A Pretentious Approach to Estimating Character Sums

Vuonna 1837 Peter Dirichlet todisti suuren alkulukuja koskevan tuloksen, jonka mukaan jokainen aritmeettinen jono {an + d}_{n=1}^{∞}, missä (a ,d) = 1, sisältää äärettömn monta alkulukua. Todistuksessa hän määritteli ns. Dirichlet'n karakterit joille löydettiin myöhemmin paljon käyttöä lukuteoriassa. Dirichlet'n karakteri χ (mod q) on jaksollinen (jakson pituutena q), täysin multiplikatiivinen aritmeettinen funktio, jolla on seuraava ominaisuus: χ(n) = 0 kun (n ,q) > 1 ja χ(n) \neq 0 kun (n ,q) = 1. Tässä Pro Gradu-tutkielmassa tutkitaan karakterisumman \mathcal{S}_χ(t) = \sum_{n ≤ t} χ(n) kokoa, missä t on positiivinen reaaliluku ja χ (mod q) on ei-prinsipaali Dirichlet'n karakteri. Triviaalisti jaksollisuudesta seuraa, että |\mathcal{S}_χ(t)| ≤ min(t, q). Ensimmäinen epätriviaali arvio on vuodelta 1918, jolloin George Pólya ja Ivan Vinogradov todistivat, toisistaan riippumatta, että |\mathcal{S}_χ(t)| << \sqrt qlog q uniformisti t:n suhteen. Tämä tunnetaan Pólya--Vinogradovin epäyhtälönä. Olettamalla yleistetyn Riemannin hypoteesin, Hugh Montgomery ja Robert Vaughan todistivat, että |\mathcal{S}_χ(t)| << \sqrt qloglog q vuonna 1977. Vuonna 2005 Andrew Granville ja Kannan Soundararajan osoittivat, että jos χ (mod q) on paritonta rajoitettua kertalukua g oleva primitiivinen karakteri, niin |\mathcal{S}_χ(t)|<<_g \sqrt q(log Q)^{1-\frac{δ_g}{2}+o(1)}, missä δ_g on g:stä riippuva vakio ja Q on q tai (log q)^{12} riippuen siitä oletetaanko yleistetty Riemannin hypoteesi. Todistus perustui teknisiin aputuloksiin, jotka saatiin muotoiltua teeskentelevyys-käsitteen avulla. Granville ja Soundararajan määrittelivät kahden multiplikatiivisen funktion, joiden arvot ovat yksikkökiekossa, välisen etäisyyden kaavalla \mathbb{D}(f, g; x) = \sqrt{\sum_{p≤ x}\frac{1-\Re(f(p) \overline g(p))}{p}}, ja sanoivat, että f on g-teeskentelevä jos \mathbb{D}(f, g; ∞) on äärellinen. Tällä etäisyydellä on paljon hyödyllisiä ominaisuuksia, ja niihin perustuvia menetelmiä kutsutaan teeskentelevyys-menetelmiksi. Johdannon jälkeen luvussa 2 esitetään määritelmiä ja perustuloksia. Luvun 3 tarkoitus on johtaa luvussa 6 tarvittavia aputuloksia. Luvussa 4 määritellään teeskentelevyys, todistetaan etäisyysfunktion \mathbb{D}(f, g; x) ominaisuuksia ja esitetään joitakin sovelluksia. Luvussa 5 johdetaan jälleen teknisiä aputuloksia, jotka seuraavat Montgomery--Vaughanin arviosta. Luvussa 6 tarkastellaan karakterisummia. Aloitamme todistamalla Pólya—Vinogradovin epäyhtälön ja Montgomery-Vaughanin vahvennoksen tälle. Päätuloksena johdamme arvion (1), jossa \frac{1}{2}δ_g on korvattu vakiolla δ_g. Tämän todisti alunperin Leo Goldmakher. Lopuksi käytämme teeskentelevyys-menetelmiä osoittamaan, että Pólya—Vinogradovin epäyhtälöä voi vahventaa jos karaktereista tehdään erilaisia oletuksia

The micro-culture of a mathematics classroom : Artefacts and Activity in Meaning making and Problem solving

Doktorgradsavhandlin