Fuzzy approximately additive mappings

Abstract. Moslehian and Mirmostafaee, investigated the fuzzy stability problems for the Cauchy additive functional equation, the Jensen additive functional equation and the cubic functional equation in fuzzy Banach spaces. In this paper, we investigate the generalized Hyers-Ulam-Rassias stability of the generalized additive functional equation with n-variables, in fuzzy Banach spaces. Also, we will show that there exists a close relationship between the fuzzy continuity behavior of a fuzzy almost additive function, control function and the unique additive function which approximate the almost additive function

On the Stability Problem in Fuzzy Banach Space

We investigate the generalized Ulam-Hyers stability of the Cauchy functional equation and pose two open problems in fuzzy Banach space

Intuitionistic fuzzy stability of a quadratic and quartic functional equation

Abstract. In this paper, we prove the generalized Hyers-Ulam stability of a quadratic and quartic functional equation in intuitionistic fuzzy Banach spaces

Προβλήματα Συναρτησιακών Εξισώσεων

Η παρούσα διατριβή παρουσιάζει νέες συναρτησιακές εξισώσεις πολυωνυμικού τύπου και μελετά αυτές ως προς την ευστάθειά τους κατά Hyers-Ulam-Rassias και Ulam-Gavruta-Rassias. Η μελέτη αφορά 2ου(Quadratic), 3ου(Cubic), 4ου(Quartic) βαθμού και μικτού τύπου (συνδυασμός) συναρτησιακές εξισώσεις , εξετάζοντας και περιπτώσεις μη- ευστάθειας δίνοντας κατάλληλα αντιπαραδείγματα. Στην εισαγωγή και στο Κεφάλαιο 1, παρουσιάζεται μια εκτενή αναφορά στην ιστορική εξέλιξη του προβλήματος της ευστάθειας του Ulam, την μεθοδολογική προσέγγι-ση της επίλυσής του, ενσωματώνοντας τις τελευταίες μεθόδους ευστάθειας και δίνεται μια εκτενή βιβλιογραφική ανασκόπηση. Αναφορά γίνεται σε βιογραφικά στοιχεία του Ulam και σε εφαρμογές της ευστάθειας σε προβλήματα και άλλους επιστημονικούς τομείς. Το παρών μέρος της εργασίας είναι υπό δημοσίευση στο περιοδικό Μαθηματική Επιθεώρηση . Στο Κεφάλαιο 2, μελετώνται δευτέρου βαθμού συναρτησιακές εξισώσεις και συγκεκριμένα μια τροποποίηση της κλασικής τετραγωνικής συναρτησιακής εξίσωσης * , γενίκευση μιας δευτεροβάθμιας και δύο νέες εξισώσεις σε χώρους Banach. Η παράγραφος 2.1 έχει δημοσιευτεί από τον συγγραφέα, βλ. P.A.Pallas, On the generalized Hyers-Ulam stability of an Euler-Lagrange type quadratic functional equation, Far East Journal of Mathematical Sciences, Vol.101, Number 10, (2017), 2173-2184. Το Κεφάλαιο 3, ασχολείται με τις τρίτου και τετάρτου βαθμού εξισώσεις ως προς την ευστάθεια Ulam κάνοντας χρήση μεθόδων ευστάθειας σε non-Archimedean χώρους. Απάντηση δίνεται σε ανοικτό πρόβλημα για την ευστάθεια της α-quartic συναρτησιακής εξίσωσης* όπου ζητείται η μελέτη της γενικευμένης ευστάθειας Hyers-Ulam-Rassias, και η εύρεση των συνθηκών ευστάθειας. Παρουσιάζεται η ευστάθειά της σε non-Archimedean χώρους με χρήση της ευθείας και της σταθερού σημείου μεθόδου. (Direct και Fixed point method). Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται η ευστάθεια Hyers-Ulam-Rassias και Ulam-Gavruta-Rassias μικτών συναρτησιακών εξισώσεων. Στις μικτού τύπου πολυωνυμικές συναρ-τησιακές εξισώσεις η επίλυση καθώς και η ευστάθεια μελετάται συνήθως διαχωρίζοντας τις περιπτώσεις άρτιας και περιττής συνάρτησης. Η πορεία της εύρεσης των συνθηκών ευστάθειας περιλαμβάνει επίσης θεωρήματα που εξετάζουν την ευστάθεια ξε-χωριστά για κάθε μία προσθετική, τετραγωνική κλπ. συναρτησιακή εξίσωση που προσεγγίζει την αρχική. Στη συνέχεια, ένα συνδυαστικό θεώρημα ενσωματώνει τα επιμέρους συμπεράσματα. Τα πορίσματα που αφορούν την ευστάθεια Rassias ακολουθούν την ίδια διάταξη. Παρουσιάζονται μικτές εξισώσεις σε χώρους Banach, quasi β-normed και fuzzy Banach, ενώ δίνονται παραδείγματα μη ευστάθειας. Ειδικότερα, στην ενότητα 4.1 επιλύεται και εξετάζεται η ευστάθεια Hyers-Ulam-Rassias μιας νέας, μικτού τύπου, προσθετικής- τετραγωνικής, συναρτησιακής εξίσωσης* χρησιμοποιώντας την ευθεία μέθοδο Hyers και την σταθερού σημείου, σε χώρους Ba-nach. Η μη ευστάθεια εξετάζεται με παράθεση παραδειγμάτων για τις περιπτώσεις μη ευστάθειας τόσο στα Θεωρήματα της ευθείας μεθόδου όσο και στα Θεωρήματα της μεθόδου σταθερού σημείου . Γίνεται διάκριση των περιπτώσεων σε άρτια και περιττή συνάρτηση. Στην ενότητα 4.2 μελετάται η ευστάθεια μιας νέας μικτής συναρτησιακής εξίσωσης σε σταθμητούς quasi- β-normed χώρους. Χώρος που εισήχθη από J.M.Rassias και Kim σχετικά πρόσφατα. Στην ενότητα 4.3 , παρουσιάζεται το πρόβλη-μα της ευστάθειας σε ασαφείς τοπολογικές δομές (fuzzy normed spaces). Στο Κεφάλαιο 5, γίνεται η αποτίμηση της όλης ερευνητικής προσπάθειας και της συμβολής της στην διερεύνηση της ευστάθειας συναρτησιακών εξισώσεων πολυωνυμικού τύπου. Επίσης σκιαγραφούνται οι μελλοντικές προοπτικές και σημεία στόχευσης της έρευνας που προκύπτουν από τα αποτελέσματα αυτού του ερευνητικού έργου. Τέτοιες κατευθύνσεις είναι η διερεύνηση της ευστάθειας μεγαλυτέρου βαθμού του 4 με τη χρήση ενός γενικού μοντέλου περιγραφής εξίσωσης πολυωνυμικού τύπου, γενίκευση των κυβικών εξισώσεων εισάγοντας νέες παραμέτρους, όπως επίσης μια σειρά από ανοιχτά προβλήματα που αφορούν την εξέταση της ευστάθειας με χρήση και των δύο άλλων μεθόδων ευστάθειας σε διάφορους τοπολογικούς χώρους.This PhD Thesis introduces new functional equations of polynomial type and studies their Hyers-Ulam-Rassias and Ulam-Gavruta-Rassias stability. Chapter 1, reviews and presents the evolution of the Ulam Stability Problem during the last 70 years. We highlight the main theoretical results and tools that researchers in the field discovered. Methods of stability and applications in a variety of fields are also mentioned. In Chapter 2, generalization, and modification of classical quadratic functional equation is examined. Also, two new quadratic functional equations are introduced. In Chapter 3, we present two cubic functional equations and we answer an open problem, posed by J.M Rassias, concerned the α-quartic functional equation in non-Archimedean spaces. Finally in Chapter 4, we deal with mixed type functional equations, especially additive-quadratic equations and study them in various spaces. Also, a capable num-ber of counterexamples are given. Chapter 5 poses some open problems that derived from the research

On the Stability of an -Variables Functional Equation in Random Normed Spaces via Fixed Point Method

At first we find the solution of the functional equation (1,…,)∶=∑=2(∑1=2∑+12=1+1⋯∑−+1=−+1)(∑=1,≠1,…,−+1−∑−+1=1)+(∑=1)−2−1(1)=0, where ≥2 is an integer number. Then, we obtain the generalized Hyers-Ulam-Rassias stability in random normed spaces via the fixed point method for the above functional equation

Nearly Jordan -Homomorphisms between Unital -Algebras

Let , be two unital ∗-algebras. We prove that every almost unital almost linear mapping ℎ : → which satisfies ℎ(3+3)=ℎ(3)ℎ()+ℎ()ℎ(3) for all ∈(), all ∈, and all =0,1,2,…, is a Jordan homomorphism. Also, for a unital ∗-algebra of real rank zero, every almost unital almost linear continuous mapping ℎ∶→ is a Jordan homomorphism when ℎ(3+3)=ℎ(3)ℎ()+ℎ()ℎ(3) holds for all ∈1 (sa), all ∈, and all =0,1,2,…. Furthermore, we investigate the Hyers- Ulam-Aoki-Rassias stability of Jordan ∗-homomorphisms between unital ∗-algebras by using the fixed points methods