Bäcklund transformations for noncommutative anti-self-dual Yang-Mills equations

We present Bäcklund transformations for the non-commutative anti-self-dual Yang–Mills equations where the gauge group is G = GL(2) and use it to generate a series of exact solutions from a simple seed solution. The solutions generated by this approach are represented in terms of quasi-determinants and belong to a non-commutative version of the Atiyah–Ward ansatz. In the commutative limit, our results coincide with those by Corrigan, Fairlie, Yates and Goddard

Nonlinearization of the Lax pairs for discrete Ablowitz–Ladik hierarchy

AbstractThe discrete Ablowitz–Ladik hierarchy with four potentials and the Hamiltonian structures are derived. Under a constraint between the potentials and eigenfunctions, the nonlinearization of the Lax pairs associated with the discrete Ablowitz–Ladik hierarchy leads to a new symplectic map and a class of finite-dimensional Hamiltonian systems. The generating function of the integrals of motion is presented, by which the symplectic map and these finite-dimensional Hamiltonian systems are further proved to be completely integrable in the Liouville sense. Each member in the discrete Ablowitz–Ladik hierarchy is decomposed into a Hamiltonian system of ordinary differential equations plus the discrete flow generated by the symplectic map

Polinomios biortogonales y sus generalizaciones: una perspectiva desde los sistemas integrables

La conexión existente entre los polinomios ortogonales y otras ramas de la matemática, la física o la ingeniería es verdaderamente asombrosa. Además, no hay mejor prueba de la utilidad de estos que el propio crecimiento, avance perpetuo y generalización en diversas direcciones de lo que se entendía por polinomio ortogonal en los albores de la teoría. Conforme el concepto se fue generalizando, también fueron evolucionando las técnicas para su estudio, algunas de estas claramente influenciadas por aquellas disciplinas matemáticas con las que iban surgiendo conexiones. La perspectiva que esta tesis adopta frente a los polinomios ortogonales es un ejemplo de este tipo de influencias, compartiendo herramientas y entrelazandose con la teoría de los sistemas integrables. Una posición privilegiada en esta tesis la ocuparían las matrices de Gram semi in nitas; cada cual asociada a una forma sesquilineal adaptada al tipo de biortogonalidad en cuestión. A estas matrices se les impondrán una serie de condiciones cuyo objeto sería el de garantizar la existencia y unicidad de las secuencias biortogonales asociadas a las mismas. El siguiente paso consistiría en buscar simetrías de estas matrices de Gram. Existen dos razones por las que este esfuerzo resulta ventajoso. En primer lugar, cada simetría encontrada podría traducirse en propiedades de las secuencias biortogonales, por ejemplo: una estructura Hankel de la matriz es equivalente a gozar de la recurrencia a tres términos de los polinomios ortogonales; la simetría propia de las matrices asociadas a pesos clásicos (Hermite, Laguerre, Jacobi) implica la existencia del operador diferencial lineal de segundo orden de que los polinomios clásicos son solución; etc..