9 research outputs found
Cyclicité finie des boucles homoclines dans R3 non dégénérées avec valeurs propres principales réelles en résonance 1:1
Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur
Integrability, localisation and bifurcation of an elastic conducting rod in a uniform magnetic field
The classical problem of the buckling of an elastic rod in a magnetic ¯eld is investigated
using modern techniques from dynamical systems theory. The Kirchhoff equations,
which describe the static equilibrium equations of a geometrically exact rod under end
tension and moment are extended by incorporating the evolution of a fixed external
vector (in the direction of the magnetic field) that interacts with the rod via a Lorentz
force. The static equilibrium equations (in body cordinates) are found to be noncanonical
Hamiltonian equations. The Poisson bracket is generalised and the equilibrium equations
found to sit, as the third member, in a family of rod equations in generalised magnetic
fields. When the rod is linearly elastic, isotropic, inextensible and unshearable the equations
are completely integrable and can be generated by a Lax pair.
The isotropic system is reduced using the Casimirs, via the Euler angles, to a four-dimensional
canonical system with a first integral provided the magnetic field is not
aligned with the force within the rod at any point as the system losses rank. An energy
surface is specified, defning three-dimensional flows. Poincare sections then show closed
curves.
Through Mel'nikov analysis it is shown that for an extensible rod the presence of a
magnetic field leads to the transverse intersection of the stable and unstable manifolds
and the loss of complete integrability. Consequently, the system admits spatially chaotic
solutions and a multiplicity of multimodal homoclinic solutions exist. Poincare sections
associated with the loss of integrability are displayed.
Homoclinic solutions are computed and post-buckling paths found using continutaion
methods. The rods buckle in a Hamiltonian-Hopf bifurcation about a periodic
solution. A codimension-two point, which describes a double Hamiltonian-Hopf bifurcation,
determines whether straight rods buckle into localised configurations at either two
critical values of the magnetic field, a single critical value or do not buckle at all. The
codimension-two point is found to be an organising centre for primary and multimodal
solutions
Vector fields with heteroclinic networks
Dissertação de Doutoramento em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências da Universidade do PortoO trabalho desenvolvido ao longo desta tese tem como ponto de partida uma famÃlia de equações diferenciais apresentada e estudada por Field (Ver M.J Field, 1996, Lectures on Bifurcations, Dynamics and Symmetry, Pitman Research Notes in Mathematics Series 356, Longman).Field conjectura, com base no seu estudo analÃtico e numérico, a existência, para certos valores dos parâmetros, de uma rede heteroclÃnica envolvendo os equilÃbrios e as trajectórias periódicas na dinâmica do sistema. No caso de as variedades invariantes de dimensão 2 dos equilÃbrios e das trajectórias periódicas se intersectarem transversalmente, Field conjectura também a existência de dinâmica da ferradura da rede heteroclÃnica.Nesta tese provamos as conjecturas de Field. O trabalho aqui desenvolvido indica a existência de uma rede heteroclÃnica de Shilnikov e prova a existência de dinâmica da ferradura na vizinhança de uma tal rede heteroclÃnica.Usamos a simetria do sistema para definir a rede heteroclÃnica quociente. Isto sugeriu-nos uma abordagem para estudar a dinâmica na vizinhança da rede heteroclÃnica de Shilnikov. O estudo da dinâmica é efectuado com recurso a uma codificação da dinâmica ao longo da rede heteroclÃnica e a uma codificação local na vizinhança dos ciclos heteroclÃnicos na rede quociente.ConstruÃmos exemplos simples contendo ciclos heteroclÃnicos de Shilnikov que são topologicamente equivalentes a ciclos heteroclÃnicos quocientes no exemplo de Field. Um facto importante acerca destes exemplos é que, apesar de possuÃrem dinâmica complexa, pela forma como são construÃdos, são mais fáceis de manipular analiticamente. Por exemplo, provamos analiticamente a intersecção transversal das variedades invariantes de dimensão 2.Os exemplos que construÃmos ajudam a compreender o comportamento complexo no exemplo de Field. Provamos a existência de dinâmica da ferradura na vizinhança de ciclos heteroclÃnicos envolvendo duas selas com autovalores complexos. Isto prova a existência ..