Forward Analysis and Model Checking for Trace Bounded WSTS

We investigate a subclass of well-structured transition systems (WSTS), the bounded---in the sense of Ginsburg and Spanier (Trans. AMS 1964)---complete deterministic ones, which we claim provide an adequate basis for the study of forward analyses as developed by Finkel and Goubault-Larrecq (Logic. Meth. Comput. Sci. 2012). Indeed, we prove that, unlike other conditions considered previously for the termination of forward analysis, boundedness is decidable. Boundedness turns out to be a valuable restriction for WSTS verification, as we show that it further allows to decide all $\omega$-regular properties on the set of infinite traces of the system

Minimally Constrained Stable Switched Systems and Application to Co-simulation

We propose an algorithm to restrict the switching signals of a constrained switched system in order to guarantee its stability, while at the same time attempting to keep the largest possible set of allowed switching signals. Our work is motivated by applications to (co-)simulation, where numerical stability is a hard constraint, but should be attained by restricting as little as possible the allowed behaviours of the simulators. We apply our results to certify the stability of an adaptive co-simulation orchestration algorithm, which selects the optimal switching signal at run-time, as a function of (varying) performance and accuracy requirements.Comment: Technical report complementing the following conference publication: Gomes, Cl\'audio, Beno\^it Legat, Rapha\"el Jungers, and Hans Vangheluwe. "Minimally Constrained Stable Switched Systems and Application to Co-Simulation." In IEEE Conference on Decision and Control. Miami Beach, FL, USA, 201

Tree-Structured Problems and Parallel Computation

Turing-Maschinen sind das klassische Beschreibungsmittel für Wortsprachen und werden daher auch benützt, um Komplexitätsklassen zu definieren. Dies geschieht zum Beispiel durch das Einschränken des Platz- oder Zeitaufwandes der Berechnung zur Lösung eines Problems. Für sehr niedrige Komplexität wie etwa sublineare Laufzeit, werden Schaltkreise verwendet. Schaltkreise können auf natürliche Art Komplexitäten wie etwa logarithmische Laufzeit modellieren. Ebenso können sie als eine Art paralleles Rechenmodell gesehen werden. Eine wichtige parallele Komplexitätsklasse ist NC1. Sie wird beschrieben durch Boolesche Schaltkreise logarithmischer Tiefe und beschränktem Eingangsgrad der Gatter. Eine initiale Beobachtung, die die vorliegende Arbeit motiviert, ist, dass viele schwere Probleme in NC1 eine ähnliche Struktur haben und auf ähnliche Art und Weise gelöst werden. Das Auswertungsproblem für Boolesche Formeln ist eines der repräsentativsten Probleme aus dieser Klasse: Gegeben ist hier eine aussagenlogische Formel samt Belegung für die Variablen; gefragt ist, ob sie zu wahr oder zu falsch auswertet. Dieses Problem wird in NC1 gelöst durch den Algorithmus von Buss. Auf ähnliche Art können arithmetische Formeln in #NC1 ausgewertet oder das Wortproblem für Visibly-Pushdown-Sprachen gelöst werden. Zu besagter Klasse an Problemen gehört auch Courcelles Theorem, welches Berechnungen in Baumautomaten involviert. Zu bemerken ist, dass alle angesprochenen Probleme gemeinsam haben, dass sie aus Instanzen bestehen, die baumartig sind. Formeln sind Bäume, Visibly-Pushdown-Sprachen enthalten als Wörter kodierte Bäume und Courcelles Theorem betrachtet Graphen mit beschränkter Baumweite, d.h. Graphen, die sich als Baum darstellen lassen. Insbesondere Letzteres ist ein Schema, das häufiger auftritt. Zum Beispiel gibt es NP-vollständige Graphprobleme wie das Finden von Hamilton-Kreisen, welches unter beschränkter Baumweite in P fällt. Neuere Analysen konnten diese Schranke weiter zu SAC1 verbessern, was eine parallele Komplexitätsklasse ist. Die angesprochenen Probleme kommen aus unterschiedlichen Bereichen und haben individuelle Lösungen. Hauptthese dieser Arbeit ist, dass sich diese Vielfalt vereinheitlichen lässt. Es wird ein generisches Lösungskonzept vorgestellt, welches darauf beruht, dass sich die Probleme auf ein Termevaluierungsproblem reduzieren lassen. Kernstück ist daher ein Termevaluierungsalgorithmus, der unabhängig von der Algebra, über welche der Term evaluiert werden soll, ist. Resultat ist, dass eine Vielzahl, darunter die oben angesprochenen Probleme, sich auf analoge Art lösen lassen, und dass sich ebenso leicht neue Resultate zeigen lassen. Diese Menge an Resultaten hätte sich ohne den vereinheitlichten Lösungsansatz nicht innerhalb des Rahmens einer Arbeit wie der vorliegenden zeigen lassen. Der entwickelte Lösungsansatz führt stets zu Schaltkreisfamilien polylogarithmischer Tiefe. Es wird jedoch auch die Frage behandelt, wie mächtig Schaltkreisfamilien konstanter Tiefe noch bezüglich Termevaluierung sind. Die Klasse AC0 ist hierfür ein natürlicher Kandidat; sie entspricht der Menge der Sprachen, die durch Logik erster Ordung beschreibbar sind. Um dieses Problem anzugehen, wird zunächst das Termevaluierungsproblem über endlichen Algebren betrachtet. Dieses wiederum lässt sich in das Wortproblem von Visibly-Pushdown-Sprachen einbetten. Daher handelt dieser Teil der Arbeit vornehmlich von der Beschreibbarkeit von Visibly-Pushdown-Sprachen in Logik erster Ordnung. Hierbei treten ungelöste Probleme zu Tage, welche ein Indiz dafür sind, wie schlecht die Komplexität konstanter Tiefe bisher noch verstanden ist, und das, trotz des Resultats von Furst, Saxe und Sipser, bzw. Håstads. Die bis jetzt beschrieben Inhalte sind Teil einer kontinuierlichen Entwicklung. Es gibt jedoch ein Thema in dieser Arbeit, das orthogonal dazu ist: Automaten und im speziellen Cost-Register-Automaten. Zum einen sind, wie oben angedeutet, Automaten Beispiele für Anwendungen des hier entwickelten generischen Lösungsansatzes. Zum anderen können sie selbst zur Beschreibung von Termevaluierungsproblemen dienen; so können Visibly-Pushdown-Automaten Termevaluierung über endlichen Algebren ausführen. Um über endliche Algebren hinauszugehen, benötigen die Automaten mehr Speicher. Visibly-Pushdown-Automaten haben einen Keller, der genau dafür geeignet ist, die Baumstruktur einer Eingabeformel zu verifizieren. Für nichtendliche Algebren eignet sich ein Modell, welches hier vorgestellt werden soll. Es kombiniert Visibly-Pushdown-Automaten mit Cost-Register-Automaten. Ein Cost-Register-Automat ist ein endlicher Automat, welcher mit zusätzlichen Registern ausgestattet ist. Die Register können Werte einer Algebra speichern und werden in jedem Schritt in Abhängigkeit des Eingabezeichens und des Zustandes aktualisiert. Dieser Einwegdatenfluss von Zuständen zu Registern sorgt dafür, dass dieses Modell nicht nur entscheidbar bleibt, sondern, in Abhängigkeit der Algebra, auch niedrige Komplexität hat. Das neue Modell der Cost-Register-Visibly-Pushdown-Automaten kann nun Terme evaluieren. Es werden grundlegende Eigenschaften gezeigt, einschließlich Komplexitätsaussagen

The Big-O Problem for Max-Plus Automata is Decidable (PSPACE-Complete)

We show that the big-O problem for max-plus automata is decidable and PSPACE-complete. The big-O (or affine domination) problem asks whether, given two max-plus automata computing functions f and g, there exists a constant c such that f < cg+ c. This is a relaxation of the containment problem asking whether f < g, which is undecidable. Our decidability result uses Simon's forest factorisation theorem, and relies on detecting specific elements, that we call witnesses, in a finite semigroup closed under two special operations: stabilisation and flattening

Joint Spectral Radius and Path-Complete Graph Lyapunov Functions

We introduce the framework of path-complete graph Lyapunov functions for approximation of the joint spectral radius. The approach is based on the analysis of the underlying switched system via inequalities imposed among multiple Lyapunov functions associated to a labeled directed graph. Inspired by concepts in automata theory and symbolic dynamics, we define a class of graphs called path-complete graphs, and show that any such graph gives rise to a method for proving stability of the switched system. This enables us to derive several asymptotically tight hierarchies of semidefinite programming relaxations that unify and generalize many existing techniques such as common quadratic, common sum of squares, and maximum/minimum-of-quadratics Lyapunov functions. We compare the quality of approximation obtained by certain classes of path-complete graphs including a family of dual graphs and all path-complete graphs with two nodes on an alphabet of two matrices. We provide approximation guarantees for several families of path-complete graphs, such as the De Bruijn graphs, establishing as a byproduct a constructive converse Lyapunov theorem for maximum/minimum-of-quadratics Lyapunov functions.Comment: To appear in SIAM Journal on Control and Optimization. Version 2 has gone through two major rounds of revision. In particular, a section on the performance of our algorithm on application-motivated problems has been added and a more comprehensive literature review is presente

Petri nets for systems and synthetic biology

We give a description of a Petri net-based framework for modelling and analysing biochemical pathways, which uni¯es the qualita- tive, stochastic and continuous paradigms. Each perspective adds its con- tribution to the understanding of the system, thus the three approaches do not compete, but complement each other. We illustrate our approach by applying it to an extended model of the three stage cascade, which forms the core of the ERK signal transduction pathway. Consequently our focus is on transient behaviour analysis. We demonstrate how quali- tative descriptions are abstractions over stochastic or continuous descrip- tions, and show that the stochastic and continuous models approximate each other. Although our framework is based on Petri nets, it can be applied more widely to other formalisms which are used to model and analyse biochemical networks

Entropy Games and Matrix Multiplication Games

Two intimately related new classes of games are introduced and studied: entropy games (EGs) and matrix multiplication games (MMGs). An EG is played on a finite arena by two-and-a-half players: Despot, Tribune and the non-deterministic People. Despot wants to make the set of possible People's behaviors as small as possible, while Tribune wants to make it as large as possible.An MMG is played by two players that alternately write matrices from some predefined finite sets. One wants to maximize the growth rate of the product, and the other to minimize it. We show that in general MMGs are undecidable in quite a strong sense.On the positive side, EGs correspond to a subclass of MMGs, and we prove that such MMGs and EGs are determined, and that the optimal strategies are simple. The complexity of solving such games is in NP\&coNP.Comment: Accepted to STACS 201