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New Approaches to Classic Graph-Embedding Problems - Orthogonal Drawings & Constrained Planarity
Drawings of graphs are often used to represent a given data set in a human-readable way. In this thesis, we consider different classic algorithmic problems that arise when automatically generating graph drawings. More specifically, we solve some open problems in the context of orthogonal drawings and advance the current state of research on the problems clustered planarity and simultaneous planarity
New Approaches on Octilinear Graph Drawing
Graphenzeichnen ist ein Bereich der Informatik mit langer Tradition.
Insbesondere im Bereich des orthogonalen Graphenzeichnens wird seit den
1980er Jahren motiviert durch VLSI-Design (Chip-Design) und Grundrissplanung intensiv geforscht. In dieser Arbeit wird das klassische orthogonale
Modell durch neue Elemente, unter anderem aus dem oktilinearen Graphenzeichnen, erweitert.
Die ersten Ergebnisse, die wir in dieser Arbeit vorstellen, befassen sich
mit oktilinearem Graphenzeichnen. Dieses Modell ist altbekannt und viele
Aspekte wurden schon untersucht. Wir entwickeln eine Methode mit der fĂŒr
planare Graphen mit einem beschrÀnkten maximalen Knotengrad (4 und 5)
Zeichnungen mit maximal einem Knick pro Kante erstellt werden können.
AuĂerdem zeigen wir, dass Graphen mit maximalem Knotengrad 6 nicht immer mit einem Knick pro Kante gezeichnet werden können. Damit schlieĂen
wir die LĂŒcke zwischen bekannten Ergebnissen, die besagen dass Graphen
mit maximalem Knotengrad 3 immer ohne Knicke und alle Graphen bis zu
einem maximalen Knotengrad von 8 mit höchstens zwei Knicken pro Kante
oktilinear gezeichnet werden können.
Durch Nutzerstudien konnte gezeigt werden, dass die Lesbarkeit von
(Graphen) Zeichnungen durch Knicke auf den Kanten und schlecht identifizierbare Kreuzungen besonders beeintrÀchtigt wird. An diesem Punkt setzt unser neues Modell, das abgeschrÀgt orthogonale (engl. slanted orthogonal,
oder kurz: slog) Graphenzeichnen an. Im slog Modell ist der kleinste erlaubte
Winkel zwischen zwei aufeinander folgenden Kantensegmenten 135°. Das hat
zur Folge, dass slog Zeichnungen keine normalen Knicke mehr haben, sondern
sogenannte Halb-Knicke. Um Kreuzungen besser erkennbar zu machen sind
im slog Modell Kreuzungen ausschlieĂlich zwischen diagonalen Segmenten
erlaubt. Wir zeigen, dass eine knick-minimale slog Zeichnung mindestens
doppelt so viele Halb-Knicke benötigt, wie eine knick-minimale orthogonale Zeichnung Knicke hat. FĂŒr das slog Modell werden in dieser Arbeit
Methoden zur Berechnung von knick-minimalen Zeichnungen vorgestellt. Da
diese exponentielle FlĂ€che benötigen können, wird auĂerdem eine Heuristik
entwickelt, die nur quadratische Fl Ìache benötigt, dafĂŒr aber mehr Knicke
zulÀsst. Die Ergebnisse einer experimentellen Evaluation des slog Modells
werden ebenfalls prÀsentiert.
Im Anschluss erweitern wir das slog Modell zu einer flexibleren Variante
die wir sloggy nennen. Das sloggy Modell hat alle Eigenschaften des slog
Modells, aber Kreuzungen werden jetzt auch zwischen orthogonalen Segmenten erlaubt. DafĂŒr wird die Anzahl Halb-Knicke beschrĂ€nkt auf genau
zwei Mal die Anzahl Knicke der entsprechenden knick-minimalen orthogonalen Zeichnung. AuĂerdem wird die Anzahl an Kreuzungen zwischen diagonalen Segmenten maximiert. Wir entwickeln eine Methode zur Berechnung
solcher Zeichnungen und zeigen, dass auch hier exponentielle FlÀche benötigt
werden kann.
Das slog und das sloggy Modell sind auf Graphen mit einem maximalen
Knotengrad von 4 beschrÀnkt. Deswegen wenden wir uns als nÀchstes dem
Kandinsky Modell zu, einem bekannten Modell mit dem Graphen mit beliebigem Knotengrad gezeichnet werden können. Wir erweitern das bekannte
Modell mit Elementen aus dem slog Modell, den Halb-Knicken, um so zuvor verbotene Konfigurationen zeichnen zu können. Mit unserer Erweiterung
wollen wir die Gesamtzahl an Knicken und die GröĂe der Zeichnungen verkleinern. Wir entwickeln eine LP Formulierung, mit der die optimale Zeichnung berechnet werden kann. Da diese sehr lange Zeit zur Berechnung
beanspruchen kann, haben wir zusĂ€tzliche eine effiziente Heuristik entwickelt. In einer experimentellen Untersuchung vergleichen wir auĂerdem das
neue Modell mit dem klassischen Kandinsky Modell.
Im letzten Kapitel vereinen wir dann unsere Modifikation des Kandinsky
Modells mit dem slog Modell im sogenannten sloginsky Modell, um Graphen
mit beliebigem Knotengrad mit den Vorteilen des slog Modells zeichnen zu
können. Wir entwickeln eine Methode zur Berechnung knick-optimaler sloginsky Zeichnungen, aber wir zeigen auch, dass eine solche Zeichnung nicht
fĂŒr jede Eingabe möglich ist. Auch im sloginsky Modell kann eine Zeichnung
exponentielle FlÀche beanspruchen, was in der experimentellen Evaluation
ebenfalls sichtbar wird
Area-Efficient Drawings of Outer-1-Planar Graphs
We study area-efficient drawings of planar graphs: embeddings of graphs on an integer grid so that the bounding box of the drawing is minimized. Our focus is on the class of outer-1-planar graphs: the family of planar graphs that can be drawn on the plane with all vertices on the outer-face so that each edge is crossed at most once. We first present two straight-line drawing algorithms that yield small-area straight-line drawings for the subclass of complete outer-1-planar graphs. Further, we give an algorithm that produces an orthogonal drawing of any outer-1-plane graph in O(n log n) area while keeping the number of bends per edge relatively small
Algorithms for drawing planar graphs
Computers raken meer en meer ingeburgerd in de samenleving. Ze worden gebruikt
om informatie uit te rekenen, op te slaan en snel weer te geven. Deze weergave
kan gebeuren in tekst, tabellen of in allerlei andere schema's. Een plaatje zegt
vaak meer dan 1000 woorden, mits het plaatje duidelijk en overzichtelijk is. Een
schema kan bestaan uit rechthoeken met informatie en verbindingslijnen tussen deze
rechthoeken. Denk maar aan een schematische weergave van de organisatie structuur
van een bedrijf. Of beschouw een schematische weergave van alle relaties en links
in een database of een ander software programma. Ook een plan voor een uit te
voeren project moet duidelijk laten zien welke onderdelen afhankelijk van elkaar
zijn en tegelijk of na elkaar uitgevoerd moeten worden. Uit een schema moeten alle
onderlinge relaties direct blijken.
Ook op het gebied van electrische schakelingen zijn er vaak vereenvoudigde
schema's die alle verbindingen tussen de componenten weergeven. Denk maar aan
de bijlagen van een televisietoestel. Een schema wordt hier veelal gebruikt om later
reparaties of uitbreidingen aan de electrische schakelingen uit te voeren. De elec-
trische schakelingen kunnen uit duizenden componenten bestaan. Als er zeer veel
van deze schakelingen grasch weergegeven moeten worden, is het belangrijk dat
tekeningen van deze netwerken snel gemaakt kunnen worden, en het resultaat moet
duidelijk en overzichtelijk zijn. In meer algemene zin bestaat een netwerk uit een
aantal componenten, met verbindingen tussen deze componenten. In de wiskunde
worden deze netwerken ook wel grafen genoemd. De componenten worden knopen
genoemd en de verbindingen lijnen.
Dit proefschrift is gewijd aan het automatisch tekenen en grasch representeren
van grafen. De hierboven vermelde voorbeelden geven een goed inzichtin de be-
trokken vragen bij de methoden, ook wel algoritmen genoemd, om een layout van
een graaf te maken. Helaas zijn esthetische criteria zoals \leesbaarheid" of een
\mooie tekening" niet direct te vertalen tot wiskundige formules. Anderzijds kan
een wiskundig optimaliseringcriterium een goede keus zijn voor een bepaalde graaf,
maar leiden tot een onoverzichtelijke tekening in andere gevallen. Heel vaak voldoet
een goede tekening aan een combinatie van optimaliseringscriteria. Een belangrijk
criterium is ofdat de graaf zonder kruisende lijnen getekend kan worden. Als dit het
geval is dan wordt de graaf planair genoemd.
We bestuderen in dit proefschrift het automatisch tekenen en representeren van
223?224 SAMENVATTING
planaire grafen in het platte vlak en op roosters (dus alle co? ordinaten zijn gehele
getallen). We tekenen de planaire grafen ook zonder kruisende lijnen. Belangrijke
criteria voor de representatie van planaire grafen, genoemd in de literatuur, zijn de
volgende:
Het minimaliseren van het aantal bochten in de verbindingen (of het tekenen
van de graaf met alle verbindingen als rechte lijnen weergegeven).
Het minimaliseren van het totaal gebruikte gebied waarbinnen de representatie
\mooi" kan worden weergegeven.
Het plaatsen van de knopen, lijnen en bochten op roostercoordinaten.
Het maximaliseren van de hoeken tussen elke twee opeenvolgende uitgaande
verbindingen van een knoop.
Het maximaliseren van de totale afstand tussen de knopen.
De interne gebieden moeten convex getekend worden.
Kwantitatieve uitspraken over de kwaliteit van een tekenalgoritme worden steeds
gedaan in termen van het aantal knopen van een graaf.
Het proefschrift is onderverdeeld in drie delen:
Deel A presenteert een inleiding tot het gebied van planaire grafen. Het geeft een
uitgebreid overzicht ven de belangrijkste basistechnieken en algoritmen, die vooraf-
gaan aan de algoritmen, beschreven in de andere delen.
Deel B beschouwt het probleem van het uitbreiden van planaire grafen zodat
een bepaalde graad van samenhangendheid wordt bereikt. Een graaf heet k-samen-
hangend als na het weglaten van
Schematics of Graphs and Hypergraphs
Graphenzeichnen als ein Teilgebiet der Informatik befasst sich mit dem Ziel Graphen oder deren Verallgemeinerung Hypergraphen geometrisch zu realisieren. BeschrĂ€nkt man sich dabei auf visuelles Hervorheben von wesentlichen Informationen in Zeichenmodellen, spricht man von Schemata. Hauptinstrumente sind Konstruktionsalgorithmen und Charakterisierungen von Graphenklassen, die fĂŒr die Konstruktion geeignet sind. In dieser Arbeit werden Schemata fĂŒr Graphen und Hypergraphen formalisiert und mit den genannten Instrumenten untersucht. In der Dissertation wird zunĂ€chst das âpartial edge drawingâ (kurz: PED) Modell fĂŒr Graphen (bezĂŒglich gradliniger Zeichnung) untersucht. Dabei wird um Kreuzungen im Zentrum der Kante visuell zu eliminieren jede Kante durch ein kreuzungsfreies TeilstĂŒck (= Stummel) am Start- und am Zielknoten ersetzt. Als Standard hat sich eine PED-Variante etabliert, in der das LĂ€ngenverhĂ€ltnis zwischen Stummel und Kante genau 1â4 ist (kurz: 1â4-SHPED). FĂŒr 1â4-SHPEDs werden Konstruktionsalgorithmen, Klassifizierung, Implementierung und Evaluation prĂ€sentiert. AuĂerdem werden PED-Varianten mit festen Knotenpositionen und auf Basis orthogonaler Zeichnungen erforscht. Danach wird das BUS Modell fĂŒr Hypergraphen untersucht, in welchem Hyperkanten durch fette horizontale oder vertikale â als BUS bezeichnete â Segmente reprĂ€sentiert werden. Dazu wird eine vollstĂ€ndige Charakterisierung von planaren Inzidenzgraphen von Hypergraphen angegeben, die eine planare Zeichnung im BUS Modell besitzen, und diverse planare BUS-Varianten mit festen Knotenpositionen werden diskutiert. Zum Schluss wird erstmals eine Punktmenge von subquadratischer GröĂe angegeben, die eine planare Einbettung (Knoten werden auf Punkte abgebildet) von 2-auĂenplanaren Graphen ermöglicht