Sparse Grid Methods for Higher Dimensional Approximation

Diese Arbeit befasst sich mit Dünngitterverfahren zur Lösung von höherdimensionalen Problemen. Sie zeigt drei neue Aspekte von Dünnen Gittern auf: Erweiterungen der elementaren Werkzeuge zur Arbeit mit Dünnen Gittern, eine Analyse von sowohl inhärenten Einschränkungen als auch Vorteilen von Dünnen Gittern speziell für die Anwendung zur Dichteapproximation (Fokker--Planck--Gleichung) sowie einen neuen Ansatz zur dimensions- und ortsadaptiven Darstellung von Funktionen effektiv niedriger Dimension. Der erste Beitrag beinhaltet die erste (dem Autor bekannte) Fehlerschranke für inhomogene Randbedingungen bei Dünngitterapproximation und eine erweiterte Operationsbibliothek zur Durchführung von Addition, Multiplikation und Hintereinanderausführung von Dünngitterdarstellungen sowie einen adaptiven Kollokationsansatz für approximative Integraltransformationen mit beliebigen Kernen. Die Analyse verwendet Konditionszahlen für den Datenfehler und verallgemeinert damit die bisher bekannten Abschätzungen aus der Literatur. Ferner wird erstmals auch der Konsistenzfehler bei derartigen Operationen berücksichtigt sowie eine adaptive Methode zur Kontrolle desselben vorgeschlagen, die insbesondere zuvor vorhandene Schwachstellen behebt und die Methode verlässlich macht. Der zweite Beitrag ist eine Untersuchung von dimensionsabhängigen Kosten/Nutzen-Koeffizienten, wie sie bei der Lösung von Fokker--Planck--Gleichungen und der damit verbundenen Approximation von Wahrscheinlichkeitsdichten auftreten. Es werden sowohl theoretische Schranken als auch A-posteriori-Fehlermessungen anhand einer repräsentativen Fallstudie für lineare Fokker--Planck--Gleichungen und der Normalverteilung auf Rd vorgestellt und die auftretenden dimensionsabhängigen Koeffizienten bei Interpolation und Bestapproximation (sowohl L2 als auch beim Lösen der Gleichung mittels Galerkin-Verfahren) untersucht. Dabei stehen reguläre Dünne Gitter, adaptive Dünne Gitter und die speziell für die Energienorm optimierten Dünnen Gitter im Vordergrund. Insbesondere werden Schlussfolgerungen auf inhärente Einschränkungen aber auch auf Vorteile gegenüber klassischen Vollgitterverfahren diskutiert. Der dritte Beitrag dieser Arbeit ist der erste Ansatz für dimensionsadaptive Verfeinerung, der insbesondere für Approximationsprobleme konzipiert wurde. Der Ansatz behebt bekannte Schwierigkeiten mit frühzeitiger Terminierung, wie sie bei bisherigen Ansätzen zur Verallgemeinerung der erfolgreichen Dimensionsadaptivität aus dem Bereich Dünngitterquadratur zu beobachten waren. Das Verfahren erlaubt eine systematische Reduktion der Freiheitsgrade für Funktionen, die effektiv nur von wenigen (Teilmengen von) Koordinaten abhängen. Der Ansatz kombiniert die erfolgreiche ortsadaptive Dünngittertechnik aus dem Bereich der Approximation mit der ebenfalls erfolgreichen dimensionsadaptiven Verfeinerung aus dem Bereich der Dünngitterquadratur. Die Abhängigkeit von unterschiedlichen (Teilmengen von) Koordinaten wird mittels gewichteter Räume unter Zuhilfenahme der ANOVA-Zerlegung durchgeführt. Die Arbeit stellt neue a priori optimierte Dünngitterräume vor, die optimale Approximation für Funktionenräume mit gewichteten gemischten zweiten Ableitungen und bekannten Gewichten erlauben. Die Konstruktion liefert die bekannten regulären Dünnen Gitter mit gewichtsabhängigen Leveln für jede Teilmenge von Koordinaten (ANOVA Komponenten). Für unbekannte Gewichte wird eine neue a-posteriori dimensionsadaptive Methode vorgestellt, die im Unterschied zu bekannten Verfahren explizit ANOVA Komponenten ermittelt und berücksichtigt und so höhere Verlässlichkeit beim Einsatz für Approximationsanwendungen erzielt. Neben reiner dimensionsadaptiver Approximation erlaubt das Verfahren auch erstmals gekoppelte orts- und dimensionsadaptive Verfeinerung. Die Arbeit stellt die Methodik dar und verifiziert die Verlässlichkeit anhand dimensionsadaptiver Interpolation und dimensionsadaptiver Lösung partieller Differentialgleichungen./td

The ANOVA decomposition and generalized sparse grid methods for the high-dimensional backward Kolmogorov equation

In this thesis, we discuss numerical methods for the solution of the high-dimensional backward Kolmogorov equation, which arises in the pricing of options on multi-dimensional jump-diffusion processes. First, we apply the ANOVA decomposition and approximate the high-dimensional problem by a sum of lower-dimensional ones, which we then discretize by a θ-scheme and generalized sparse grids in time and space, respectively. We solve the resultant systems of linear equations by iterative methods, which requires both preconditioning and fast matrix-vector multiplication algorithms. We make use of a Linear Program and an algebraic formula to compute optimal diagonal scaling parameters. Furthermore, we employ the OptiCom as non-linear preconditioner. We generalize the unidirectional principle to non-local operators and develop a new matrix-vector multiplication algorithm for the OptiCom. As application we focus on the Kou model. Using a new recurrence formula, the computational complexity of the operator application remains linear in the number of degrees of freedom. The combination of the above-mentioned methods allows us to efficiently approximate the solution of the backward Kolmogorov equation for a ten-dimensional Kou model.Die ANOVA-Zerlegung und verallgemeinerte dünne Gitter für die hochdimensionale Kolmogorov-Rückwärtsgleichung In der vorliegenden Arbeit betrachten wir numerische Verfahren zur Lösung der hochdimensionalen Kolmogorov-Rückwärtsgleichung, die beispielsweise bei der Bewertung von Optionen auf mehrdimensionalen Sprung-Diffusionsprozessen auftritt. Zuerst wenden wir eine ANOVA-Zerlegung an und approximieren das hochdimensionale Problem mit einer Summe von niederdimensionalen Problemen, die wir mit einem θ-Verfahren in der Zeit und mit verallgemeinerten dünnen Gittern im Ort diskretisieren. Wir lösen die entstehenden linearen Gleichungssysteme mit iterativen Verfahren, wofür eine Vorkonditionierung als auch schnelle Matrix-Vektor-Multiplikationsalgorithmen nötig sind. Wir entwickeln ein Lineares Programm und eine algebraische Formel, um optimale Diagonalskalierungen zu finden. Des Weiteren setzen wir die OptiCom als nicht-lineares Vorkonditionierungsverfahren ein. Wir verallgemeinern das unidirektionale Prinzip auf nicht-lokale Operatoren und entwickeln einen für die OptiCom optimierten Matrix-Vektor-Multiplikationsalgorithmus. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir das Kou-Modell. Mit einer neuen Rekurrenzformel bleibt die Gesamtkomplexität der Operatoranwendung linear in der Anzahl der Freiheitsgrade. Unter Einbeziehung aller genannten Methoden ist es nun möglich, die Lösung der Kolmogorov-Rückwärtsgleichung für ein zehndimensionales Kou-Modell effizient zu approximieren

Error analysis of regularized and unregularized least-squares regression on discretized function spaces

In this thesis, we analyze a variant of the least-squares regression method which operates on subsets of finite-dimensional vector spaces. In the first part, we focus on a regression problem which is constrained to a ball of finite radius in the search space. We derive an upper bound on the overall error by coupling the ball radius to the resolution of the search space. In the second part, the corresponding penalized Lagrangian dual problem is considered to establish probabilistic results on the well-posedness of the underlying minimization problem. Furthermore, we have a look at the limit case, where the penalty term vanishes and we improve on our error estimates from the first part for the special case of noiseless function reconstruction. Subsequently, our theoretical foundation is used to obtain novel convergence results for regression algorithms based on sparse grids with linear splines and Fourier polynomial spaces on hyperbolic crosses. We conclude the thesis by giving several numerical examples and comparing the observed error behavior to our theoretical results

Final report on the Copper Mountain conference on multigrid methods

The Copper Mountain Conference on Multigrid Methods was held on April 6-11, 1997. It took the same format used in the previous Copper Mountain Conferences on Multigrid Method conferences. Over 87 mathematicians from all over the world attended the meeting. 56 half-hour talks on current research topics were presented. Talks with similar content were organized into sessions. Session topics included: fluids; domain decomposition; iterative methods; basics; adaptive methods; non-linear filtering; CFD; applications; transport; algebraic solvers; supercomputing; and student paper winners