Feedback linearization-based vaccination control strategies for true-mass action type SEIR epidemic models

This paper presents a feedback linearization-based control strategy for a SEIR (susceptible plus infected plus infectious plus removed populations) propagation disease model. The model takes into account the total population amounts as a refrain for the illness transmission since its increase makes more difficult contacts among susceptible and infected. The control objective is novel in the sense that the asymptotically tracking of the removed-by-immunity population to the total population while achieving simultaneously the remaining population (i.e. susceptible plus infected plus infectious) to asymptotically converge to zero. The vaccination policy is firstly designed on the above proposed tracking objective. Then, it is proven that identical vaccination rules might be found based on a general feedback linearization technique. Such a formal technique is very useful in control theory which provides a general method to generate families of vaccination policies with sound technical background which include those proposed in the former sections of the paper. The output zero dynamics of the normal canonical form in the theoretical feedback linearization analysis is identified with that of the removed-by-immunity population. The various proposed vaccination feedback rules involved one of more of the partial populations and there is a certain flexibility in their designs since some control parameters being multiplicative coefficients of the various populations may be zeroed. The basic properties of stability and positivity of the solutions are investigated in a joint way. The equilibrium points and their stability properties as well as the positivity of the solutions are also investigated

On some new mathematical models for infective diseases: analysis, equilibrium, positivity and vaccination controls

196 p.Por un lado, cuando la enfermedad se desarrolla mediante la transmisión de los agentes patógenos de un individuo enfermo a otro, como puede ser el caso del SIDA, o la gripe, se le llama enfermedad infecciosa, mientras que las enfermedades no-infecciosas se desarrollan sin la intervención de estos agentes, y normalmente se asocian a predisposiciones genéticas, ambientales o modos de vida específicos. Esto no significa que estas dos categorías no puedan solaparse, por ejemplo, la cirrosis y el cáncer de hígado se asocian firmemente a contraer hepatitis (una enfermedad infecciosa), aunque contraer esta enfermedad no es necesario para que incida el cáncer o la cirrosis. En otra enfermedades, las variables derivadas del ecosistema de los agentes de infección puede aumentar la complejidad de los parámetros de los modelos hasta un nivel donde estos se vuelven inservibles. En tales casos, como en el de las enfermedades causadas por ¿macro parásitos¿ tipo pulgas, trematodos u hongos, no se tienen en cuenta a la hora de modelizar, ya que las circunstancias ambientales en las que se da la infección y el numero de agentes infecciosos tienen tanta influencia en la enfermedad que la complejidad de los modelos aumenta hasta el punto de no poder describir correctamente.Por tanto, los modelos matemáticos mas eficaces se concentran en las enfermedades infecciosas de transmisión ¿rápida¿, donde la densidad de patógenos dentro del anfitrión y su ciclo de vida no son relevantes para el modelo. Epidemias típicas estudiadas suelen ser la gripe, tos ferina, tuberculosis, malaria, dengue, sarampión, difteria, etc¿La mecánica de estas enfermedades epidémicas comparte una serie de parámetros caracterizados por la transmisión de la enfermedad de infectados a no infectados, y típicamente contiene unos periodos de tiempo en donde la enfermedad no ha presentado los síntomas (periodo de incubación) pero el paciente se ha vuelto infectivo para otros. Mas tarde, los infectados muestran síntomas externos (infecciosos) de diferentes tipos e intensidades, dependiendo del tipo de enfermedad e individuos. Al cabo de cierto tiempo, que depende de cada enfermedad, la población infectada puede volver a recobrarse, siendo esta inmune a la enfermedad o susceptible de nuevo a otras infecciones. Los modelos epidémicos se refieren a las diversas clases de subpoblaciones relativas a la enfermedad usando los siguientes acrónimos:¿ La subpoblación susceptible (¿S¿), o la porción de individuos de la población total que es susceptible a ser infectada¿ La subpoblación infectada (¿E¿) son aquellos individuos de la población que ha sido contagiada por la enfermedad pero todavía no es capaz de producir nuevas infecciones. También se les llama población expuesta.¿ La subpoblación infecciosa (¿I¿) esta compuesta de aquellos individuos infectados que son capaces de transmitir la infección a otros individuos.¿ La subpoblación ¿recobrada¿ (¿R¿) se refiere a la población no enferma que no pertenece a la población susceptible. Se entiende que es inmune tras haber pasado la enfermedad y tener defensas activas contra ella, aunque otras veces dicha inmunidad se puede adquirir mediante otros medios.Este es el caso en algunos modelos epidémicos en el que se incluye también una subpoblación extra llamada ¿vacunados¿ (¿V¿).La suma total de las subpoblaciones se denomina población total (¿N¿)De esta forma se presentan una serie de modelos típicos con diferentes niveles de complejidad ¿ Modelos SI (Susceptible/Infeccioso)¿ Modelos SIR (Susceptible/Infeccioso/Recobrado)¿ Modelos SEIR (Susceptible/Expuesto/Infeccioso/Recobrado)¿ Modelos SVEIR (Susceptible/Vacunado/Expuesto/Infeccioso/Recobrado)En estos modelos pueden aplicar una función para representar la vacunación, a la que nos referiremos como Vc. . Según sea la naturaleza específica de las enfermedad y la reacción del sistema inmunitario del huésped, algunas variantes de los modelos, como el anterior, incluyen un nuevo "S" final en su correspondiente acrónimo (cf. SEIRS), como la etapa final de la enfermedad se remonta desde recuperó para susceptible. Dependiendo de la velocidad de la del proceso y el impacto en la salud de la población enferma, las fluctuaciones en la población total se pueden tener en cuenta. Por lo tanto, la tasa de producción de los recién nacidos y las tasas de mortalidad se tienen en cuenta aunque, por simplicidad, a veces la población se supone constante y estos parámetros se omiten en las ecuaciones.A la hora de controlar estas enfermedades hay varios métodos para reducir, en términos estadísticos, la probabilidad de infección sobre la población y la propagación de la enfermedad. Muchos de ellos implican la eliminación de cierta cantidad de individuos susceptibles o infectados de la población (sacrificio), o el aislamiento de lo conocido infectados del resto de los individuos sanos (cuarentena). La medicina tiene una larga historia con esta forma de control de la enfermedad, que en nuestros modelos se convertirían en las leyes de control. Estos métodos son genéricos y pueden aplicarse cuando la información acerca de la enfermedad es mínima. Sin embargo, los recursos necesarios utilizando estos métodos no siempre son menos intrusivo y son necesarios otros métodos más asequibles. Por lo tanto, la vacunación se considera una ley de control y de tal modo hay dos estrategias principales sobre cómo aplicarlas: Vacunación constante y vacunación impulsiva, siendo estas controladas por leyes basadas en datos de las subpoblaciones, etc.Las leyes de control de la vacunación pueden incluir observadores para estimar las subpoblaciones con el fin de sintetizar los controles basados en ellos. Un dato importante a tener en cuenta en relación con la vacunación es la siguiente: los modelos epidémicos nunca son (estado) controlables bajo cualquier ley de control de la vacunación y, lo que es equivalente, los modelos epidémicos siempre muestran (estado) una incontrolabilidad, por lo que no hay una ley de control que permita llevar a todas las subpoblaciones a los valores prescritos en un tiempo finito. La razón intuitiva para esta incontrolabilidad es que los modelos epidémicos describen transiciones entre las subpoblaciones y normalmente una persona que se infecta, siempre que no muere, pasa a lo largo de todas las fases de la enfermedad a través del tiempo por lo que esto hace imposible lograr con capacidad de control de la forma habitual. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que la propiedad de "controlabilidad de salida" es un objetivo realizable, si la salida se define con alguna combinación de subpoblación. Por ejemplo, si la salida es la suma de expuestos + infecciosos, puede fijarse como la controlabilidad de salida observada subjetivas para fijar a cero esta salida. Si se define como la suma de los susceptibles + inmunes, puede fijarse como objetivo la controlabilidad de salida para arreglar esta salida para ellos emergente totales.Esta tesis doctoral versa sobre algunas propiedades en la dinámica de las clases de varios de los modelos epidémicos SIRS, SEIRS y SVEIRS. Se le da una mayor relevancia a las propiedades de estabilidad local (alrededor de los puntos de equilibrio) y global, así como a las reglas de vacunación que se implementan con el fin de eliminar asintóticamente la enfermedad y / o para mejorar su comportamiento transitorio hacia a erradicación en la práctica.Nuestros modelos epidémicos se pueden desarrollar ya sea con poblaciones normalizadas o no normalizadas (la población total es de unidad y de las subpoblaciones son fracciones de la unidad cuya suma iguala la unidad). En el primer caso, la evolución en el tiempo de las subpoblaciones se interpreta como un porcentaje de la cantidad de individuos de cada subpoblación en cada instante de tiempo. Otras propiedades de interés en el contexto de las ecuaciones diferenciales o sistemas de tiempo continuo o de tiempo discreto son: i) Estabilidad global/local: La estabilidad global de la población es irrelevante para los modelos normalizados, ya que todas las subpoblaciones están delimitadas para todos los tiempos. En el caso de los modelos de un-normalizada, es de interés en el caso de que la población total es ilimitado.ii) ii) Estabilidad parcial global/local: Es relevante tanto para ambos modelos normalizados/no normalizados, en el sentido de que las subpoblaciones expuestas e infecciosas son candidatas a converger asintóticamente a cero. De la misma forma, la suma de todas las otras subpoblaciones converge asintóticamente al total de la población.iii) iii) La permanencia de la infección: Se relaciona con el caso cuando las subpoblaciones expuestas/infecciosas no pueden eliminarse de manera. Si el modelo es permanente para cualquier condición inicial, entonces el punto de equilibrio libre de enfermedad (es decir, la que tiene cero subpoblaciones infectadas o infecciosas) no puede ser asintóticamente estable. iv) iv) La positividad de la solución: Dada la coherencia de los modelos en relación con la naturaleza de lo descrito, los modelos epidémicos no admiten subpoblaciones negativas. os modelos se describen mediante un conjunto de parámetros, siendo algunos de ellos depende de la especie tratados y algunos de ellos de la enfermedad en particular. En general los parámetros principales son :-Las tasas de natalidad de la población, , que se relacionan con la población que por unidad de tiempo, en promedio. -Las tasa de mortalidad natural relacionada con la muerte de las personas debido a la vejez y causas no relacionada con la enfermedad-A su vez, existe una tasa de mortalidad adicional causado por la enfermedad en la subpoblación infectada. Al igual que en la tasa de mortalidad natural, es proporcional a la inversa la vida, en promedio, de un individuo afectado por la enfermedad.-Ratios de transición de subpoblación infectada a infecciosa, de infecciosa a recuperada y de recuperada a susceptible de nuevoAsimismo, dado que tratamos con enfermedades infecciosas, se tiene en cuenta una constante transmisión de la enfermedad, que se define en función del tipo de modelo utilizado.-R0: número de reproducción básica, que se define como el número promedio de casos secundarios generados a partir de un caso primario medio en una subpopblación totalmente susceptible. Este numero se deriva del resto de los parámetros y depende del tipo de modelos, y en muchos aspectos es fundamental para comprender la naturaleza de las enfermedades y su evolución a través del tiempo. El número básico de reproducción se utiliza para estudiar el impacto global que una enfermedad puede producir en una población, como R0> 1 significaría que el número de personas infectadas aumentará con respecto a la generación anterior, y R0 <1 significaría lo contrario, una disminución del número de infectados. El valor de R0 entonces se obtiene multiplicando el tiempo de infectividad medio de una persona por la tasa media de infección de un individuo en una población libre de enfermedad.Desde un punto de vista matemático, sin embargo, este individuo infectado solitario en una población libre de enfermedad se considera una perturbación del estado libre de enfermedad, uno de los muchos posibles pequeños cambios realizados en un estado de equilibrio. Entonces, dadas las ecuaciones diferenciales que regulan la dinámica de estos modelos, el efecto general de cualquier perturbación en la evolución del sistema cuando está en un estado de equilibrio se puede calcular. Dada una serie de ecuaciones de la dinámica del sistema, podemos obtener la matriz jacobiana en el punto libre de enfermedad. Entonces, la obtención de los autovalores de esta matriz nos dará las tendencias (cuando las perturbaciones realizadas son pequeñas) a aumentar o disminuir de los diversos tipos de alteraciones que se pueden hacer a este estado libre de enfermedad. Cuando los autovalores son negativos, el sistema reacciona disminuyendo las subpoblaciones que han subido conforme al autovector asignado a dicho autovalor, y aumentar las subpoblaciones que han disminuido, hasta llegar otra vez al estado libre de enfermedad. Por lo tanto, se puede decir que el estado de equilibrio es, por lo menos, localmente estable.El numero de reproducción uno manifestación de todos los valores propios de la matriz jacobiana en el equilibrio. Considere un modelo SIR como en la sección anterior con un muerto y tarifas un recién nacido ¿ y ¿ respectivamente. La matriz Jacobiana característicaEl papel del número de reproducción en el estudio de la enfermedad no sólo se limitará a hacer predicciones sobre el estado libre de la enfermedad. En condiciones R0 también puede ser un parámetro útil en el estudio de otros estados de equilibrio de las enfermedades, donde la definición inicial hecha por los epidemiólogos no se puede aplicar a las situaciones específicas

Mathematical modeling of infectious disease and designing vaccination law for control of this diseases

In this paper, we propose the concept of partial stability instead of that of global stability to deal with the stability issues of epidemic models. The partial stability is able to provide a more meaningful analysis of the problem since it only focuses on the behavior of some of the variables (infected and infectious) instead of the complete population. It has been shown that the vaccination free SEIR model can still be partially stable even when a globally stability property does not hold, for two types of nonlinear incidence rates. By introducing the concept of partial stability and by designing a control vaccination based on it. Guarantee the eradication of an epidemic disease without requiring the global stability of the epidemic model

Robust Sliding Control of SEIR Epidemic Models

This paper is aimed at designing a robust vaccination strategy capable of eradicating an infectious disease from a population regardless of the potential uncertainty in the parameters defining the disease. For this purpose, a control theoretic approach based on a sliding-mode control law is used. Initially, the controller is designed assuming certain knowledge of an upper-bound of the uncertainty signal. Afterwards, this condition is removed while an adaptive sliding control system is designed. The closed-loop properties are proved mathematically in the nonadaptive and adaptive cases. Furthermore, the usual sign function appearing in the sliding-mode control is substituted by the saturation function in order to prevent chattering. In addition, the properties achieved by the closed-loop system under this variation are also stated and proved analytically. The closed-loop system is able to attain the control objective regardless of the parametric uncertainties of the model and the lack of a priori knowledge on the system.This work was partially supported by the Spanish Ministry of Economy and Competitiveness through Grant no. DPI2012-30651, the Basque Government (Gobierno Vasco) through Grant no. IE378-10, and by the University of the Basque Country through Grant no. UFI 11/07

On a Controlled Se(Is)(Ih)(Iicu)AR Epidemic Model with Output Controllability Issues to Satisfy Hospital Constraints on Hospitalized Patients

An epidemic model, the so-called SE(Is)(Ih)(Iicu)AR epidemic model, is proposed which splits the infectious subpopulation of the classical SEIR (Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered) model into four subpopulations, namely asymptomatic infectious and three categories of symptomatic infectious, namely slight infectious, non-intensive care infectious, and intensive care hospitalized infectious. The exposed subpopulation has four different transitions to each one of the four kinds of infectious subpopulations governed under eventually different proportionality parameters. The performed research relies on the problem of satisfying prescribed hospitalization constraints related to the number of patients via control interventions. There are four potential available controls which can be manipulated, namely the vaccination of the susceptible individuals, the treatment of the non-intensive care unit hospitalized patients, the treatment of the hospitalized patients at the intensive care unit, and the transmission rate which can be eventually updated via public interventions such as isolation of the infectious, rules of groups meetings, use of face masks, decrees of partial or total quarantines, and others. The patients staying at the non-intensive care unit and those staying at the intensive care unit are eventually, but not necessarily, managed as two different hospitalized subpopulations. The controls are designed based on output controllability issues in the sense that the levels of hospital admissions are constrained via prescribed maximum levels and the measurable outputs are defined by the hospitalized patients either under a joint consideration of the sum of both subpopulations or separately. In this second case, it is possible to target any of the two hospitalized subpopulations only or both of them considered as two different components of the output. Different algorithms are given to design the controls which guarantee, if possible, that the prescribed hospitalization constraints hold. If this were not possible, because the levels of serious infection are too high according to the hospital availability means, then the constraints are revised and modified accordingly so that the amended ones could be satisfied by a set of controls. The algorithms are tested through numerically worked examples under disease parameterizations of COVID-19.This research received funding from the Spanish Institute of Health Carlos III through Grant COV 20/01213, the Spanish Government and the European Commission through Grant RTI2018-094336-B-I00 (MCIU/AEI/FEDER, UE) and the Basque Government for Grant IT1207-19

On a Discrete SEIR Epidemic Model with Two-Doses Delayed Feedback Vaccination Control on the Susceptible

A new discrete susceptible-exposed-infectious-recovered (SEIR) epidemic model is presented subject to a feedback vaccination effort involving two doses. Both vaccination doses, which are subject to a non-necessarily identical effectiveness, are administrated by respecting a certain mutual delay interval, and their immunity effect is registered after a certain delay since the second dose. The delays and the efficacies of the doses are parameters, which can be fixed in the model for each concrete experimentation. The disease-free equilibrium point is characterized as well as its stability properties, while it is seen that no endemic equilibrium point exists. The exposed subpopulation is supposed to be infective eventually, under a distinct transmission rate of that of the infectious subpopulation. Some simulation examples are presented by using disease parameterizations of the COVID-19 pandemic under vaccination efforts requiring two doses.This research was funded by MCIU/AEI/FEDER, UE, grant number RTI2018-094336-B-I00; Spanish Institute of Health Carlos III, grant number COV 20/01213 and Basque Government, grant number IT1207-19. The APC was funded by MCIU/AEI/FEDER, UE

Reliable optimal controls for SEIR models in epidemiology

We present and compare two different optimal control approaches applied to SEIR models in epidemiology, which allow us to obtain some policies for controlling the spread of an epidemic. The first approach uses Dynamic Programming to characterise the value function of the problem as the solution of a partial differential equation, the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, and derive the optimal policy in feedback form. The second is based on Pontryagin's maximum principle and directly gives open-loop controls, via the solution of an optimality system of ordinary differential equations. This method, however, may not converge to the optimal solution. We propose a combination of the two methods in order to obtain high-quality and reliable solutions. Several simulations are presented and discussed

On a Discrete SEIR Epidemic Model with Exposed Infectivity, Feedback Vaccination and Partial Delayed Re-Susceptibility

A new discrete Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered (SEIR) epidemic model is proposed, and its properties of non-negativity and (both local and global) asymptotic stability of the solution sequence vector on the first orthant of the state-space are discussed. The calculation of the disease-free and the endemic equilibrium points is also performed. The model has the following main characteristics: (a) the exposed subpopulation is infective, as it is the infectious one, but their respective transmission rates may be distinct; (b) a feedback vaccination control law on the Susceptible is incorporated; and (c) the model is subject to delayed partial re-susceptibility in the sense that a partial immunity loss in the recovered individuals happens after a certain delay. In this way, a portion of formerly recovered individuals along a range of previous samples is incorporated again to the susceptible subpopulation. The rate of loss of partial immunity of the considered range of previous samples may be, in general, distinct for the various samples. It is found that the endemic equilibrium point is not reachable in the transmission rate range of values, which makes the disease-free one to be globally asymptotically stable. The critical transmission rate which confers to only one of the equilibrium points the property of being asymptotically stable (respectively below or beyond its value) is linked to the unity basic reproduction number and makes both equilibrium points to be coincident. In parallel, the endemic equilibrium point is reachable and globally asymptotically stable in the range for which the disease-free equilibrium point is unstable. It is also discussed the relevance of both the vaccination effort and the re-susceptibility level in the modification of the disease-free equilibrium point compared to its reached component values in their absence. The influences of the limit control gain and equilibrium re-susceptibility level in the reached endemic state are also explicitly made viewable for their interpretation from the endemic equilibrium components. Some simulation examples are tested and discussed by using disease parameterizations of COVID-19.The work has been funded by Grant RTI2018-094336-B-I00 from MCIU/AEI/FEDER, UE; by Grant IT1207-19, by the Basque Government and by Grant COV 20/01213 from Spanish Institute of Health Carlos III

On an SEIR Epidemic Model with Vaccination of Newborns and Periodic Impulsive Vaccination with Eventual On-Line Adapted Vaccination Strategies to the Varying Levels of the Susceptible Subpopulation

This paper investigates a susceptible-exposed-infectious-recovered (SEIR) epidemic model with demography under two vaccination effort strategies. Firstly, the model is investigated under vaccination of newborns, which is fact in a direct action on the recruitment level of the model. Secondly, it is investigated under a periodic impulsive vaccination on the susceptible in the sense that the vaccination impulses are concentrated in practice in very short time intervals around a set of impulsive time instants subject to constant inter-vaccination periods. Both strategies can be adapted, if desired, to the time-varying levels of susceptible in the sense that the control efforts be increased as those susceptible levels increase. The model is discussed in terms of suitable properties like the positivity of the solutions, the existence and allocation of equilibrium points, and stability concerns related to the values of the basic reproduction number. It is proven that the basic reproduction number lies below unity, so that the disease-free equilibrium point is asymptotically stable for larger values of the disease transmission rates under vaccination controls compared to the case of absence of vaccination. It is also proven that the endemic equilibrium point is not reachable if the disease-free one is stable and that the disease-free equilibrium point is unstable if the reproduction number exceeds unity while the endemic equilibrium point is stable. Several numerical results are investigated for both vaccination rules with the option of adapting through ime the corresponding efforts to the levels of susceptibility. Such simulation examples are performed under parameterizations related to the current SARS-COVID 19 pandemic.This research was supported by the Spanish Institute of Health Carlos III through Grant COV 20/01213 and by the Spanish Government and European Commission through Grant RTI2018-094336-B-I00 (MCIU/AEI/FEDER, UE)