Quantum and Classical Multilevel Algorithms for (Hyper)Graphs

Combinatorial optimization problems on (hyper)graphs are ubiquitous in science and industry. Because many of these problems are NP-hard, development of sophisticated heuristics is of utmost importance for practical problems. In recent years, the emergence of Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) computers has opened up the opportunity to dramaticaly speedup combinatorial optimization. However, the adoption of NISQ devices is impeded by their severe limitations, both in terms of the number of qubits, as well as in their quality. NISQ devices are widely expected to have no more than hundreds to thousands of qubits with very limited error-correction, imposing a strict limit on the size and the structure of the problems that can be tackled directly. A natural solution to this issue is hybrid quantum-classical algorithms that combine a NISQ device with a classical machine with the goal of capturing “the best of both worlds”. Being motivated by lack of high quality optimization solvers for hypergraph partitioning, in this thesis, we begin by discussing classical multilevel approaches for this problem. We present a novel relaxation-based vertex similarity measure termed algebraic distance for hypergraphs and the coarsening schemes based on it. Extending the multilevel method to include quantum optimization routines, we present Quantum Local Search (QLS) – a hybrid iterative improvement approach that is inspired by the classical local search approaches. Next, we introduce the Multilevel Quantum Local Search (ML-QLS) that incorporates the quantum-enhanced iterative improvement scheme introduced in QLS within the multilevel framework, as well as several techniques to further understand and improve the effectiveness of Quantum Approximate Optimization Algorithm used throughout our work

Algebraic Multigrid for Meshfree Methods

This thesis deals with the development of a new Algebraic Multigrid method (AMG) for the solution of linear systems arising from Generalized Finite Difference Methods (GFDM). In particular, we consider the Finite Pointset Method, which is based on GFDM. Being a meshfree method, FPM does not rely on a mesh and can therefore deal with moving geometries and free surfaces is a natural way and it does not require the generation of a mesh before the actual simulation. In industrial use cases the size of the linear systems often becomes large, which means that classical linear solvers often become the bottleneck in terms of simulation run time, because their convergence rate depends on the discretization size. Multigrid methods have proven to be very efficient linear solvers in the domain of mesh-based methods. Their convergence is independent of the discretization size, yielding a run time that only scales linearly with the problem size. AMG methods are a natural candidate for the solution of the linear systems arising in the FPM, as this thesis will show. They need to be tuned to the specific characteristics of GFDM, though. The AMG methods that are developed in this thesis achieve a speed-up of up to 33x compared to the classical linear solvers and therefore allow much more accurate simulations in the future.Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Entwicklung einer neuen Algebraischen Mehrgittermethode für die Lösung linearer Gleichungssysteme aus Generalisierten Finite Differenzen Methoden. Im Speziellen betrachten wir die sogenannte Finite Pointset Method, eine gitterfreie Lagrange Methode, welche auf Generalisierten Finite Differenzen Methoden basiert. Die Finite Pointset Method wurde insbesondere für Simulationen von Vorgängen mit freien Oberflächen und bewegten Geometrien entwickelt, bei denen der gitterfreie Charakter der Methode besonders große Vorteile liefert: An den freien Oberflächen und nahe der Geometrie muss zu keinem Zeitpunkt – auch nicht zu Beginn der Simulation – ein Gitter erstellt oder angepasst werden. Dies ist ein großer Vorteil gegenüber klassischen gitterbasierten Methoden. Wie in gitterbasierten Methoden entstehen auch in der Finite Pointset Method und anderen Generalisierten Finite Differenzen Methoden große, dünn besetze lineare Gleichungssysteme. Das Lösen dieser Gleichungssysteme wird bei fein aufgelösten Simulationen, wie sie in der Industrie oft nötig sind, schnell zum zeitlichen Flaschenhals der Gesamtsimulation. Ohne eine geeignete Methode zur Lösung dieser Gleichungssysteme dauern Simulationen oft sehr lange oder sind praktisch nicht durchführbar. Auch kann es vorkommen, dass klassische Lösungsverfahren divergieren und die Simulation damit unmöglich wird. Im Kontext von gitterbasierten Methoden sind Mehrgittermethoden ein etabliertes Werkzeug, um die entstehenden linearen Gleichungssysteme effizient und robust zu lösen. Besonders hervorzuheben ist dabei die lineare Skalierbarkeit dieser Methoden in der Größe der Matrix. Damit eignen sie sich besonders für fein aufgelöste Simulationen. Algebraische Mehrgittermethoden sind natürliche Kandidaten für die Lösung der Gleichungssysteme aus Generalisierten Finite Differenzen Methoden, wie diese Dissertation zeigen wird. Außerdem entwickeln wir eine neue Algebraische Mehrgittermethode, die auf den Einsatz in der Finite Pointset Method zugeschnitten ist und die Besonderheiten dieser Methode beachtet. Dazu zählen die Eigenschaften der einzelnen Matrizen, die wir ebenfalls analysieren werden, und auch die Veränderung der Matrizen über mehrere Zeitschritte hinweg, die im Vergleich mit gitterbasierten Verfahren eine größere Schwierigkeit darstellt. Wir evaluieren unsere neue Methode anhand von akademischen und realen Beispielen, sowohl mit nur einem Prozess als auch mit mehreren (MPI-)Prozessen. Die hier neu entwickelte Algebraische Mehrgittermethode ist um ein Vielfaches schneller als klassische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme und erlaubt damit neue, genauere Simulationen mit gitterfreien Methoden