Raréfaction dans les suites b-multiplicatives

On étudie une sous-classe des suites b-multiplicatives rarefiées avec un pas de raréfaction p premier, et on trouve une structure asymptotique avec un exposant alphain]0,1[ et une fonction de raréfaction continue périodique. Cette structure vaut pour les suites qui contiennent des nombres complexes du disque unité (section 1.1), et aussi pour des systèmes de numération avec b chiffres successifs positifs et négatifs (section 1.2). Ce formalisme est analogue à celui décrit (pour le cas particuler de la suite de Thue-Morse) par Gelfond; Dekking; Goldstein, Kelly, Speer; Grabner; Drmota, Skalba et autres. Dans la deuxième partie, largement indépendante, on étudie la raréfaction dans les suites composées de -1,0 et +1. On se restreint davantage au cas où b engendre le groupe multiplicatif modulo p. Cette hypothèse est conjecturée (Artin) d'être vraie pour une infinité de nombres premiers. Les constantes qui apparaissent s'expriment alors comme polynômes symétriques des P(zeta^j) où P est un polynôme à coefficients entiers, zeta est une racine primitive p-ième de l'unité, $j$ parcourt les entiers de 1 à p-1 (ce lien est explicité dans la section 1.3). On définit une méthode pour étudier les valeurs de ces polynômes symétriques, basée sur la combinatoire, notamment sur le problème de comptage des solutions des congruences et des systèmes linéaires modulo p avec deux conditions supplémentaires: les résidus modulo p utilisés doivent être non nuls et différents deux à deux. L'importance est donnée à la différence entre les nombres de soluions de deux congruences qui ne diffèrent que du terme sans variable. Le cas des congruences de la forme $x_1+x_2+...+x_n=i mod p$ équivaut à un résultat connu. Le mémoire (section 2.2) lui donne une nouvelle preuve qui en fait une application originale de la formule d'inversion de Möbius dans le p.o.set des partitions d'un ensemble fini. Si au moins deux coefficients distincts sont présents, on peut classer les réponses associées à toutes les congruences possibles qui ont un ensemble fixe de coefficients (de taille d), dans un tableau qu'on va appeler un "simplexe de Pascal fini". Ce tableau est une fonction delta:N^d->Z restreinte aux points de somme des coordonnées inférieure à p (un simplexe), avec deux propriétés: l'équation récursive de Pascal y est vérifiée partout sauf les points où la somme des coefficients est multiple de p (qui seront appelés les "sources" et forment un sous-réseau de l'ensemble des points entiers), et les valeurs en-dehors du simplexe induites par l'équation sont nulles (c'est démontré, en réutilisant la méthode précédente, dans la section 2.3 et en partie 2.4). On décrit un algorithme (section 2.4) qui consiste en applications successives de l'équation dans un ordre précis, qui permet de trouver l'unique fonction delta qui vérifie les deux conditions. On applique ces résultats aux suites b-multiplicatives (dans la section 2.5). On montre aussi que le nombre de sources ne dépend que de la dimension du simplexe d et de la longueur de son côté p. On formule la conjecture (partie 2.6) qu'il serait le plus petit possible parmi les tableaux de forme d'un simplexe de la dimention fixe et taille fixe qui vérifient les mêmes conditions. On montre un premier résultat sur les systèmes de deux congruences linéaires (section 2.5.4), et on montre (section 1.4) un lien avec une méthode de Drmota et Skalba pour prouver l'absence de phénomène de Newman (dans un sens précis), décrit initialement pour la suite de Thue-Morse et tout p tel que b engendre le groupe multiplicatif modulo p, et généralisé (section 1.4) à la suite (-1)^{nombre de chiffres 2 dans l'écriture en base 3 de n} appelée "++-". Cette problématique est riche en problèmes d'algorithmique et de programmation. Différentes sections du mémoire sont illustrées dans l'Annexe. La plupart de ces figures sont inédites.The primary object of study is a subclass of b-multiplicative sequences, p-rarefied which means that the subsequence of terms of index multiple of a prime number p is taken. The sums of their initial terms have an asymptotic structure described by an exponent alphain]0,1[ and a contnous periodic "rarefaction function". This structure is valid for sequences with complex values in the unit disc, in both cases of the usual numerating system (section 1.1) and one with b successive digits among which there are positive and negative (section 1.2). This formalism is analogous to the formalism for the Thue-Morse sequence in texts by Gelfond; Dekking; Goldstein, Kelly, Speer; Grabner; Drmota, Skalba and others. The second, largely independent, part concerns rarefaction in sequences with terms in -1,0 or 1. Most results concern the case where b is a generator of the multiplicative group modulo p. This condition has been conjectured to be valid for infinity of primes, by Artin. The constants which are important, can be written as symmetric polynomials of P(zeta^j) where zeta is a primitive p-th root of unity, P is a polynomial with integer coefficients and j runs through the numbers from 1 to p-1 (section 1.3). The text describes a combinatorics-based method to study the values of these symmetric polynomials, where the combinatorial problem is as follows. Count the solutions of a linear congruence or a system modulo p, which satisfy a condition: the values of variables must be different from each other and from zero. Importance is attached to the difference between the numbers of solutions of two congruences that differ only in the free term. For the congruences of the form $x_1+x_2+...+x_n=i mod p$ this problem reduces to a well-known result. The text (section 2.2) gives an original proof of it, using the Möbius inversion formula in the p.o.set of partitions of a finite set. If at least two distinct coefficients are present, we can fix a set of coefficients (of size d) and put the answers corresponding to all possible linear congruences into an array that will be called "finite Pascal's triangle". It is a function delta:N^d->Z restricted to inputs with the sum of coordinates smaler than p (a simplex), and it has two properties. A recursive equation similar to the equation of Pascal holds everywhere except the points where the sum of coefficients is a multiple of p (a sublattice of Z^d the points of which are called "sources"); the values induced by this equation beyond the simplex are zeroes (section 2.3 and part of 2.4). An algorithm that finds the unique function delta satisfying these condiditions is described (section 2.4). It consists in successive applications of the equation in a precise order. These results are then applied to the b-multiplicative sequences (section 2.5). We also prove that the number of sources depends only on the dimention d and the size p of the simplex. We conjecture (section 2.6) that this number is the smallest possible for all numerical arrays of the same dimention and size that satisfy the same conditions. A first result about the systems of two linear congruences is proved (section 2.5.4). It is shown how these systems are related to a method by Drmota and Skalba of proving the absence of Newman's phenomenon (in a precise sence) initially described for the Thue-Morse sequence and for a prime p such that 2 is a generator of the multiplicative group modulo p, then extended to the sequence (-1)^{number of digits 2 in the ternary extension of n} called "++-". These questions generate many algorithmic and programming problems. Several sections link to illustration situated in the Annexe. Most of these figures are published for the first time.SAVOIE-SCD - Bib.électronique (730659901) / SudocGRENOBLE1/INP-Bib.électronique (384210012) / SudocGRENOBLE2/3-Bib.électronique (384219901) / SudocSudocFranceF

Méthodes des moments pour l'inférence de systèmes séquentiels linéaires rationnels

Learning stochastic models generating sequences has many applications in natural language processing, speech recognitions or bioinformatics. Multiplicity Automata (MA) are graphical latent variable models that encompass a wide variety of linear systems. In particular, they can model stochastic languages, stochastic processes and controlled processes. Traditional learning algorithms such as the one of Baum-Welch are iterative, slow and may converge to local optima. A recent alternative is to use the Method of Moments (MoM) to design consistent and fast algorithms with pseudo-PAC guarantees.However, MoM-based algorithms have two main disadvantages. First, the PAC guarantees hold only if the size of the learned model corresponds to the size of the target model. Second, although these algorithms learn a function close to the target distribution, most do not ensure it will be a distribution. Thus, a model learned from a finite number of examples may return negative values or values that do not sum to one.This thesis addresses both problems. First, we extend the theoretical guarantees for compressed models, and propose a regularized spectral algorithm that adjusts the size of the model to the data. Then, an application in electronic warfare is proposed to sequence of the dwells of a superheterodyne receiver. Finally, we design new learning algorithms based on the MoM that do not suffer the problem of negative probabilities. We show for one of them pseudo-PAC guarantees.L’apprentissage de modèles stochastiques générant des séquences a de nombreuses applications comme en traitement de la parole, du langage ou bien encore en bio-informatique. Les Automates à Multiplicité (MA) sont des modèles graphiques à variables latentes qui englobent une grande variété de systèmes linéaires pouvant représenter entre autres des langues stochastiques, des processus stochastiques ainsi que des processus contrôlés. Les algorithmes traditionnels d’apprentissage comme celui de Baum-Welch sont itératifs, lent et peuvent converger vers des optima locaux. Une alternative récente consiste à utiliser la méthode des moments (MoM) pour concevoir des algorithmes rapides et consistent avec des garanties pseudo-PAC.Cependant, les algorithmes basés sur la MoM ont deux inconvénients principaux. Tout d'abord, les garanties PAC ne sont valides que si la dimension du modèle appris correspond à la dimension du modèle cible. Deuxièmement, bien que les algorithmes basés sur la MoM apprennent une fonction proche de la distribution cible, la plupart ne contraignent pas celle-ci à être une distribution. Ainsi, un modèle appris à partir d’un nombre fini d’exemples peut renvoyer des valeurs négatives et qui ne somment pas à un.Ainsi, cette thèse s’adresse à ces deux problèmes en proposant 1) un élargissement des garanties théoriques pour les modèles compressés et 2) de nouveaux algorithmes d’apprentissage ne souffrant pas du problème des probabilités négatives et dont certains bénéficient de garanties PAC. Une application en guerre électronique est aussi proposée pour le séquencement des écoutes du récepteur superhétéordyne

Questions d'euclidianité

Nous étudions l'euclidianité des corps de nombres pour la norme et quelques unes de ses généralisations. Nous donnons en particulier un algorithme qui calcule le minimum euclidien d'un corps de nombres de signature quelconque. Cela nous permet de prouver que de nombreux corps sont euclidiens ou non pour la norme. Ensuite, nous appliquons cet algorithme à l'étude des classes euclidiennes pour la norme, ce qui permet d'obtenir de nouveaux exemples de corps de nombres avec une classe euclidienne non principale. Par ailleurs, nous déterminons tous les corps cubiques purs avec une classe euclidienne pour la norme. Enfin, nous nous intéressons aux corps de quaternions euclidiens. Après avoir énoncé les propriétés de base, nous étudions quelques cas particuliers. Nous donnons notamment la liste complète des corps de quaternions euclidiens et totalement définis sur un corps de nombres de degré au plus deux.We study norm-Euclideanity of number fields and some of its generalizations. In particular, we provide an algorithm to compute the Euclidean minimum of a number field of any signature. This allows us to study the norm-Euclideanity of many number fields. Then, we extend this algorithm to deal with norm-Euclidean classes and we obtain new examples of number fields with a non-principal norm-Euclidean class. Besides, we describe the complete list of pure cubic number fields admitting a norm-Euclidean class. Finally, we study the Euclidean property in quaternion fields. First, we establish its basic properties, then we study some examples. We provide the complete list of Euclidean quaternion fields, which are totally definite over a number field with degree at most two.BORDEAUX1-Bib.electronique (335229901) / SudocSudocFranceF

Analyse matricielle: version provisoire

Maste

Sur la hauteur de tores plats

In this thesis we consider the Epstein zeta function of Euclidean lattices, in order to study the problem of the minima of the height of the flat torus associated to a lattice. The height is defined as the first derivative at the point s = 0 of the spectral zeta function of the torus ; this function coincides, up to a factor, with the Epstein zeta function of the dual lattice of the given lattice. We describe a sufficient condition for a given lattice to be a stationary point of the height. In particular, by means of the theory of spherical designs, we show that a lattice which has a spherical 2-design on every shell is a stationary point of the height. We give an algorithm to check whether a given lattice satisfies this 2-design condition or not, and we give some tables of results in dimension up to 7. Then, we show that a lattice which realises a local minimum of the height is necessarily irreducible. Finally, we deal with some tori defined over the imaginary quadratic number fields, and we show a formula which gives their height as a limit of a sequence of heights of discrete complex tori.Nous considérons la fonction zêta d’Epstein des réseaux euclidiens pour étudier le problème des minima de la hauteur du tore plat associé à un réseau. La hauteur est définie comme la dérivée au point s = 0 de la fonction zêta spectrale du tore, fonction qui coïncide, à un facteur près, avec la fonction zêta d’Epstein du réseau dual du réseau donné. Nous donnons dans cette dissertation une condition suffisante pour qu’un réseau donné soit un point critique de la hauteur. En particulier, en utilisant la théorie des designs sphériques, nous montrons qu’un réseau qui a des 2-designs sphériques sur toutes ses couches est un point critique de la hauteur. Nous donnons un algorithme pour tester si un réseau donné satisfait cette condition de 2-designs, et nous donnons des tables de résultats en dimension jusqu’à 7. Ensuite, nous montrons qu’un réseau qui réalise un minimum local de la hauteur est nécessairement irréductible. Enfin, nous nous intéressons à certains tores définis sur les corps de nombres quadratiques imaginaires, et nous prouvons une formule qui donne leur hauteur comme limite d’une suite de hauteurs de tores complexes discrets

Invertibilité restreinte, distance au cube et covariance de matrices aléatoires

Dans cette thèse, on aborde trois thèmes : problème de sélection de colonnes dans une matrice, distance de Banach-Mazur au cube et estimation de la covariance de matrices aléatoires. Bien que les trois thèmes paraissent éloignés, les techniques utilisées se ressemblent tout au long de la thèse. Dans un premier lieu, nous généralisons le principe d'invertibilité restreinte de Bourgain-Tzafriri. Ce résultat permet d'extraire un "grand" bloc de colonnes linéairement indépendantes dans une matrice et d'estimer la plus petite valeur singulière de la matrice extraite. Nous proposons ensuite un algorithme déterministe pour extraire d'une matrice un bloc presque isométrique c est à dire une sous-matrice dont les valeurs singulières sont proches de 1. Ce résultat nous permet de retrouver le meilleur résultat connu sur la célèbre conjecture de Kadison-Singer. Des applications à la théorie locale des espaces de Banach ainsi qu'à l'analyse harmonique sont déduites. Nous donnons une estimation de la distance de Banach-Mazur d'un corps convexe de Rn au cube de dimension n. Nous proposons une démarche plus élémentaire, basée sur le principe d'invertibilité restreinte, pour améliorer et simplifier les résultats précédents concernant ce problème. Plusieurs travaux ont été consacrés pour approcher la matrice de covariance d'un vecteur aléatoire par la matrice de covariance empirique. Nous étendons ce problème à un cadre matriciel et on répond à la question. Notre résultat peut être interprété comme une quantification de la loi des grands nombres pour des matrices aléatoires symétriques semi-définies positives. L'estimation obtenue s'applique à une large classe de matrices aléatoiresIn this thesis, we address three themes : columns subset selection in a matrix, the Banach-Mazur distance to the cube and the estimation of the covariance of random matrices. Although the three themes seem distant, the techniques used are similar throughout the thesis. In the first place, we generalize the restricted invertibility principle of Bougain-Tzafriri. This result allows us to extract a "large" block of linearly independent columns inside a matrix and estimate the smallest singular value of the restricted matrix. We also propose a deterministic algorithm in order to extract an almost isometric block inside a matrix i.e a submatrix whose singular values are close to 1. This result allows us to recover the best known result on the Kadison-Singer conjecture. Applications to the local theory of Banach spaces as well as to harmonic analysis are deduced. We give an estimate of the Banach-Mazur distance between a symmetric convex body in Rn and the cube of dimension n. We propose an elementary approach, based on the restricted invertibility principle, in order to improve and simplify the previous results dealing with this problem. Several studies have been devoted to approximate the covariance matrix of a random vector by its sample covariance matrix. We extend this problem to a matrix setting and we answer the question. Our result can be interpreted as a quantified law of large numbers for positive semidefinite random matrices. The estimate we obtain, applies to a large class of random matricesPARIS-EST-Université (770839901) / SudocSudocFranceF

Modèles de prédiction couleur appliqués à l'impression jet d'encre

In order to guarantee good colour reproduction, modern printers use very large calibration tables based on the measurement of large sample sets. In this thesis, we aim at establishing an accurate colour prediction model which is able to compute the spectra of theses samples without printing and measuring them. Knowing the halftoning algorithm and the physical properties of the inks and the paper, our model can predict the spectra of printed samples. It was applied to ink-jet printers. We set up a new mathematical formulation which expresses the problem in a more general framework that simplifies calculations and reasoning. Our model combines various phenomena which were treated separately until now. Furthermore, several particular cases lead to classical solutions known in the literature. The new mathematical framework simplifies the study of media composed of superposed uniform layers. We show that the classical Kubelka-Munk problem is solved by computing the exponential of a matrix, and that the case of stratified media with varying absorption and scattering coefficients is addressed using the perturbation method. A refractive surface crossing matrix modelizes multiple internal reflections caused by a change of the refractive index. The Saunderson correction formula can easily be derived from this matrix. Our formulation allows also to handle fluorescence and predicts the spectra of fluorescent inks applied on transparency or on paper. We demonstrate that the mixing of the inks and the sequence in which light passes through the layers have an important influence on the resulting spectrum. Considering halftoned samples, we have generalized Neugebauer's 7-primaries model in order to take an infinite number of primaries into account. This allowed us to split the prediction problem into a geometric aspect and a spectral aspect. The geometrical part is addressed by the use of a large pixel grid on which the ink impacts are simulated, and the spectral part results from the study of superposed uniform layers. In this framework, light scattering is expressed in a probabilistic way and concerns only the geometrical aspect. Using the pixel grid, the computer determines the probability for a photon entering the printed medium through a given ink combination to emerge through another ink combination. If light is scattered only over short distances the algebraic calculation leads to the Murray-Davis equation, and if light is scattered over long distances the calculation leads to the Clapper-Yule relation. The accuracy of our predictions is as good as that of existing models, but our new approach is better due to its generalized framework, its physical base and the elegance of its mathematical formulation