On some generalizations of Shamir’s secret sharing scheme

A Lai-Ding's secret sharing scheme Sigma^{LD}_q(c, i) defined by parameters c = (c_0, ..., c_{k-1}), i and q is a modification of a Shamir's k-threshold scheme in which the share given to a participant x in F_q is computed as the value of P(x) = sum_{j = 0}^{k-1} a_j x^{c_j}, where a_j are confidential while c_j are publicly known, and a_i is the value of the secret. Following the prior research of Spież, Urbanowicz et al., we study access structures realized by such schemes, as well as the behaviour of their admissible sets, where a set of participants is called admissible if the scheme restricted to it is k-threshold.Our main efforts focus on providing asymptotic estimates for the number of admissible (or non-admissible) sets of a given size n in a Lai-Ding's scheme Sigma^{LD}_q(c, i); in these estimates, q is the variable and c, i n are parameters (which may influence the asymptotic constants). Generalizing prior results for the case c = (0, 1, ..., k-1), we show in general that the number of admissible sets of size n is Theta(q^n). As for non-admissible sets, we show that, for fixed c and i, the number of such sets of size k - 1 may be 0 for all q, Theta(q^{k-2}) for all q, or may periodically switch between those two patterns. Moreover, in many cases, we provide computationally tractable lower bounds for q (and for the characteristic of F_q) for which those sets must exist. This takes place in particular when c is an arithmetic progression, or when \hat{c}_i (i.e. c with c_i removed) has the property that every two its consecutive increments are coprime.As an internal step in the above considerations (required by our need to use Weil's theorem), we investigate absolute irreducibility of the classical Schur polynomials over finite fields. Using the arguments of Monge and Rajan, and (partially) translating the latter from C to finite fields, we obtain a new result on irreducibility of a large class of such polynomials. Moreover, by implementing another novel method based on Newton polytopes, we generalize our irreducibility criterion to a large class of perturbations of Schur polynomials.Finally, we make several preliminary observations on Lai-Ding's access structures. First, we show that they are almost as general as in Brickell's schemes; however, our construction of an appropriate Lai-Ding's scheme leads to significantly complex results. Then, we analyze the cases when c or \hat{c}_i are arithmetic. While the former case essentially reduces to Shamir's type schemes, the latter exhibits new examples of access structures, including certain graphic structures; we provide a characterization of graphs which can appear in this context.Schematem Lai-Dinga współdzielenia sekretu (oznaczenie: Sigma^{LD}_q(c, i)) dla parametrów c = (c_0, ..., c_{k-1}), i, q nazywamy modyfikację k-progowego schematu Shamira, w której udziałem uczestnika x w F_q jest wartość wielomianu P(x) = \sum_{j = 0}^{k-1} a_j x^{c_j}, przy czym współczynniki a_j są tajne, zaś wykładniki c_j jawne, zaś wartością sekretu jest współczynnik a_i. Kontynuując wcześniejsze badania Spieża, Urbanowicza i in., badamy struktury dostępu realizowane przez takie schematy, a także zachowanie tzw. zbiorów progowych, gdzie zbiór uczestników nazywamy progowym, jeśli schemat po obcięciu do niego staje się k-progowy.Jednym z naszych ważniejszych celów jest podanie asymptotycznych oszacowań liczby zbiorów progowych (bądź nie-progowych) o danej wielkości n w schemacie Lai-Dinga Sigma^{LD}_q(\mathbf{c}, i), przy czym w oszacowaniach tych rolę zmiennej pełni q, zaś c, i, n są parametrami (mogącymi wpływać na stałe w notacji asymptotycznej). Uogólniając wcześniejsze wyniki dla c = (0, 1, ..., k-1, wykazujemy w ogólności, że liczba zbiorów progowych wynosi Theta(q^n). Odnośnie zbiorów nie-progowych, wykazujemy, że dla ustalonych c oraz i liczba takich zbiorów o wielkości k - 1 może wynosić 0 dla wszystkich q, Theta(q^{k-2}) dla wszystkich q, lub w sposób okresowy przełączać się pomiędzy tymi dwoma wzorcami. Ponadto dla wielu przypadków podajemy rozsądne z obliczeniowego punktu widzenia ograniczenia dolne na q (a także na charakterystykę ciała F_q), powyżej których takie zbiory muszą istnieć. Ma to miejsce w szczególności gdy ciąg c jest arytmetyczny, lub gdy w ciągu \hat{c}_i (powstającym z c przez usunięcie c_i) każde dwa kolejne przyrosty są względnie pierwsze.W ramach powyższego rozumowania (na potrzeby wykorzystywanego w nim twierdzenia Weila) badamy absolutną nierozkładalność klasycznych wielomianów Schura nad ciałami skończonymi. Wykorzystując rozumowania Mongego i Rajana i przenosząc (częściowo) metody Rajana z C nad ciała skończone, otrzymujemy nowy wynik dotyczący nierozkładalności dużej klasy wielomianów Schura. Co więcej, wykorzystując inną, nową metodę, opartą na wielościanach Newtona, uogólniamy powyższe kryterium nierozkładalności na szeroką klasę zaburzeń wielomianów Schura.W ostatnim rozdziale pracy gromadzimy kilka spostrzeżeń dotyczących struktur dostępu w schematach Lai-Dinga. Najpierw wykazujemy, że są one niemal równie ogólne jak w schematach Brickella, choć nasza konstrukcja odpowiedniego schematu Lai-Dinga ma znaczny stopień złożoności. Następnie analizujemy przypadki, gdy ciąg c lub \hat{c}_i jest arytmetyczny. O ile pierwszy z nich zasadniczo sprowadza się do schematów typu Shamira, o tyle w drugim można znaleźć nowe przykłady struktur dostępowych, w tym niektóre struktury grafowe; podajemy charakteryzację grafów uzyskiwalnych w powyższy sposób