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KomplexitÀt von Gitterproblemen : Nicht-Approximierbarkeit und Grenzen der Nicht-Approximierbarkeit
Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhĂ€ngigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P NP beweisen wir, daĂ kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kĂŒrzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO exp(1/log log n) berechnet, wobei die LĂ€nge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische LĂ€nge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daĂ eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n/ sqrt(log n) unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner fĂŒr reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natĂŒrliche Zahl q mit 1 = N, so daĂ maxi minp2Z |q alpha i - p| minimal ist. Unter der Annahme, daĂ die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daĂ kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der fĂŒr gegebene rationale Zahlen. Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhĂ€ngigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P 6= NP beweisen wir, daĂ kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kĂŒrzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO(1= log log n) berechnet, wobei die LĂ€nge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische LĂ€nge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daĂ eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=plog n unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner fĂŒr reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natĂŒrliche Zahl q mit 1 0 eine beliebige Konstante ist. Wir zeigen, daĂ eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=log n unter plausiblen Annahmen nicht mölich ist. Wir untersuchen die Konsequenzen dieser Resultate zur Konstruktion von im Durchschnitt schwierigen Gitterproblemen
On the hardness of the shortest vector problem
Thesis (Ph. D.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Electrical Engineering and Computer Science, 1998.Includes bibliographical references (p. 77-84).An n-dimensional lattice is the set of all integral linear combinations of n linearly independent vectors in Rm. One of the most studied algorithmic problems on lattices is the shortest vector problem (SVP): given a lattice, find the shortest non-zero vector in it. We prove that the shortest vector problem is NP-hard (for randomized reductions) to approximate within some constant factor greater than 1 in any 1, norm (p >\=1). In particular, we prove the NP-hardness of approximating SVP in the Euclidean norm 12 within any factor less than [square root of]2. The same NP-hardness results hold for deterministic non-uniform reductions. A deterministic uniform reduction is also given under a reasonable number theoretic conjecture concerning the distribution of smooth numbers. In proving the NP-hardness of SVP we develop a number of technical tools that might be of independent interest. In particular, a lattice packing is constructed with the property that the number of unit spheres contained in an n-dimensional ball of radius greater than 1 + [square root of] 2 grows exponentially in n, and a new constructive version of Sauer's lemma (a combinatorial result somehow related to the notion of VC-dimension) is presented, considerably simplifying all previously known constructions.by Daniele Micciancio.Ph.D
A new transference theorem in the geometry of numbers and new bounds for Ajtai's connection factor
AbstractWe prove a new transference theorem in the geometry of numbers, giving optimal bounds relating the successive minima of a lattice with the minimal length of generating vectors of its dual. It generalizes the transference theorem due to Banaszczyk. We also prove a stronger bound for the special class of lattices possessing nΔ-unique shortest lattice vectors. The theorem imply consequent improvement of the Ajtai connection factors in the connection of average-case to worst-case complexity of the shortest lattice vector problem. Our proofs are non-constructive, based on discrete Fourier transform