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Probing non-orthogonality of eigenvectors in non-Hermitian matrix models: diagrammatic approach
Using large arguments, we propose a scheme for calculating the two-point
eigenvector correlation function for non-normal random matrices in the large
limit. The setting generalizes the quaternionic extension of free
probability to two-point functions. In the particular case of biunitarily
invariant random matrices, we obtain a simple, general expression for the
two-point eigenvector correlation function, which can be viewed as a further
generalization of the single ring theorem. This construction has some striking
similarities to the freeness of the second kind known for the Hermitian
ensembles in large . On the basis of several solved examples, we conjecture
two kinds of microscopic universality of the eigenvectors - one in the bulk,
and one at the rim. The form of the conjectured bulk universality agrees with
the scaling limit found by Chalker and Mehlig [JT Chalker, B Mehlig, PRL,
\textbf{81}, 3367 (1998)] in the case of the complex Ginibre ensemble.Comment: 20 pages + 4 pages of references, 12 figs; v2: typos corrected, refs
added; v3: more explanator
Complete diagrammatics of the single ring theorem
Using diagrammatic techniques, we provide explicit functional relations
between the cumulant generating functions for the biunitarily invariant
ensembles in the limit of large size of matrices. The formalism allows to map
two distinct areas of free random variables: Hermitian positive definite
operators and non-normal R-diagonal operators. We also rederive the
Haagerup-Larsen theorem and show how its recent extension to the eigenvector
correlation function appears naturally within this approach.Comment: 18 pages, 6 figures, version accepted for publicatio
Algèbres hypercomplexes pour le Calcul
Dans les domaines mathématique ou applicatif, la multiplication de nombres possède un rôle clef pour le Calcul. En Science et en Ingénierie, la nonlinéarité offre de grands défis de modélisation mais aussi de résolution. Notre approche vise, via la multiplication, l'étude de certains phénomènes non linéaires que l'on retrouve fréquemment dans le domaine de la Science et de l'Industrie. Pour cela, nous étudions dans cette thèse la multiplication de nombres multidimensionnels, associée à des structures algébriques en dimension finie appelées algèbres hypercomplexes. Nous utilisons la multiplication comme lien entre les divisions apparentes des différents domaines théorique et pratique que nous abordons par une approche transdisciplinaire. Nous effectuons une analyse comparative entre les algèbres hypercomplexes et les principaux outils de Calcul, approche qui n’est pas développée dans la littérature existante. Nous présentons une synthèse des applications existantes (par ex. robotique, modélisation 3D, électromagnétisme) et des principaux avantages des algèbres hypercomplexes, pour la Science et l’Ingénierie. A partir des conséquences de l’utilisation des structures alternatives (autres que réelles ou complexes), nous proposons une extension nouvelle de la théorie spectrale présentée sous le nom de couplage spectral. Grâce aux algèbres hypercomplexes et à la théorie du couplage spectral, nous présentons des applications inédites à la mécanique et à la chimie ainsi que des perspectives pour le domaine du calcul quantique. Pour les domaines d’applications présentés, existants ou inédits, nous étudions les aspects de modélisation théorique et aussi d’analyse numérique. Nous montrons que suivant les cas d'étude, les aspects numériques avantageux découlent d'un choix judicieux des modèles et des algèbres hypercomplexes associées. Ces avantages sont principalement dus à la manière de définir la multiplication dans les algèbres concernées. Dans les domaines applicatifs abordés, une grande partie des modèles théoriques et numériques repose actuellement sur l’utilisation des nombres réels ou complexes ainsi que sur l’algèbre linéaire. Nous montrons dans cette thèse que les algèbres hypercomplexes sont complémentaires des outils algébriques actuellement utilisés et possèdent un vaste potentiel théorique et pratique, grandement sous-exploité pour le Calcul
An Introduction to Topological Insulators
Electronic bands in crystals are described by an ensemble of Bloch wave
functions indexed by momenta defined in the first Brillouin Zone, and their
associated energies. In an insulator, an energy gap around the chemical
potential separates valence bands from conduction bands. The ensemble of
valence bands is then a well defined object, which can possess non-trivial or
twisted topological properties. In the case of a twisted topology, the
insulator is called a topological insulator. We introduce this notion of
topological order in insulators as an obstruction to define the Bloch wave
functions over the whole Brillouin Zone using a single phase convention.
Several simple historical models displaying a topological order in dimension
two are considered. Various expressions of the corresponding topological index
are finally discussed.Comment: 46 pages, 29 figures. This papers aims to be a pedagogical review on
topological insulators. It was written for the topical issue of "Comptes
Rendus de l'Acad\'emie des Sciences - Physique" devoted to topological
insulators and Dirac matte
Applied Mathematics and Computational Physics
As faster and more efficient numerical algorithms become available, the understanding of the physics and the mathematical foundation behind these new methods will play an increasingly important role. This Special Issue provides a platform for researchers from both academia and industry to present their novel computational methods that have engineering and physics applications
Closed forms and multi-moment maps
We extend the notion of multi-moment map to geometries defined by closed
forms of arbitrary degree. We give fundamental existence and uniqueness results
and discuss a number of essential examples, including geometries related to
special holonomy. For forms of degree four, multi-moment maps are guaranteed to
exist and are unique when the symmetry group is (3,4)-trivial, meaning that the
group is connected and the third and fourth Lie algebra Betti numbers vanish.
We give a structural description of some classes of (3,4)-trivial algebras and
provide a number of examples.Comment: 36 page
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