Objets convexes de largeur constante (en 2D) ou d'épaisseur constante (en 3D) : du neuf avec du vieux

International audienceLes objets convexes de largeur constante (dans le plan) ou d'épaisseur constante (dans l'espace) ont fait l'objet d'une attention soutenue de la part des mathématiciens du XIXe comme du XXe siècle, y compris par les plus célèbres d'entre eux (H. Minkowski, H. Lebesgue, W. Blaschke, A. Hurwitz, etc.). Malgré tous les efforts déployés et le nombre de résultats obtenus, certains problèmes posés depuis longtemps à propos de ces objets convexes restent encore ouverts. Les techniques modernes comme celles issues du calcul variationnel ou du contrôle optimal ont néanmoins permis soit de retrouver d'une nouvelle manière des résultats déjà démontrés, soit d'en améliorer significativement certains autres. Dans cet article, qui se veut de synthèse et à but essentiellement pédagogique, nous passons en revue les propriétés et caractérisations essentielles, plutôt de type " variationnel ", des corps convexes de largeur constante (en 2D) ou d'épaisseur constante (en 3D), en insistant sur les différences fondamentales en 2D ou 3D ; ce faisant, nous arrivons sur le front de la recherche récente sur les problèmes restés ouverts, en particulier la conjecture sur le corps convexe de l'espace d'épaisseur constante donnée et de volume minimal

ANALYTICAL PARAMETERIZATION OF ROTORS AND PROOF OF A GOLDBERG CONJECTURE BY OPTIMAL CONTROL THEORY

International audienceCurves which can be rotated freely in an n-gon (that is, an regular polygon with n sides) so that they always remain in contact with every side of the n-gon are called rotors. Using optimal control theory, we prove that the rotor with minimal area consists of a finite union of arcs of circles. Moreover, the radii of these arcs are exactly the distances of the diagonals of the n-gon from the parallel sides. Finally, using the extension of Noether's theorem to optimal control (as performed in [D. F. M. Torres, WSEAS Trans. Math., 3 (2004), pp. 620-624]), we show that a minimizer is necessarily a regular rotor, which proves a conjecture formulated in 1957 by Goldberg (see [M. Golberg, Amer. Math. Monthly, 64 (1957), pp. 71-78]