addresses the problem of non parametric density estimation when data lay in spaces of Gaussian laws. Different techniques are studied, an expression of kernels is provided for the Wasserstein metric.Le traitement d'images numériques a suivi l'évolution de l'électronique et de l'informatique. Il est maintenant courant de manipuler des images à valeur non pas dans {0,1}, mais dans des variétés ou des distributions de probabilités. C'est le cas par exemple des images couleurs où de l'imagerie du tenseur de diffusion (DTI). Chaque type d'image possède ses propres structures algébriques, topologiques et géométriques. Ainsi, les techniques existantes de traitement d'image doivent être adaptés lorsqu'elles sont appliquées à de nouvelles modalités d'imagerie. Lorsque l'on manipule de nouveaux types d'espaces de valeurs, les précédents opérateurs peuvent rarement être utilisés tel quel. Même si les notions sous-jacentes ont encore un sens, un travail doit être mené afin de les exprimer dans le nouveau contexte. Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. La première, « Morphologie mathématiques pour les images non standards », concerne l'extension de la morphologie mathématique à des cas particuliers où l'espace des valeurs de l'image ne possède pas de structure d'ordre canonique. Le chapitre 2 formalise et démontre le problème de l'irrégularité des ordres totaux dans les espaces métriques. Le résultat principal de ce chapitre montre qu'étant donné un ordre total dans un espace vectoriel multidimensionnel, il existe toujours des images à valeur dans cet espace tel que les dilatations et les érosions morphologiques soient irrégulières et incohérentes. Le chapitre 3 est une tentative d'extension de la morphologie mathématique aux images à valeur dans un ensemble de labels non ordonnés.La deuxième partie de la thèse, « Estimation de densités de probabilités dans les espaces de Riemann » concerne l'adaptation des techniques classiques d'estimation de densités non paramétriques à certaines variétés Riemanniennes. Le chapitre 5 est un travail sur les histogrammes d'images couleurs dans le cadre de métriques perceptuelles. L'idée principale de ce chapitre consiste à calculer les histogrammes suivant une approximation euclidienne local de la métrique perceptuelle, et non une approximation globale comme dans les espaces perceptuels standards. Le chapitre 6 est une étude sur l'estimation de densité lorsque les données sont des lois Gaussiennes. Différentes techniques y sont analysées. Le résultat principal est l'expression de noyaux pour la métrique de Wasserstein

Enseignement à l’Université, perspective institutionnelle et contrat didactique. Le cas de la dualité en algèbre linéaire

The object of our research work is the study of duality in linear algebra. Aninstitutional point of view is adopted. The anthropological theory of didactics has been chosenas main theoretical framework. It allows us to propose a description of the duality sector inthe linear algebra domain, by decomposing it into five themes. An analysis of duality as aknowledge to be taught is realized at various levels, with among others the introduction andthe definition of five purpose tools for this sector. Drawing on this presentation, a surveyconcerning duality was elaborated and submitted to students enrolled in first-year universitymathematics or physics programs at the University of Namur (Belgium). We present theresults by categorizing the difficulties met by the students. We show how we can speak oftransition about duality, and how the identified difficulties can be interpreted as consequencesof a change of institutional didactical contract. Finally, we formulate propositions for theintroduction of duality in linear algebra. The statement of various perspectives concludes ourwork.Notre travail de recherche a pour objet d’étude la dualité en algèbre linéaire. Il sepositionne dans une perspective institutionnelle. C’est ainsi la théorie anthropologique dudidactique qui sert de cadre théorique principal à notre travail, et qui nous permet de proposerune description du secteur dualité dans le domaine de l’algèbre linéaire, en le décomposant encinq thèmes. Une analyse de la dualité comme savoir à enseigner est réalisée à différentsniveaux, avec entre autres l’introduction et la définition de cinq finalités outil pour ce secteur.Sur base de cette présentation, une enquête concernant la dualité a été conçue et menée auprèsd’étudiants inscrits en première année d’université en mathématiques ou en physique àl’université de Namur (Belgique). Nous en présentons les résultats en catégorisant lesdifficultés rencontrées par les étudiants. Nous montrons de quelle manière nous pouvonsparler de transition à propos de dualité, et comment les difficultés identifiées peuvent êtreinterprétées comme des conséquences d’un changement de contrat didactique institutionnel.Enfin, nous formulons des propositions pour l’introduction de la dualité en algèbre linéaire.L’énoncé de différentes perspectives conclut notre travail

GENESIS, un environnement pour la création musicale à l'aide de modèles physiques particulaires

In the context of Computer Music, physical modeling is usually viewed as an approach to sound synthesis which offers particularly interesting sounds and dynamic behaviors. This is a reducing point of view, since the physical modeling allows also to work at the macro-structural level of the musical composition. Additionally, there is a lack of tools enabling musicians (composers) to embrace physical modeling (the design of their own models) as part of their to processes.GENESIS is an environment for creating music by means of CORDIS-ANIMA mass-interaction models. In GENESIS, physical models (or 'objects') can be fully considered as the basic symbols of a whole new musical language. The user will develop a new conceptual approach, an "intuitive physical thought”.As a first step, we expose the specificities of the approach compared with others for creating music with computers. The working processes we want to support are described. Finally, we present the features and interfaces we designed in order to allow and help theses processes.Les 'modèles physiques' sont de plus en plus utilisés en Informatique Musicale. Ils sont souvent envisagés comme de nouveaux modèles de synthèse de son venant étendre les techniques plus traditionnelles. C'est une position réductrice dans la mesure où ils permettent aussi d’aborder la création de la macro-structure musicale. De plus, le musicien est rarement invité à s’emparer de la modélisation physique elle-même – de la réalisation de ses propres modèles – dans le cadre de ses processus de création.L'environnement informatique GENESIS basé sur les modèles particulaires (ou masses-interactions) CORDIS-ANIMA fait des modèles physiques un véritable langage d'écriture musicale, dont les symboles sont des objets physiques virtuels. Avec lui, l'utilisateur est invité à développer une démarche conceptuelle nouvelle, une « pensée physique » intuitive.Dans un premier temps l'approche est caractérisée en regard d'autres démarches de création avec l'ordinateur, puis les processus de création attenants sont spécifiés.Dans un second temps, on introduit les fonctionnalités et l’ergonomie qui permettent et soutiennent ces processus et on présente leur mise en œuvre au sein de l’environnement complet pour la création musicale GENESIS

La monnaie en droit : nature d'une abstraction outre fondée : essai dialectique et logique sur la dualité dans la catégoricité juridique et sur l'abstraction d'hérédité monétaire

"Thèse présentée à la Faculté des études supérieures en vue de l'obtention du grade de Docteur en droit (LL.D.)"Cette suite d'essais analyse la conception de la monnaie en droit, cherchant à isoler l'originalité de sa nature abstraite. La tradition juridique caractérise la monnaie à la fois comme un fait et comme un droit parce qu'elle présuppose un sens substantif au nom commun 'monnaie', étant ainsi incapable d'admettre que la monnaie, par sa place unique dans les catégories du droit, est le mécanisme qui suppose l'avenir indéterminé en y enchâssant le présent. La difficulté de la monnaie est que, comme catégorie, elle n'est pas incluse aux catégories usuelles de droit privé. Son caractère abstrait l'empêche d'ailleurs d'être incluse parmi les objets qui ont une extension. La monnaie se définit plutôt par négation relativement aux catégories usuelles. Elle est donc reconnaissable entre toutes. Dans la relation sujet-objet, la monnaie versée n'est évidemment pas un sujet. Dans son sens strict, la monnaie réfère aujourd'hui au papier-monnaie. Il est vrai que ce dernier existe matériellement puisqu'il est tangible. Mais paradoxalement, en tant qu'objet, la monnaie est ni une somme, ni une obligation en nature, ni un bien, ni une représentation de dette, ni une mesure, ni consomptible, ni fongible au sens pertinent de ces mots. Comment saisir la substance d'une notion qui se soustrait aux catégories usuelles de la doctrine? Voilà la difficulté fondamentale de la thèse. Répétons son mode original de définition: la monnaie n'est pas identique à une somme due, mais - en étant payée - elle en éteint une; conversement, la somme due n'est pas identique à la monnaie perçue, mais -lorsque payée en trop - cette dernière est déclarée indue et sujette à répétition (l'indu devient dû). La définition de la monnaie procède par 'corécurrence' : elle définit quelque chose d'indéterminé puisqu'un membre de la définition réfère à l'autre et viceversa. Sa nature s'exprime par sa fonction dans la structure des prestations. Mais la doctrine la traite d'abord comme une somme due, sans distinguer outre mesure ce type de dette des autres prestations. Or, à titre d'exécution d'une obligation, une somme d'argent non seulement éteint d'autant les montants, dus à une époque ou l'autre, mais, puisque ces derniers sont appariés aux obligations en nature en tant que prix dû en contrepartie des prestations caractérisées à être effectuées, la perception des sommes d'argent conduit encore à la mobilité des biens parmi les personnes. D'où le paradoxe: une somme d'argent est destinée à circuler précisément pour être la fin des sommes dues. La doctrine enseigne la thèse unitaire du paiement des obligations (en son acception large du droit civil) : sont mis dans un même sac les faits exécutés pour satisfaire à des obligations en nature et les paiements de sommes d'argent dues. Or, elles sont en premier dues, puis payées. Ils sont dits former un ensemble. Ce sac est le temps lui-même. Il s'agit d'une interprétation de l'univers des prestations, précisément une interprétation de la notion d'univers où l'actualité homogène d'un ensemble exclut de faire une place à l'éventualité de valeurs futures par contraste aux valeurs passées. Pour réduire la notion d'univers à celle d'ensemble actuel, l'astuce est de fermer la dualité 'ensemble/membre' en substituant au membre l'ensemble: l'un des objets inclus à l'ensemble doit être à la fois un élément existant de l'ensemble et la collection de tous ses éléments, constituant ainsi la jonction substantive sous-jacente à cette dualité. IV Cet objet fondateur est d'habitude nommé le zéro de l'ensemble. Traitant ainsi l'ensemble des exécutions des obligations, il doit y avoir un élément qui ait à la fois la nature d'une promesse et celle d'un fait. Cet élément est la monnaie. Ainsi, la monnaie a une nature double, à la fois concept et référent du concept. La somme due est exécutée en monnaie et, conversement, la monnaie est la somme transférée à titre de paiement: substituant une définition dans l'autre, l'exécution de la somme due est la somme transférée, une formule conduisant à la régression infinie. Qui donc est le débiteur de cette somme transférée depuis aussi longtemps que la monnaie a circulé et circulera? La difficulté conceptuelle de la monnaie est de comprendre cette métamorphose, où l'exécution d'un fait en satisfaction d'une obligation se révèle elle même être une promesse. Pourquoi alors distinguer une obligation et son exécution? La monnaie cumule la nature catégorique d'une chose matérielle délivrée - autrefois l'or, aujourd'hui le papier-monnaie - et la nature d'une somme due; cette façon de penser mène à réifier les dettes, à leur conférer une existence matérielle. Mais devoir l'argent est fondamentalement la durée du terme d'une relation entre deux personnes. Et payer la monnaie est l'extinction de ce terme. Alors paradoxalement, l'exprimant dans une dualité catégorique, la monnaie a une durée et en même temps n'en a pas. Cette postulation d'une union des termes opposés d'une dualité n'est pas sans précédent. Pour aider le lecteur à s'en rendre compte, je documente que le thème de la migration de la valeur pécuniaire des choses par la médiation de la monnaie dans le paiement des sommes dues rappelle celui de la métempsycose (migration de l'âme) utilisée pour conceptualiser le fondement de la Couronne médiévale, le don de Dieu qui sacrait la continuité des règnes successifs d'une lignée héréditaire de régents. À cette époque, on conceptualisait la continuité historique d'un peuple par les deux corps du roi; sa nature cumulait à la fois celle d'un individu et celle de l'ensemble des individus soumis à son règne. Unique entre tous, on considérait que l'un des individus était un ensemble d'un. Cette attitude platonique était crue nécessaire en droit public pour résoudre la difficulté conceptuelle de la continuité historique d'une communauté en dépit de la nature temporelle de ses membres; elle recevait son écho en droit privé. La thèse unitaire du paiement d'obligations - où, tout comme en économique, la capacité de permutation de biens est elle-même considérée être un bien ordinaire - semble reposer sur cette même conception d'une nécessaire nature double. Dans l'univers des prestations, selon la doctrine, un ensemble infini de valeurs successives formées sur une période de temps indéfinie est considéré être fondé sur un objet transcendant qui cumule les faces opposées d'une dualité: à la fois somme (d'argent) et chose, à la fois droit et fait accompli en exécution d'une obligation, à la fois fait et valeur future. Ce paradigme traditionnel est indifférent à la dualité des prestations: non pécuniaire et pécuniaire. TI y arrive en substantivant la non-existence d'une somme. L'explication proposée ici en est une de structure. L'univers des prestations serait plutôt une dichotomie de deux dualités distinctes: 10 une dualité catégorique, celle de l'exécution de prestations particulières - où avoir fait quelque chose et ne pas l'avoir fait sont des action et abstention caractérisées, et 20 une dualité modale (circulaire), devoir un montant libellé en iv-a devise ou (exclusivement) ne pas le devoir, l'avoir payé ou non. L'obligation de livrer une prestation caractérisée à quelqu'un est appariée à la somme d'argent due par ce dernier en contrepartie de cela; on alterne d'une obligation non pécuniaire à la promesse de payer un montant d'argent sans que quiconque puisse cumuler le beurre et l'argent du beurre à un instant donné. Mais encore, une somme due en suit une autre au travers de la monnaie, cette dernière étant toujours le revers de la somme due. Il n'est pas nécessaire de dire que la monnaie existe, ni de dire qu'elle n'existe pas; il suffit de dire qu'elle éteint la somme due. Non seulement la somme due - versée (renversée) en monnaie - est éteinte, mais encore par le nominalisme elle peut toujours acquitter de nouveau une somme d'autant; il suffit qu'un créancier accepte qu'on la lui doive plutôt que de s'en remettre au troc de choses existantes. Cette nouvelle perspective du paiement des obligations distingue deux types de raisonnements. La vérification catégorique rétrospective d'une exécution en nature survenue se démarque de la modalité où la conséquence juridique de l'extinction d'une somme due se retourne en la possibilité a priori de réitérer cette conséquence encore contre une somme pouvant pourtant n'être pas encore déterminée. La possibilité d'une continuité historique n'a pas la nature finie d'un fait. L'objet qu'est la monnaie déborde de la notion ordinaire d'objet puisqu'il est circulaire: la 'monnaie' est "éteindre une somme (due) puis (est encore) monnaie". Dans la lignée héréditaire des sommes, constituées pour être éteintes, éteintes pour être constituées, la monnaie est ni le prédécesseur, ni un successeur particulier; elle est la fonction qui ouvre continuellement l'éventualité d'autres successeurs. La monnaie est une abstraction et sa nature unique est confirmée au Canada depuis 1967. Une fois la convertibilité du papier-monnaie abandonnée, la monnaie n'est plus une promesse de payer: la banque centrale n'est plus tenue de délivrer l'or à la demande du porteur, ni d'échanger le billet de banque en billets du Dominion. Le papiermonnaie est, depuis, trivialement remplacé seulement par du papier-monnaie. Enfin, l'abstraction monétaire donne à la banque centrale une personnalité morale inédite. Si la Couronne est créancière des uns et débitrice aux autres, alors en contraste la banque centrale qui n'est pas une banque - est ni créancière, ni débitrice du papier-monnaie. La problématique de l'inclusion de la monnaie dans les catégories traditionnelles du droit a une solution inédite. La monnaie s'offre en complément des concepts du discours juridique. L'encaissement d'une somme due emporte comme conséquence la fin de son terme, mais encore il en appelle à nouveau une autre, éventuellement. Ainsi, la monnaie est le bain de renouvellement des sommes. Sa qualification ni ... ni... louvoie entre les deux termes en les niant alternativement.This series of essays analyses the concept of money in the law, seeking to isolate its unique and highly abstract nature. Traditionallaw teaching characterizes money both as a fact and as a right premised as it is on the idea that common nouns like 'money' must have substantive meaning; it is thereby unable to accept that money, by virtue of its unique place amongst the categories of private law, is the mechanism supposing the indeterminate future by embedding the present into it. The difficulty with money is that, as a category, it is not included amongst the usual categories ofprivate law. Its abstract character prevents it from being included amongst objects that have extension. Rather money is defined by negation with respect to the usuallegal categories. It is thereby uniquely recognizable. In the subject-object relationship, paid money is obviously not a subject. In its strict meaning, money refers today to paper-money. It is true that the latter does exist physically because it is tangible. But paradoxicalIy, as an object, money is neither a sum owed, nor an obligation in kind, nor a good, nor representing a debt, nor a measurement, nor consumable, nor fungible in the relevant sense ofthose terms. How does one capture the substance of a notion that defies the usual categories of legal discourse? That is the fundamental difficulty of the thesis. The entirely unique way of defining money bears repeating: Cash money is not identical to a sum owed but extinguishes one as it is being paid; conversely, a sum owed is not identical with money received, since when money is paid without obligation, the sum can be recovered as undue (the undue becomes due). The definition ofmoney proceeds by 'corecurrence': it defines something indeterminate, in that one definition refers to the other and vice versa. Its nature stems from its function in the structure of prestations. But the legal scholarship treats it principally as a sum owed, without further distinguishing this type of debt from other prestations. Now, as the performance of an obligation, a sum ofmoney not only as much pays off any amount, due at one time or another, but, because those are paired to obligations in kind as the price owed in consideration ofparticular performances to be accomplished; the cashing of sums of money still conducts the movement of goods among persons. Whence a paradox: A sum of money is destined to circulate precise1y to extinguish sums (due). Legal scholarship generally teaches the thesis of unity of performance of obligations (payment in its broad civillaw meaning): AlI acts accomplished in the performance of obligations in kind and all payments of sums of money are put in the same bag. Now, they are first owed, then received. These operations are said to form a single set. This bag is time itself. 1t is an interpretation of the universe of prestations, more precise1y an interpretation of the notion of universe where the homogeneous actuality of a set excludes to give place to the possibility of future values by contrast to past values. To close the notion of a universe to that of an actual vi set, the trick is to close the duality 'set/member' by replacing the member by the set: one of the objects included in the set must be at once an existing element of the set and be the collection of aIl its elements, constituting thereby the substantive junction underlying this duality. This foundational object is usually called the zero of the set. In the set of performances of obligations (prestations) with which we are dealing here, there must similarly be an element in the nature of both a promise and a fact. That element is money. So money has a dual nature, both concept and referent of the concept. The sum owed is performed in money and, conversely, money is the sum transferred as payment: substituting one definition in the other, the performance of the sum owed is the sum transferred, a formula leading to infinite regression. Who then is the debtor of this sum transferred for as long as money did and will circulate? The conceptual difficulty with money is to understand this metamorphosis, where the performance of a fact in satisfaction of an obligation reveals itselfto be a promise. Why then bother to distinguish a promise from the performance of it? Money cumulates the categorical nature of a physical thing being delivered - in olden days gold, today paper-money - and the nature of a sum owed; this way of thinking would tend to reify debts, to confer them physical existence. Yet to owe money is fundamentally the duration of the term of a relationship between two persons. And to pay money is to put an end to this term. So paradoxically, to express it in a categorical duality, money has duration and at the same time it has none. Such a union of the polar opposites of a duality is not unprecedented. To help the reader realise this, l document how the theme of migration ofpecuniary value ofthings by means ofmoney being given in payment of amounts owed is reminiscent of metempsychosis (migration of the soul) used to conceptualise the foundation of the medieval Crown, the gift ofGod that consecrated the continuity of successive reigns of an hereditary line of regents. At that time, the historical continuity of the people was conceptualised by the King's two bodies: both that of an individual and that of the set of individuals subject to his reign. Unique amongst aIl, one foundational individual was considered to constitute a set of one. This platonic attitude was believed necessary in public law to resolve the conceptual difficulty of the historical continuity of a community despite the temporal nature of its individuals; it was put to similar use in private law with respect to money. The thesis of unity of performance of obligations - where, like in economics, the capacity to exchange goods is considered an ordinary good itself - appears to rely on the same conception of a necessary dual nature. In the universe of prestations, according to traditionallegal scholarship, an infinite set of successive values taking shape over an indefinite period of time is viewed as founded on a transcendental object which cumulates the opposite faces ofa duality: both sum (of money) and thing, both right and act accomplished in the performance of an obligation, both fact and future value. This traditional paradigm disregard the duality of prestations: pecuniary and non-pecuniary. It does so by giving a substantive value to the non vi-a existence of a sumo The explanation proposed here is one of structure. The universe of prestations is rather a dichotomy of two distinct dualities: 10 a categorieal duality, that of the performance of specifie prestations - where to have done something and not to have done it are characterised action and abstention, and 20 a modal (circular) duality: to owe an amount in currency or (exclusively) not to owe it, to have paid it or not. The obligation to deliver a particular performance to someone is paired to the sum of money owed by him in consideration of it; we altemate from nonpecuniary obligation to promises to pay an amount of money without one being able to have his cake and eat it too at any time. But still, one amount owed follow another thru money, money always being the tuming over of the sum owed. We are not obliged to state that money exists, or that it does not; it suffiees to say that it extinguishes the sum owed. Not only is the sum owed extinguished upon money being tumed (paid) in, but by virtue of nominalism it still can extinguish anew a further sum of same amount; it is sufficient that a creditor accept to be owed a sum ofmoney rather than to revert to the barter ofphysical things. This new reading of the payment of obligations draw apart two types of reasoning. The categorieal proof of a past specifie performance is different from the modality where the legal consequence of the extinction of a sum due is tumed over into the a priori possibility to still reiterate that same consequence against a sum that now may not yet be determined. The possibility of an historieal continuity does not have the finite nature of a fact. Money as an object transcends the concept of an ordinary object because it is circular: 'money' is "the end of a sum (owed) and (is still) money". In the hereditary line of sums, created to be extinguished or extinguished to be created, money is neither the predecessor nor a particular successor; it is the function of continuously opening up the possibility of further successors. Money is an abstraction and its unique character is confirmed in Canada since 1967. Once the convertibility of paper-money is dropped, money is no longer a promissory note: no longer does the central bank undertakes to exchange a bank note for gold or Dominion bonds. Paper-money is now trivially replaced only by paper-money. Finally, the abstract character ofmoney gives the central bank an most unusual status as a legal person. If the Crown is creditor of sorne persons and debtor to others, then by contrast the central bank - who is not a bank - is neither creditor, nor debtor ofpaper-money. The problem of fitting money within the traditional categories of the law does have an unexpected ending. Money presents itself as the complement of the concepts oflegal discourse. The cashing in of a sum triggers the end of its term, but still it calls one anew, eventually. So money is the bath of renewal of sums. In being characterised as neither... nor... it hops between the two terms by altematively negating them