On generalized Frame-Stewart numbers

For the multi-peg Tower of Hanoi problem with $k \geqslant 4$ pegs, so far the best solution is obtained by the Stewart's algorithm based on the the following recurrence relation: $\mathrm{S}\_k(n)=\min\_{1 \leqslant t \leqslant n} \left\{2 \cdot \mathrm{S}\_k(n-t) + \mathrm{S}\_{k-1}(t)\right\}$, $\mathrm{S}\_3(n) = 2^n -- 1$. In this paper, we generalize this recurrence relation to $\mathrm{G}\_k(n) = \min\_{1\leqslant t\leqslant n}\left\{ p\_k\cdot \mathrm{G}\_k(n-t) + q\_k\cdot \mathrm{G}\_{k-1}(t) \right\}$, $\mathrm{G}\_3(n) = p\_3\cdot \mathrm{G}\_3(n-1) + q\_3$, for two sequences of arbitrary positive integers $\left(p\_i\right)\_{i \geqslant 3}$ and $\left(q\_i\right)\_{i \geqslant 3}$ and we show that the sequence of differences $\left(\mathrm{G}\_k(n)- \mathrm{G}\_k(n-1)\right)\_{n \geqslant 1}$ consists of numbers of the form $\left(\prod\_{i=3}^{k}q\_i\right) \cdot \left(\prod\_{i=3}^{k}{p\_i}^{\alpha\_i}\right)$, with $\alpha\_i\geqslant 0$ for all $i$, arranged in nondecreasing order. We also apply this result to analyze recurrence relations for the Tower of Hanoi problems on several graphs.Comment: 13 pages ; 3 figure

Distances and automatic sequences in distinguished variants of Hanoi graphs

In this thesis three open problems concerning Hanoi-type graphs are addressed. I prove a theorem to determine all shortest paths between two arbitrary vertices s and t in the General Sierpiński graph S_p^n with base p ≥ 3 and exponent n ≥ 0 and find an algorithm based on this theorem which gives us the index of the potential auxiliary subgraph, the distance between s and t and the best first move(s). Using the isomorphism between S_3^n and the Hanoi graphs H_3^n, this algorithm also determines the shortest paths in H_3^n. The results are also used in order to simplify proofs of already known metric properties of S_p^n. Additionally, I compute the average number of input pairs (s_i, t_i) for i ϵ{1,...,n} to be read by the algorithm. The Theorem and the algorithm for S_p^n are modified for the Sierpiński triangle graphs, which are deeply connected to the well-known Sierpiński triangle and the Sierpiński graphs, with the result that the shortest paths in the Sierpiński triangle graphs can be determined for the first time. The Hanoi graphs H_3^n are then considered as directed graphs by differentiating the directions of the disc moves between the pegs of the corresponding Tower of Hanoi. For the problem to transfer a tower from one peg to another peg there are five different solvable variants. Here, the variants TH(C_3^+) and TH(K_3^-) are discussed concerning the infinite sequences of moves which arise from the solutions as n tends to infinity. The Allouche-Sapir Conjecture says that these sequences are not d-automatic for any d. I prove this for the TH(C_3^+) sequence with the aid of the frequency of a letter and its rationality in automatic sequences. For the TH(K_3^-) sequence I employ Cobham’s Theorem about multiplicative independence, automatic sequences and ultimate periodicity. I show that this sequence is the image, under a 1-uniform morphism, of an iterative fixed point of a primitive prolongable endomorphism. F. Durand’s methodᵃ is then used for the decision about the question whether the sequence is ultimately periodic. The method of I. V. Mitrofanovᵇ, which works with subword schemata,is applied to the problem as well. Using the theory of recognisable sets, a sufficient condition for deciding the question about the automaticity of the TH(K_3^-) sequence is deduced. Finally, a yet not studied distance problem on the so-called Star Tower of Hanoi, which is based on the star graph S t(4), is considered. Assuming that the Frame-Stewart type strategy is optimal, a recurrence for the length of the resulting paths is deduced and solved up to n = 12. ᵃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᵇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 2015Ich beweise ein Theorem zur Bestimmung aller kürzesten Wege zwischen zwei beliebigen Ecken s und t in den allgemeinen Sierpiński-Graphen S_p^n mit Basis p ≥ 3 und Exponent n ≥ 0 und erstelle auf diesem Theorem beruhend einen Algorithmus, der den Index des allfälligen Hilfsuntergraphen, den Abstand zwischen s und t und einen besten ersten Schritt liefert. Unter Verwendung des Isomorphismus zwischen S_3^n und den Hanoi-Graphen H_3^n bestimmt dieser Algorithmus auch die kürzesten Wege in H_3^n. Die Ergebnisse werden benutzt, um Beweise bereits bekannter metrischer Eigenschaften der S_p^n zu vereinfachen. Zusätzlich berechne ich die durchschnittlich benötigte Anzahl von Eingabepaaren (s_i, t_i) für i ϵ{1,...,n} in den Algorithmus. Das Theorem und der Algorithmus für S_p^n werden für die Klasse der Sierpiński-Dreiecksgraphen, welche in direktem Zusammenhang mit dem berühmten Sierpiński-Dreieck und den Sierpiński-Graphen stehen, modifiziert, sodass erstmals auch die kürzesten Wege in diesen Graphen bestimmt werden können. Die Hanoi-Graphen H_3^n werden dann als gerichtete Graphen betrachtet, indem man die Richtungen der Bewegungen zwischen den Stäben des entsprechenden Turms von Hanoi differenziert. Für das Problem des Versetzens eines Turms von einem Stab auf einen anderen gibt es fünf verschiedene lösbare Varianten. Die Varianten TH(C_3^+) und TH(K_3^-) werden bezüglich der unendlichen Folgen von Bewegungen betrachtet, die sich durch die Lösung für n gegen Unendlich strebend ergeben. Die Allouche-Sapir-Vermutung besagt, dass für kein d diese Folgen d-automatisch erzeugt sind. Ich beweise dies für die TH(C_3^+) Folge mit Hilfe der Theorie über die Häufigkeit eines Buchstabens und deren Rationalität in automatisch erzeugten Folgen. Für die TH(K_3^-) Folge wird Cobhams Theorem über multiplikative Unabhängigkeit, automatisch erzeugte Folgen und ultimative Periodizität verwendet. Ich zeige, dass diese Folge das Bild, unter einem 1-uniformen Morphismus, eines iterativen Fixpunktes eines primitiven verlängerbaren Endomorphismus ist. Die Methode von F. Durandᵃ wird dann für die Entscheidung über die Frage, ob die Folge ultimativ periodisch ist, verwendet. Ebenso wird die Methode von I. V. Mitrofanovᵇ, welche mit Teilwortschemata arbeitet, auf das Problem angewandt. Unter Verwendung der Theorie über erkennbare Mengen wird eine hinreichende Bedingung für die Frage der Automatizität der TH(K_3^-) Folge hergeleitet. Zuletzt wird ein bislang nicht untersuchtes Abstandsproblem im sogenannten Stern-Turm-von- Hanoi betrachtet, welcher auf dem Stern-Graphen St(4) beruht. Unter der Annahme, dass die Frame-Stewart-Strategie optimal sei, wird eine Rekursionsvorschrift für die Länge der so gewonnenen Wege entwickelt und bis n = 12 gelöst. ᵃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᵇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 201

Ein kombinierter analytischer und suchbasierter Ansatz zur induktiven Synthese funktionaler Programme

This thesis is concerned with the inductive synthesis of recursive declarative programs and in particular with the analytical inductive synthesis of functional programs. Program synthesis addresses the problem of (semi-)automatically generating computer programs from specifications. In inductive program synthesis, recursive programs are constructed by generalizing over incomplete specifications such as finite sets of input/output examples (I/O examples). Classical methods for induction of functional programs are analytical, that is, a recursive function definition is derived by detecting and generalizing recurrent patterns between the given I/O examples. Most recent methods, on the other side, are generate-and-test based, that is, they repeatedly generate programs independently from the provided I/O examples until a program is found that correctly computes the examples. Analytical methods are much faster than generate-and-test methods, because they do not rely on search in a program space. Therefore, however, the schemas that generatable programs conform to, must be much more restricted. This thesis at first provides a comprehensive overview of current approaches and methods to inductive program synthesis. Then we present a new algorithm to the inductive synthesis of functional programs that generalizes the analytical approach and combines it with search in a program space. Thereby, the strong restrictions of analytical methods can be resolved for the most part. At the same time, applying analytical techniques allows for pruning large parts of the problem space so that solutions can often be found faster than with generate-and-test methods. By means of several experiments with an implementation of the described algorithm, we demonstrate its capabilities.Diese Arbeit befasst sich mit der induktiven Synthese rekursiver deklarativer Programme und speziell mit der analytischen induktiven Synthese funktionaler Programme. Die Programmsynthese beschäftigt sich mit der (semi-)automatischen Konstruktion von Computer-Programmen aus Spezifikationen. In der induktiven Programmsynthese werden rekursive Programme durch das Generalisieren über unvollständige Spezifikationen, wie zum Beispiel endliche Mengen von Eingabe/Ausgabe Beispielen (E/A-Beispielen), generiert. Klassische Methoden der induktiven Synthese funktionaler Programme sind analytisch; eine rekursive Funktionsdefinition wird generiert, indem rekurrente Strukturen zwischen den einzelnen E/A-Beispielen gefunden und generalisiert werden. Die meisten aktuellen Ansätze basieren hingegen auf erzeugen und testen, das heißt, es werden unabhängig von den bereitgestellten E/A-Beispielen solange Programme einer Klasse generiert, bis schließlich ein Programm gefunden wurde das alle Beispiele korrekt berechnet. Analytische Methoden sind sehr viel schneller, weil sie nicht auf Suche in einem Programmraum beruhen. Allerdings müssen dafür auch die Schemata, denen die generierbaren Programme gehorchen, sehr viel beschränkter sein. Diese Arbeit bietet zunächst einen umfassenden Überblick über bestehende Ansätze und Methoden der induktiven Programmsynthese. Anschließend wird ein neuer Algorithmus zur induktiven Synthese funktionaler Programme beschrieben, der den analytischen Ansatz generalisiert und mit Suche in einem Programmraum kombiniert. Dadurch lassen sich die starken Restriktionen des analytischen Ansatzes zu großen Teilen überwinden. Gleichzeitig erlaubt der Einsatz analytischer Techniken das Beschneiden großer Teile des Problemraums, so dass Lösungsprogramme oft schneller gefunden werden können als mit Methoden, die auf erzeugen und testen beruhen. Mittels einer Reihe von Experimenten mit einer Implementation des beschriebenen Algorithmus' werden seine Möglichkeiten gezeigt

Distances and automatic sequences in distinguished variants of Hanoi graphs

In this thesis three open problems concerning Hanoi-type graphs are addressed. I prove a theorem to determine all shortest paths between two arbitrary vertices s and t in the General Sierpiński graph S_p^n with base p ≥ 3 and exponent n ≥ 0 and find an algorithm based on this theorem which gives us the index of the potential auxiliary subgraph, the distance between s and t and the best first move(s). Using the isomorphism between S_3^n and the Hanoi graphs H_3^n, this algorithm also determines the shortest paths in H_3^n. The results are also used in order to simplify proofs of already known metric properties of S_p^n. Additionally, I compute the average number of input pairs (s_i, t_i) for i ϵ{1,...,n} to be read by the algorithm. The Theorem and the algorithm for S_p^n are modified for the Sierpiński triangle graphs, which are deeply connected to the well-known Sierpiński triangle and the Sierpiński graphs, with the result that the shortest paths in the Sierpiński triangle graphs can be determined for the first time. The Hanoi graphs H_3^n are then considered as directed graphs by differentiating the directions of the disc moves between the pegs of the corresponding Tower of Hanoi. For the problem to transfer a tower from one peg to another peg there are five different solvable variants. Here, the variants TH(C_3^+) and TH(K_3^-) are discussed concerning the infinite sequences of moves which arise from the solutions as n tends to infinity. The Allouche-Sapir Conjecture says that these sequences are not d-automatic for any d. I prove this for the TH(C_3^+) sequence with the aid of the frequency of a letter and its rationality in automatic sequences. For the TH(K_3^-) sequence I employ Cobham’s Theorem about multiplicative independence, automatic sequences and ultimate periodicity. I show that this sequence is the image, under a 1-uniform morphism, of an iterative fixed point of a primitive prolongable endomorphism. F. Durand’s methodᵃ is then used for the decision about the question whether the sequence is ultimately periodic. The method of I. V. Mitrofanovᵇ, which works with subword schemata,is applied to the problem as well. Using the theory of recognisable sets, a sufficient condition for deciding the question about the automaticity of the TH(K_3^-) sequence is deduced. Finally, a yet not studied distance problem on the so-called Star Tower of Hanoi, which is based on the star graph S t(4), is considered. Assuming that the Frame-Stewart type strategy is optimal, a recurrence for the length of the resulting paths is deduced and solved up to n = 12. ᵃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᵇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 2015Ich beweise ein Theorem zur Bestimmung aller kürzesten Wege zwischen zwei beliebigen Ecken s und t in den allgemeinen Sierpiński-Graphen S_p^n mit Basis p ≥ 3 und Exponent n ≥ 0 und erstelle auf diesem Theorem beruhend einen Algorithmus, der den Index des allfälligen Hilfsuntergraphen, den Abstand zwischen s und t und einen besten ersten Schritt liefert. Unter Verwendung des Isomorphismus zwischen S_3^n und den Hanoi-Graphen H_3^n bestimmt dieser Algorithmus auch die kürzesten Wege in H_3^n. Die Ergebnisse werden benutzt, um Beweise bereits bekannter metrischer Eigenschaften der S_p^n zu vereinfachen. Zusätzlich berechne ich die durchschnittlich benötigte Anzahl von Eingabepaaren (s_i, t_i) für i ϵ{1,...,n} in den Algorithmus. Das Theorem und der Algorithmus für S_p^n werden für die Klasse der Sierpiński-Dreiecksgraphen, welche in direktem Zusammenhang mit dem berühmten Sierpiński-Dreieck und den Sierpiński-Graphen stehen, modifiziert, sodass erstmals auch die kürzesten Wege in diesen Graphen bestimmt werden können. Die Hanoi-Graphen H_3^n werden dann als gerichtete Graphen betrachtet, indem man die Richtungen der Bewegungen zwischen den Stäben des entsprechenden Turms von Hanoi differenziert. Für das Problem des Versetzens eines Turms von einem Stab auf einen anderen gibt es fünf verschiedene lösbare Varianten. Die Varianten TH(C_3^+) und TH(K_3^-) werden bezüglich der unendlichen Folgen von Bewegungen betrachtet, die sich durch die Lösung für n gegen Unendlich strebend ergeben. Die Allouche-Sapir-Vermutung besagt, dass für kein d diese Folgen d-automatisch erzeugt sind. Ich beweise dies für die TH(C_3^+) Folge mit Hilfe der Theorie über die Häufigkeit eines Buchstabens und deren Rationalität in automatisch erzeugten Folgen. Für die TH(K_3^-) Folge wird Cobhams Theorem über multiplikative Unabhängigkeit, automatisch erzeugte Folgen und ultimative Periodizität verwendet. Ich zeige, dass diese Folge das Bild, unter einem 1-uniformen Morphismus, eines iterativen Fixpunktes eines primitiven verlängerbaren Endomorphismus ist. Die Methode von F. Durandᵃ wird dann für die Entscheidung über die Frage, ob die Folge ultimativ periodisch ist, verwendet. Ebenso wird die Methode von I. V. Mitrofanovᵇ, welche mit Teilwortschemata arbeitet, auf das Problem angewandt. Unter Verwendung der Theorie über erkennbare Mengen wird eine hinreichende Bedingung für die Frage der Automatizität der TH(K_3^-) Folge hergeleitet. Zuletzt wird ein bislang nicht untersuchtes Abstandsproblem im sogenannten Stern-Turm-von- Hanoi betrachtet, welcher auf dem Stern-Graphen St(4) beruht. Unter der Annahme, dass die Frame-Stewart-Strategie optimal sei, wird eine Rekursionsvorschrift für die Länge der so gewonnenen Wege entwickelt und bis n = 12 gelöst. ᵃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᵇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 201

Schemagesteuerte Induktive Funktionale Programmsynthese durch Automatische Erkennung von Typmorphismen

Inductive functional programming systems can be characterised by two diametric approaches: Either they apply exhaustive program enumeration which uses input/output examples (IO) as test cases, or they perform an analytical, data-driven structural generalisation of the IO examples. Enumerative approaches ignore the structural information provided with the IO examples, but use type information to guide and restrict the search. They use higher-order functions which capture recursion schemes during their enumeration, but apply them randomly in a uninformed manner. Analytical approaches on the other side heavily exploit this structural information, but have ignored the benefits of a strong type system so far and use only recursion schemes either fixed and built in, or selected by an expert user. In category theory universal constructs, such as natural transformations or type morphisms, describe recursion schemes which can be defined on any inductively defined data type. They can be characterised by specific universal properties. Those type morphisms and related concepts provide a categorical approach to functional programming, which is often called categorical programming. This work shows how categorical programming can be applied to Inductive Programming and how universal constructs, such as catamorphisms, paramorphisms, and type functors, can be used as recursive program schemes for inductive functional programming. The use of program schemes for Inductive Programming is not new. The special appeal and novelty of this work is that, contrary to previous approaches, the program schemes are neither fixed, nor selected by an expert user: The applicability of those recursion schemes can be automatically detected in the given IO examples of a target function by checking the universal properties of the corresponding type morphisms. Applying this to the analytical system Igor2, both the capabilities and the expressiveness can be extended without a decrease in efficiency. An extension of the analytical functional inductive programming system Igor2 is proposed and its algorithms described. An empirical evaluation demonstrates the improvements with respect to efficiency and effectiveness that can be achieved by the use of type morphisms for Igor2 due to a reduction in search space complexity.Systeme zur induktiven Programmsynthese können bezüglich zweier gegensätzlicher Ansätze beschrieben werden: Enumerative Systeme zählen Programme vollständig auf und verwenden Eingabe/Ausgabe Beispiele (E/A) lediglich zum Testen; analytische, datengetriebene Systeme hingegegen generieren ein Programm durch strukturelle Generalisierung der E/A Beispiele. Aufzählende Ansätze ignorieren die in den E/A Beispielen enthaltene strukturelle Information völlig, benutzen aber Typinformation, um den Suchraum zu beschränken und die Suche zu steuern. Sie verwenden Funktionen höherer Ordnung als rekursive Programmschemata während der Aufzählung, wenden diese aber beliebig und nicht zielgerichtet an. Analytische Ansätze hingegen nutzen extensiv die strukturelle Information der E/A Beispiele, vernachlässigen aber die Vorzüge eines starken Typsystems. Programmschemata verwenden sie lediglich starr und fest codiert oder durch Auswahl eines Experten. In der Kategorientheorie beschreiben universelle Konstrukte wie zum Beispiel natürliche Transformationen und Typmorphismen Rekursionsschemata auf beliebigen, induktiv definierten Datentypen. Diese Konstrukte zeichnen sich durch spezifische, universelle Eigenschaften aus. Derartige Typmorphismen bieten einen kategorientheoretischen Zugang zur funktionalen Programmierung. Diese Arbeit zeigt, wie Catamorphismen, Paramorphismen und Typfunktoren als universelle Konstrukte in der induktiven Programmsynthese als rekursive Programmschemata verwendet werden können. Die Verwendung von Schemata in der induktiven Programmierung ist an sich nichts Neues, die Innovation liegt jedoch in der Art und Weise der Einführung der Schemata. Im Gegensatz zu herkömmlichen Ansätzen wird weder ein festes Schema verwendet, noch wählt ein Experte ein Schema aus. Die vorliegende Arbeit zeigt, dass die Anwendbarkeit eines bestimmten Schemas sich aus den E/A Beispielen einer konkreten Zielfunktion ableiten lässt, wenn man die universellen Eigenschaften das dem Programmschema entsprechenden Typmorphismus in den Beispielen erfüllen kann. Im Folgenden wird eine Erweiterung des funktionalen, induktiven Programmsynthesesystems Igor2 vorgestellt und der neue Algorithmus beschrieben. Ein empirischer Vergleich untermauert die Vorzüge der Erweiterung und macht die Steigerung der Effizienz und der Effektivität, die durch die Verwendung von Typmorphismen durch Komplexitätsreduktion des Suchraums erzielt werden kann, deutlich

The prospects for monetary integration in East Asia

Ph.DDOCTOR OF PHILOSOPH

Gender and the War: Men, Women and Vietnam

Special editor Jacqueline Lawson. This issue on gender and the war includes a Bibliography of Unusual Sources on Women and the Vietnam War