Unisolvency for Multivariate Polynomial Interpolation in Coatmèlec Configurations of Nodes

A new and straightforward proof of the unisolvability of the problem of multivariate polynomial interpolation based on Coatmèlec configurations of nodes, a class of properly posed set of nodes defined by hyperplanes, is presented. The proof generalizes a previous one for the bivariate case and is based on a recursive reduction of the problem to simpler ones following the so-called Radon–Bézout process.The authors thank to Drs. Mariano Gasca and Juan I. Ramos for pointing us some references and for their useful comments which have greatly improved the presentation. The authors also thank a reviewer for pointing out a mistake in the original Proof of Lemma 5. The research reported in this paper was partially supported by Project MTM2010-19969 from the Ministerio de Ciencia e Innovacion of Spain and Grant PAID-06-09-2734 from the Universidad Politecnica de Valencia. M. A. G. M. acknowledges support from the Spanish Ministry of Science and Education (MEC), Fulbright Commission, and FECYT.García March, MÁ.; Gimenez Palomares, F.; Villatoro, FR.; Pérez Quiles, MJ.; Fernández De Córdoba Castellá, PJ. (2011). Unisolvency for Multivariate Polynomial Interpolation in Coatmèlec Configurations of Nodes. Applied Mathematics and Computation. 217(18):7427-7431. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.02.034S742774312171

High performance of the generalized finite difference method and applications

[ES] En esta tesis se aborda la resolución de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden en 2D y 3D por el Método de las Diferencias Finitas Generalizadas (MDFG) utilizando aproximaciones de tercer y cuarto orden. En primer lugar, se analiza la influencia del número de puntos por estrella y se establecen algunos valores a modo de referencia. En segundo lugar, se ha desarrollado una nueva estrategia para detectar y tratar estrellas mal condicionadas, las cuales pueden aparecer con frecuencia cuando se utilizan aproximaciones de orden superior. Esta estrategia utiliza una cantidad de puntos por estrella menor que los establecidos como referencia y presenta excelentes resultados detectando estrellas mal condicionadas, aumentando la precisión de la aproximación numérica y reduciendo el coste computacional. Para implementar el algoritmo, se han utilizado buenas prácticas de programación junto con las aproximaciones de orden superior en el MDFG para reducir el coste computacional en diferentes etapas del cálculo. Por otro lado, se ha desarrollado una estrategia para obtener discretizaciones adaptadas al problema concreto que se desea resolver. Esta estrategia distribuye los puntos en el dominio conforme a los valores del gradiente, lo que permite usar una discretización con un menor número de puntos, reduciendo así el coste computacional y manteniendo la precisión que se alcanzaría con discretizaciones más finas donde los puntos se distribuyen más homogéneamente. Además, se ha desarrollado un algoritmo adaptativo para problemas en 3D con aproximaciones de cuarto orden a partir de discretizaciones iniciales irregulares. Se han comparado los resultados del algoritmo propuesto con los del algoritmo de puntos añadidos a media distancia. En todas las aplicaciones, se ha conseguido una mayor precisión junto con una disminución del número final de puntos y del tiempo computacional. Finalmente, para probar el desempeño del algoritmo en un problema real se ha evaluado la respuesta sísmica en aerogeneradores terrestres empleando el MDFG acoplado con el método de Newmark. Se han comparado los datos del desplazamiento transversal con un modelo basado en el método de los elementos finitos utilizando el programa ABAQUS. Los resultados son esencialmente idénticos y muestran la validez del modelo propuesto en el MDFG