Cyclicité finie des boucles homoclines dans R3 non dégénérées avec valeurs propres principales réelles en résonance 1:1

Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur

Integrability, localisation and bifurcation of an elastic conducting rod in a uniform magnetic field

The classical problem of the buckling of an elastic rod in a magnetic ¯eld is investigated using modern techniques from dynamical systems theory. The Kirchhoff equations, which describe the static equilibrium equations of a geometrically exact rod under end tension and moment are extended by incorporating the evolution of a fixed external vector (in the direction of the magnetic field) that interacts with the rod via a Lorentz force. The static equilibrium equations (in body cordinates) are found to be noncanonical Hamiltonian equations. The Poisson bracket is generalised and the equilibrium equations found to sit, as the third member, in a family of rod equations in generalised magnetic fields. When the rod is linearly elastic, isotropic, inextensible and unshearable the equations are completely integrable and can be generated by a Lax pair. The isotropic system is reduced using the Casimirs, via the Euler angles, to a four-dimensional canonical system with a first integral provided the magnetic field is not aligned with the force within the rod at any point as the system losses rank. An energy surface is specified, defning three-dimensional flows. Poincare sections then show closed curves. Through Mel'nikov analysis it is shown that for an extensible rod the presence of a magnetic field leads to the transverse intersection of the stable and unstable manifolds and the loss of complete integrability. Consequently, the system admits spatially chaotic solutions and a multiplicity of multimodal homoclinic solutions exist. Poincare sections associated with the loss of integrability are displayed. Homoclinic solutions are computed and post-buckling paths found using continutaion methods. The rods buckle in a Hamiltonian-Hopf bifurcation about a periodic solution. A codimension-two point, which describes a double Hamiltonian-Hopf bifurcation, determines whether straight rods buckle into localised configurations at either two critical values of the magnetic field, a single critical value or do not buckle at all. The codimension-two point is found to be an organising centre for primary and multimodal solutions

Vector fields with heteroclinic networks

Dissertação de Doutoramento em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências da Universidade do PortoO trabalho desenvolvido ao longo desta tese tem como ponto de partida uma família de equações diferenciais apresentada e estudada por Field (Ver M.J Field, 1996, Lectures on Bifurcations, Dynamics and Symmetry, Pitman Research Notes in Mathematics Series 356, Longman).Field conjectura, com base no seu estudo analítico e numérico, a existência, para certos valores dos parâmetros, de uma rede heteroclínica envolvendo os equilíbrios e as trajectórias periódicas na dinâmica do sistema. No caso de as variedades invariantes de dimensão 2 dos equilíbrios e das trajectórias periódicas se intersectarem transversalmente, Field conjectura também a existência de dinâmica da ferradura da rede heteroclínica.Nesta tese provamos as conjecturas de Field. O trabalho aqui desenvolvido indica a existência de uma rede heteroclínica de Shilnikov e prova a existência de dinâmica da ferradura na vizinhança de uma tal rede heteroclínica.Usamos a simetria do sistema para definir a rede heteroclínica quociente. Isto sugeriu-nos uma abordagem para estudar a dinâmica na vizinhança da rede heteroclínica de Shilnikov. O estudo da dinâmica é efectuado com recurso a uma codificação da dinâmica ao longo da rede heteroclínica e a uma codificação local na vizinhança dos ciclos heteroclínicos na rede quociente.Construímos exemplos simples contendo ciclos heteroclínicos de Shilnikov que são topologicamente equivalentes a ciclos heteroclínicos quocientes no exemplo de Field. Um facto importante acerca destes exemplos é que, apesar de possuírem dinâmica complexa, pela forma como são construídos, são mais fáceis de manipular analiticamente. Por exemplo, provamos analiticamente a intersecção transversal das variedades invariantes de dimensão 2.Os exemplos que construímos ajudam a compreender o comportamento complexo no exemplo de Field. Provamos a existência de dinâmica da ferradura na vizinhança de ciclos heteroclínicos envolvendo duas selas com autovalores complexos. Isto prova a existência ..