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    A Bramble-Pasciak conjugate gradient method for discrete Stokes equations with random viscosity

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    We study the iterative solution of linear systems of equations arising from stochastic Galerkin finite element discretizations of saddle point problems. We focus on the Stokes model with random data parametrized by uniformly distributed random variables and discuss well-posedness of the variational formulations. We introduce a Bramble-Pasciak conjugate gradient method as a linear solver. It builds on a non-standard inner product associated with a block triangular preconditioner. The block triangular structure enables more sophisticated preconditioners than the block diagonal structure usually applied in MINRES methods. We show how the existence requirements of a conjugate gradient method can be met in our setting. We analyze the performance of the solvers depending on relevant physical and numerical parameters by means of eigenvalue estimates. For this purpose, we derive bounds for the eigenvalues of the relevant preconditioned sub-matrices. We illustrate our findings using the flow in a driven cavity as a numerical test case, where the viscosity is given by a truncated Karhunen-Lo\`eve expansion of a random field. In this example, a Bramble-Pasciak conjugate gradient method with block triangular preconditioner outperforms a MINRES method with block diagonal preconditioner in terms of iteration numbers.Comment: 19 pages, 1 figure, submitted to SIAM JU

    Robust Preconditioners for the High-Contrast Elliptic Partial Differential Equations

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    In this thesis, we discuss a robust preconditioner (the AGKS preconditioner) for solving linear systems arising from approximations of partial differential equations (PDEs) with high-contrast coefficients. The problems considered here include the standard second and higher order elliptic PDEs such as high-contrast diffusion equation, Stokes\u27 equation and biharmonic-plate equation. The goal of this study is the development of robust and parallelizable preconditioners that can easily be integrated to treat large configurations. The construction of the preconditioner consists of two phases. The first one is an algebraic phase which partitions the degrees of freedom into high and low permeability regions which may be of arbitrary geometry. This yields a corresponding block partitioning of the stiffness matrix allowing us to use a formula for the action of its inverse involving the inverses of both the high permeability block and its Schur complement in the original matrix. Singular perturbation analysis plays a big role to analyze the structure of the required subblock inverses in the high contrast case which shows that for high enough contrast each of the subblock inverses can be approximated well by solving only systems with constant coefficients. The second phase involves an efficient multigrid approximation of this exact inverse. After applying singular perturbation theory to each of the sub-blocks, we obtain that inverses of each of the subblocks with high contrast entries can be approximated efficiently using geometric multigrid methods, and that this approximation is robust with respect to both the contrast and the mesh size. The result is a multigrid method for high contrast problems which is provably optimal to both contrast and mesh size. We demonstrate the advantageous properties of the AGKS preconditioner using experiments on model high-contrast problems. We examine its performance against multigrid method under varying discretizations of diffusion equation, Stokes equation and biharmonic-plate equation. Thus, we show that we accomplished a desirable preconditioning design goal by using the same family of preconditioners to solve the elliptic family of PDEs with varying discretizations

    Weak Galerkin finite element methods for elasticity and coupled flow problems

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    Includes bibliographical references.2020 Summer.We present novel stabilizer-free weak Galerkin finite element methods for linear elasticity and coupled Stokes-Darcy flow with a comprehensive treatment of theoretical results and the numerical methods for each. Weak Galerkin finite element methods take a discontinuous approximation space and bind degrees of freedom together through the discrete weak gradient, which involves solving a small symmetric positive-definite linear system on every element of the mesh. We introduce notation and analysis using a general framework that highlights properties that unify many existing weak Galerkin methods. This framework makes analysis for the methods much more straightforward. The method for linear elasticity on quadrilateral and hexahedral meshes uses piecewise constant vectors to approximate the displacement on each cell, and it uses the Raviart-Thomas space for the discrete weak gradient. We use the Schur complement to simplify the solution of the global linear system and increase computational efficiency further. We prove first-order convergence in the L2 norm, verify our analysis with numerical experiments, and compare to another weak Galerkin approach for this problem. The method for coupled Stokes-Darcy flow uses an extensible multinumerics approach on quadrilateral meshes. The Darcy flow discretization uses a weak Galerkin finite element method with piecewise constants approximating pressure and the Arbogast-Correa space for the weak gradient. The Stokes domain discretization uses the classical Bernardi-Raugel pair. We prove first-order convergence in the energy norm and verify our analysis with numerical experiments. All algorithms implemented in this dissertation are publicly available as part of James Liu's DarcyLite and Darcy+ packages and as part of the deal.II library

    Software concepts and algorithms for an efficient and scalable parallel finite element method

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    Software packages for the numerical solution of partial differential equations (PDEs) using the finite element method are important in different fields of research. The basic data structures and algorithms change in time, as the user\'s requirements are growing and the software must efficiently use the newest highly parallel computing systems. This is the central point of this work. To make efficiently use of parallel computing systems with growing number of independent basic computing units, i.e.~CPUs, we have to combine data structures and algorithms from different areas of mathematics and computer science. Two crucial parts are a distributed mesh and parallel solver for linear systems of equations. For both there exists multiple independent approaches. In this work we argue that it is necessary to combine both of them to allow for an efficient and scalable implementation of the finite element method. First, we present concepts, data structures and algorithms for distributed meshes, which allow for local refinement. The central point of our presentation is to provide arbitrary geometrical information of the mesh and its distribution to the linear solver. A large part of the overall computing time of the finite element method is spend by the linear solver. Thus, its parallelization is of major importance. Based on the presented concept for distributed meshes, we preset several different linear solver methods. Hereby we concentrate on general purpose linear solver, which makes only little assumptions about the systems to be solver. For this, a new FETI-DP (Finite Element Tearing and Interconnect - Dual Primal) method is proposed. Those the standard FETI-DP method is quasi optimal from a mathematical point of view, its not possible to implement it efficiently for a large number of processors (> 10,000). The main reason is a relatively small but globally distributed coarse mesh problem. To circumvent this problem, we propose a new multilevel FETI-DP method which hierarchically decompose the coarse grid problem. This leads to a more local communication pattern for solver the coarse grid problem and makes it possible to scale for a large number of processors. Besides the parallelization of the finite element method, we discuss an approach to speed up serial computations of existing finite element packages. In many computations the PDE to be solved consists of more than one variable. This is especially the case in multi-physics modeling. Observation show that in many of these computation the solution structure of the variables is different. But in the standard finite element method, only one mesh is used for the discretization of all variables. We present a multi-mesh finite element method, which allows to discretize a system of PDEs with two independently refined meshes.Softwarepakete zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen mit Hilfe der Finiten-Element-Methode sind in vielen Forschungsbereichen ein wichtiges Werkzeug. Die dahinter stehenden Datenstrukturen und Algorithmen unterliegen einer stĂ€ndigen Neuentwicklung um den immer weiter steigenden Anforderungen der Nutzergemeinde gerecht zu werden und um neue, hochgradig parallel Rechnerarchitekturen effizient nutzen zu können. Dies ist auch der Kernpunkt dieser Arbeit. Um parallel Rechnerarchitekturen mit einer immer höher werdenden Anzahl an von einander unabhĂ€ngigen Recheneinheiten, z.B.~Prozessoren, effizient Nutzen zu können, mĂŒssen Datenstrukturen und Algorithmen aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik und Informatik entwickelt und miteinander kombiniert werden. Im Kern sind dies zwei Bereiche: verteilte Gitter und parallele Löser fĂŒr lineare Gleichungssysteme. FĂŒr jedes der beiden Teilgebiete existieren unabhĂ€ngig voneinander zahlreiche AnsĂ€tze. In dieser Arbeit wird argumentiert, dass fĂŒr hochskalierbare Anwendungen der Finiten-Elemente-Methode nur eine Kombination beider Teilgebiete und die VerknĂŒpfung der darunter liegenden Datenstrukturen eine effiziente und skalierbare Implementierung ermöglicht. Zuerst stellen wir Konzepte vor, die parallele verteile Gitter mit entsprechenden Adaptionstrategien ermöglichen. Zentraler Punkt ist hier die Informationsaufbereitung fĂŒr beliebige Löser linearer Gleichungssysteme. Beim Lösen partieller Differentialgleichung mit der Finiten Elemente Methode wird ein großer Teil der Rechenzeit fĂŒr das Lösen der dabei anfallenden linearen Gleichungssysteme aufgebracht. Daher ist deren Parallelisierung von zentraler Bedeutung. Basierend auf dem vorgestelltem Konzept fĂŒr verteilten Gitter, welches beliebige geometrische Informationen fĂŒr die linearen Löser aufbereiten kann, prĂ€sentieren wir mehrere unterschiedliche Lösermethoden. Besonders Gewicht wird dabei auf allgemeine Löser gelegt, die möglichst wenig Annahmen ĂŒber das zu lösende System machen. HierfĂŒr wird die FETI-DP (Finite Element Tearing and Interconnect - Dual Primal) Methode weiterentwickelt. Obwohl die FETI-DP Methode vom mathematischen Standpunkt her als quasi-optimal bezĂŒglich der parallelen Skalierbarkeit gilt, kann sie fĂŒr große Anzahl an Prozessoren (> 10.000) nicht mehr effizient implementiert werden. Dies liegt hauptsĂ€chlich an einem verhĂ€ltnismĂ€ĂŸig kleinem aber global verteilten Grobgitterproblem. Wir stellen eine Multilevel FETI-DP Methode vor, die dieses Problem durch eine hierarchische Komposition des Grobgitterproblems löst. Dadurch wird die Kommunikation entlang des Grobgitterproblems lokalisiert und die Skalierbarkeit der FETI-DP Methode auch fĂŒr große Anzahl an Prozessoren sichergestellt. Neben der Parallelisierung der Finiten-Elemente-Methode beschĂ€ftigen wir uns in dieser Arbeit mit der Ausnutzung von bestimmten Voraussetzung um auch die sequentielle Effizienz bestehender Implementierung der Finiten-Elemente-Methode zu steigern. In vielen FĂ€llen mĂŒssen partielle Differentialgleichungen mit mehreren Variablen gelöst werden. Sehr hĂ€ufig ist dabei zu beobachten, insbesondere bei der Modellierung mehrere miteinander gekoppelter physikalischer PhĂ€nomene, dass die Lösungsstruktur der unterschiedlichen Variablen entweder schwach oder vollstĂ€ndig voneinander entkoppelt ist. In den meisten Implementierungen wird dabei nur ein Gitter zur Diskretisierung aller Variablen des Systems genutzt. Wir stellen eine Finite-Elemente-Methode vor, bei der zwei unabhĂ€ngig voneinander verfeinerte Gitter genutzt werden können um ein System partieller Differentialgleichungen zu lösen

    Proceedings for the ICASE Workshop on Heterogeneous Boundary Conditions

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    Domain Decomposition is a complex problem with many interesting aspects. The choice of decomposition can be made based on many different criteria, and the choice of interface of internal boundary conditions are numerous. The various regions under study may have different dynamical balances, indicating that different physical processes are dominating the flow in these regions. This conference was called in recognition of the need to more clearly define the nature of these complex problems. This proceedings is a collection of the presentations and the discussion groups

    Iterative solvers for modeling mantle convection with strongly varying viscosity

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    Die Dissertation beschreibt Verbesserungen der FEM-Diskretisierung und des Lösers der Stokes-Gleichungen im sphĂ€rischen Mantelkonvektionsmodell Terra. ZunĂ€chst wurde in einem zweidimensionalen quadratischen Gitter mit jeweils stĂŒckweise linearen Ansatzfunktionen fĂŒr Druck und Geschwindigkeit eine stabilisierte Diskretisierung nach Dohrmann & Bochev (2004) mit Projektionen auf stĂŒckweise konstante Druckfunktionen implementiert. Deren spektrale Eigenschaften wurden systematisch untersucht. Die Stabilisierung bewirkt eine GitterunabhĂ€ngigkeit des Spektrums des Schurkomplements S. Die ViskositĂ€tsunabhĂ€ngigkeit wird durch PrĂ€konditionierung von S mit einer viskositĂ€tsabhĂ€ngigen Massenmatrix Mη bzw. durch Skalierung mit deren Diagonale erreicht. Damit wurden drei Krylov-Unterraumverfahren hinsichtlich ihrer Robustheit gegenĂŒber ViskositĂ€tsvariationen und Lösertoleranzen untersucht: Druckkorrektur- (PC), Minimierte Residuen- (MINRES) und ein konjugiertes Gradientenverfahren (BPCG) mit einem von Bramble and Pasciak (1988) entwickelten BlockprĂ€konditionierer. PC und BPCG wurden in einer Ă€ußeren Schleife mit aus EigenwertabschĂ€tzungen berechneten Abbruchkriterien mehrfach gestartet. In der Rechenzeit unterscheiden sich die Löser um weniger als Faktor 2. Bei starken ViskositĂ€tskontrasten ist PC der einfachste und schnellste Löser. In Terra kann die o.g. Stabilisierung ohne EinschrĂ€nkung auf Gittern mit mindestens 85 Millionen Knoten verwendet werden. FĂŒr gröbere Gitter wurde eine adaptive Wichtung entwickelt. Das PC-Verfahren in Terra wurde gemĂ€ĂŸ der o.g. Ergebnisse optimiert. Die Diagonalskalierung von S mit Mη bewirkt eine Rechenzeitreduktion um Faktor 4 bei starken lateralen ViskositĂ€tsvariationen. Bei Verwendung eines optimalen Multigrid-Lösers fĂŒr den Impulsoperator wĂ€re es Faktor 30. Diese Verbesserungen sind wesentliche Schritte zur Verwendung realitĂ€tsnĂ€herer Erdmantelmodelle
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