Análisis del desempeño de algoritmos basados en la teoría de campo medio para problemas tipo mochila.

Se propone una metodología basada en teorías de campo medio para resolver problemas tipo mochila con funciones objetivo lineales y cuadráticas a gran escala. Además, se consideran problemas desde una hasta treinta restricciones lineales. Estos problemas son conocidos en la literatura como el problema de la mochila, el problema de la mochila cuadrática y el problema de la mochila multidimensional. Fueron seleccionados por su sencilla interpretación y múltiples aplicaciones en la vida real. Asimismo, en los dos primeros problemas, se toman casos en los que se sabe que dado el algoritmo exacto no es conveniente su implementación. Para el tercer problema simplemente se toman los casos más usados para validar la eficiencia de algoritmos, casos en los que el valor ´optimo es desconocido para algunos tipos. La esencia de la metodología propuesta es encontrar una función de distribución de probabilidad asociada a un problema de optimización. Una de las más usadas es la distribución de Boltzmann que involucra la función objetivo y sus restricciones, mediante la relajación Lagrangiana, transformando un problema discreto en uno continuo. Sin embargo, la distribución por si sola es compleja y difícil de tratar, por lo que se realiza una aproximación de campo medio que resulta de elegir de un conjunto de distribuciones sencillas, aquella que ofrezca la menor diferencia entre la distribución de Boltzmann y ´esta. Los problemas de optimización usados para validar la eficiencia de la metodología propuesta son binarios por lo que la distribución general de campo medio que se plantea es adecuada para este tipo. En dado caso en el que se quiera utilizar esta metodología en otro tipo de problemas, es necesario presentar otra distribución de campo medio que se ajuste a ellos. El enfoque de campo medio usado en el presente trabajo permite encontrar ecuaciones independientes que estiman la probabilidad de ocurrencia de cada una de las variables a través del espacio dual; es decir, dando valores a los multiplicadores de LaGrange, es posible construir un vector de probabilidades en el que cada elemento representa la probabilidad de activar una determinada variable de una solución del problema binario. El algoritmo propuesto es determinista y capaz de encontrar soluciones de alta calidad en los problemas de prueba, con tiempos de ejecución cuyos ´ordenes de magnitud son inferiores a algoritmos recientemente estudiados. Objetivos y método de estudio: ´ Distinguir e identificar las bondades de utilizar un modelo probabilístico de campo medio, en problemas tipo mochila, para la construcción de soluciones factibles. Para ello, se parte de que cualquier problema de optimización está relacionado con la distribución de probabilidad de Boltzmann la cual es aproximada por una distribución mucho más sencilla. Teniendo la distribución aproximada es posible construir una solución binaria mediante técnicas de redondeo. CONTRIBUCIONES y CONCLUSIONES: Se logra obtener una metodología rápida y eficaz para construir soluciones factibles en problemas de gran escala de tipo mochila. Se abordan problemas con restricciones lineales, funciones objetivo cuadráticas y lineales, e inclusive problemas con múltiples restricciones. En todos estos casos se encuentran soluciones de calidad en poco tiempo, en promedio conforme crece su tamaño la diferencia entre lo mejor conocido y la solución de la metodología propuesta tiende a disminuir. Esto último es debido a que la teoría de campo medio, como su nombre lo indica, trabaja con un esquema de promedios por lo que a medida que crece el número de variables las soluciones tienden a ser más precisas

Quantum Annealing: Research and Applications

This thesis studies several aspects of the quantum annealing (QA) computing approach. Quantum annealers' primary objective is to solve hard computational optimization problems. Because these optimization problems are in the NP-Hard complexity class, they are of great interest in several fields. One of the leading open questions concerning quantum annealers asks whether they will outperform other classical methods for solving these problems; Some aspects of this question are addressed in this thesis. The first part of the thesis investigates whether quantum annealing provides improved performance for solving a particular family of NP problems, called the Quadratic Knapsack Problem (QKP), using the D-Wave Quantum Annealer. The performance metrics used to assess QKP solving are the solution quality and the total runtime, and are benchmarked against other classical solvers. Furthermore, we extend our research on quantum annealers to propose two use cases for such systems. One is for Blockchain technology, and the second is in the area of quantum chaos. For the first use case of QA, an application for Blockchain's Proof of Work (PoW) is proposed, based on having hard optimization problems as an alternative to PoW hashing challenge, and using quantum annealers as solvers. For the second use case of QA, we propose simulating quantum chaos on the D-Wave Quantum Annealer to study the transition between the deep quantum realm and the classical limit in a chaotic system, and obtain insights into the “quantumness" of quantum annealers

An iterated "hyperplane exploration" approach for the quadratic knapsack problem

International audienceThe quadratic knapsack problem (QKP) is a well-known combinatorial optimization problem with numerous applications. Given its NP-hard nature, finding optimal solutions or even high quality suboptimal solutions to QKP in the general case is a highly challenging task. In this paper, we propose an iterated “hyperplane exploration” approach (IHEA) to solve QKP approximately. Instead of considering the whole solution space, the proposed approach adopts the idea of searching over a set of hyperplanes defined by a cardinality constraint to delimit the search to promising areas of the solution space. To explore these hyperplanes efficiently, IHEA employs a variable fixing strategy to reduce each hyperplane-constrained sub-problem and then applies a dedicated tabu search procedure to locate high quality solutions within the reduced solution space. Extensive experimental studies over three sets of 220 QKP instances indicate that IHEA competes very favorably with the state-of-the-art algorithms both in terms of solution quality and computing efficiency. We provide additional information to gain insight into the key components of the proposed approach.</p

Métaheuristiques Hybrides pour quelques Problèmes de Sac-à-Dos Quadratiques

Cette thèse considère quatre problèmes d’optimisation combinatoire connus sous le nom de Problèmes de Sac-à-Dos Quadratiques : le problème de sac-à-dos quadratique (QSP), le problème de sac-à-dos multiple quadratique (QMSP), le problème de sac-à-dos multiple quadratique généralisé (GQMSP) et le nouveau problème de sac-à-dos multiple quadratique bi-objectif (BO-QMSP) présenté dans cette thèse. Parmi eux, le QSP est le modèle de base tandis que les trois autres introduisent des contraintes ou des fonctions objectives supplémentaires. Ces problèmes ont de nombreuses applications pratiques. Étant donné qu’ils appartiennent à la famille NP-difficile, il est difficile de les résoudre dans le cas général. Pour cette raison, cette thèse est consacrée à la création d’approches métaheuristiques hybrides efficaces pour résoudre ces quatre problèmes difficiles. Plus précisément, nous développons une approche itérative d’exploration hyperplane pour le QSP, deux algorithmes hybrides ("Iterative responsive threshold search" et "Evolutionary path relinking") pour le QMSP, un algorithme mémétique pour le GQMSP et une approche hybride en deux étapes pour le BO-QMSP. Ces algorithmes partagent certains ingrédients fondamentaux (e.g., les opérateurs de mouvement de base et les heuristiques gloutonnes) qui avec quelques adaptations sont généralement applicables à d’autres problèmes de sac-à-dos quadratiques. Ils possèdent également un certain nombre de conceptions spécifiques aux problèmes étudiés. Tous les algorithmes ont été expérimentalement démontrés être en mesure de rivaliser favorablement avec les méthodes de l’état de l’art.This thesis considers four combinatorial optimization problems known under the name Quadratic Knapsack Problems: the quadratic (single) knapsack problem (QKP), the quadratic multiple knapsack problem (QMKP), the generalized quadratic multiple knapsack problem (GQMKP) and the new bi-objective quadratic multiple knapsack problem (BO-QMKP) introduced in this thesis. Among them, the QKP is the most basic model while the other three generalize upon it by introducing additional constraints or objective functions. These problems have a wide range of practical applications. Given that they belong to the NP-hard family, it is computationally difficult to solve them in the general case. For this reason, this thesis is devoted to developing effective hybrid metaheuristic approaches to tackle these four challenging problems. Specifically, we develop an iterated hyperplane exploration approach for the QKP, two hybrid metaheuristic algorithms (iterated responsive threshold search and evolutionary path relinking) for the QMKP, an effective memetic algorithm for the GQMKP and a hybrid two-stage approach for the BO-QMKP. These algorithms share some fundamental ingredients (e.g., move operators and greedy heuristics) which with small adaptations are generally applicable to other Quadratic Knapsack Problems. They also possess a number of problem-specific designs. All algorithms were experimentally demonstrated to be able to compete favourably with state-of-the-art methods