Well-formed scales, non-well-formed words and the Christoffel duality

Tesis inédita de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, leída el 02-02-2016La presente tesis analiza las escalas musicales generadas desde la perspectiva y las técnicas que ofrece la combinatoria algebraica de palabras. La noción de escala musical es una de las más primitivas: intuitivamente se puede reducir a un conjunto de notas ordenadas seg un la frecuencia de su fundamental (altura del sonido). Ya desde tiempos de la Escuela Pitagórica se vio que al pulsar una cuerda tensa, los sonidos que mejor suenan juntos, los más consonantes, están determinados por unas longitudes de cuerda cuyas proporciones son números fraccionarios sencillos. El más consonante de ellos, la octava, tiene una relación de longitudes 2:1. Este intervalo es tan consonante, que muchas veces los sonidos cuyas frecuencias están separadas en una octava suenan indistinguibles. Es por ello por lo que al estudiar las escalas se suelen identificar las notas cuya distancia es de una o varias octavas. Como resultado, suele entenderse por escala un conjunto de notas dentro de un rango de una octava, transportando dicha secuencia al resto de octavas en caso de necesidad. La definición formal de escala se llevar a a cabo en la sección 2.2, donde se mostrar a como cada octava puede representarse geométricamente mediante una circunferencia unitaria o, aritméticamente, como el conjunto cociente R=Z, es decir, como el intervalo (0,1]. De esta forma, una escala queda determinada por un conjunto de números ordenados entre el 0 y el 1 o bien, geométricamente, por un polígono inscrito en el círculo unidad...Fac. de Ciencias MatemáticasTRUEunpu

Selfdual Substitutions in Dimension One

There are several notions of the 'dual' of a word/tile substitution. We show that the most common ones are equivalent for substitutions in dimension one, where we restrict ourselves to the case of two letters/tiles. Furthermore, we obtain necessary and sufficient arithmetic conditions for substitutions being selfdual in this case. Since many connections between the different notions of word/tile substitution are discussed, this paper may also serve as a survey paper on this topic.Comment: 28 pages, 5 figures. Several typos removed, some proofs shortened, thanks to the referees. The accepted version of this paper is shorter (22 pages, 4 figures), this arxiv version includes more examples, two appendices, plus a self-contained proof of Theorem 2.

Geometric Analysis of Nonlinear Partial Differential Equations

This book contains a collection of twelve papers that reflect the state of the art of nonlinear differential equations in modern geometrical theory. It comprises miscellaneous topics of the local and nonlocal geometry of differential equations and the applications of the corresponding methods in hydrodynamics, symplectic geometry, optimal investment theory, etc. The contents will be useful for all the readers whose professional interests are related to nonlinear PDEs and differential geometry, both in theoretical and applied aspects

Symmetries in Quantum Mechanics and Statistical Physics

This book collects contributions to the Special Issue entitled "Symmetries in Quantum Mechanics and Statistical Physics" of the journal Symmetry. These contributions focus on recent advancements in the study of PT–invariance of non-Hermitian Hamiltonians, the supersymmetric quantum mechanics of relativistic and non-relativisitc systems, duality transformations for power–law potentials and conformal transformations. New aspects on the spreading of wave packets are also discussed