Discrete competitive lotka–volterra model with controllable phase volume

The simulation of population dynamics and social processes is of great interest in nonlinear systems. Recently, many scholars have paid attention to the possible applications of population dynamics models, such as the competitive Lotka–Volterra equation, in economic, demographic and social sciences. It was found that these models can describe some complex behavioral phenomena such as marital behavior, the stable marriage problem and other demographic processes, possessing chaotic dynamics under certain conditions. However, the introduction of external factors directly into the continuous system can influence its dynamic properties and requires a reformulation of the whole model. Nowadays most of the simulations are performed on digital computers. Thus, it is possible to use special numerical techniques and discrete effects to introduce additional features to the digital models of continuous systems. In this paper we propose a discrete model with controllable phase-space volume based on the competitive Lotka–Volterra equations. This model is obtained through the application of semi-implicit numerical methods with controllable symmetry to the continuous competitive Lotka–Volterra model. The proposed model provides almost linear control of the phase-space volume and, consequently, the quantitative characteristics of simulated behavior, by shifting the symmetry of the underlying finite-difference scheme. We explicitly show the possibility of introducing almost arbitrary law to control the phase-space volume and entropy of the system. The proposed approach is verified through bifurcation, time domain and phase-space volume analysis. Several possible applications of the developed model to the social and demographic problems’ simulation are discussed. The developed discrete model can be broadly used in modern behavioral, demographic and social studies. © 2020 by the authors. Licensee MDPI, Basel, Switzerland.Russian Science Foundation, RSF: 19-78-00058Funding: The study was funded by a grant from the Russian Science Foundation (project No. 19-78-00058) “Analysis and simulation of demographic processes based on the dynamic system approach with consideration of sociocultural determinants”

Random steps in evolution and point processes

The thesis consists of four papers in the area of mathematical biology and probability theory. Mathematical biology is an field of research which seeks understanding of biological phenomena through the application of existing and new mathematical methods. The motivating biological problem addressed in the first two papers of the thesis falls into the area of the mathematical theory of evolution, where an ecological model described by a dynamical system is equipped with a further mechanism, under which one (or more) of the species represented in the model is able to undergo evolution through mutation and natural selection. The present work examines when the possibility of displacement of a resident phenotype by a mutant of another phenotype is described in simple terms by a so-called optimisation principle. An optimisation principle is a numerical function, defined for phenotypes, that allows one to compare the potential to invade all potential environments set by some currently present phenotype simultaneously. The main result of the first paper gives a set of necessary and sufficient conditions for when an optimization principle exists. The third and fourth papers in the thesis deal from different viewpoints with topics connected to Poisson point processes.Väitöskirja koostuu neljästä artikkelista matemaattisen biologian ja todennäköisyysteorian aloilta. Matemaattinen biologia on tutkimusala, joka tähtää biologisten ilmiöiden ymmärrykseen olemassaolevien ja uusien matemaattisten menetelmien avulla. Kaksi ensimmäistä väitöskirjan artikkelia käsittelevät matemaattista evoluutioteoriaa. Päätulos antaa välttämättömät ja riittävät ehdot evoluution kulkua määräävän optimointntiperiaatteen olemassaololle. Kaksi jälkimmäistä artikkelia käsittelee eri näkökulmista aiheita, jotka liittyvät Poissonin pisteprosessien teoriaan

Lotka–Volterra approximations for evolutionary trait-substitution processes

A set of axioms is formulated characterizing ecologically plausible community dynamics. Using these axioms, it is proved that the transients following an invasion into a sufficiently stable equilibrium community by a mutant phenotype similar to one of the community's finitely many resident phenotypes can always be approximated by means of an appropriately chosen Lotka-Volterra model. To this end, the assumption is made that similar phenotypes in the community form clusters that are well-separated from each other, as is expected to be generally the case when evolution proceeds through small mutational steps. Each phenotypic cluster is represented by a single phenotype, which we call an approximate phenotype and assign the cluster's total population density. We present our results in three steps. First, for a set of approximate phenotypes with arbitrary equilibrium population densities before the invasion, the Lotka-Volterra approximation is proved to apply if the changes of the population densities of these phenotypes are sufficiently small during the transient following the invasion. Second, quantitative conditions for such small changes of population densities are derived as a relationship between within-cluster differences and the leading eigenvalue of the community's Jacobian matrix evaluated at the equilibrium population densities before the invasion. Third, to demonstrate the utility of our results, the 'invasion implies substitution' result for monomorphic populations is extended to arbitrarily polymorphic populations consisting of well-recognizable and -separated clusters

Modelling microbiome recovery after antibiotics using a stability landscape framework

Treatment with antibiotics is one of the most extreme perturbations to the human microbiome. Even standard courses of antibiotics dramatically reduce the microbiome’s diversity and can cause transitions to dysbiotic states. Conceptually, this is often described as a ‘stability landscape’: the microbiome sits in a landscape with multiple stable equilibria, and sufficiently strong perturbations can shift the microbiome from its normal equilibrium to another state. However, this picture is only qualitative and has not been incorporated in previous mathematical models of the effects of antibiotics. Here, we outline a simple quantitative model based on the stability landscape concept and demonstrate its success on real data. Our analytical impulse-response model has minimal assumptions with three parameters. We fit this model in a Bayesian framework to data from a previous study of the year-long effects of short courses of four common antibiotics on the gut and oral microbiomes, allowing us to compare parameters between antibiotics and microbiomes, and further validate our model using data from another study looking at the impact of a combination of last-resort antibiotics on the gut microbiome. Using Bayesian model selection we find support for a long-term transition to an alternative microbiome state after courses of certain antibiotics in both the gut and oral microbiomes. Quantitative stability landscape frameworks are an exciting avenue for future microbiome modelling

Approximate aggregation of nonlinear dynamical systems

Esta tesis pertenece al campo de la biología matemática. Los resultados matemáticos extienden resultados previos en relación a la agregación aproximada de sistemas con dos escalas de tiempo. En la Naturaleza, muchos fenómenos resultan de la concurrencia de distintos procesos que pueden desarrollarse, o no, en diferentes escalas de tiempo. Consideramos sistemas que combinan dos procesos que evolucionan en escalas de tiempo diferentes, a los que llamaremos proceso rápido y proceso lento. Estos sistemas proporcionan modelos de la realidad muy detallados pero, en general, mucho más complicados de estudiar que aquellos modelos que incluyen un único proceso. Bajo ciertas condiciones es posible aprovechar la diferencia de escalas de tiempo para construir un sistema (llamado agregado) de menor dimensión que el sistema original. Las técnicas de agregación aproximada establecen bajo qué condiciones tiene sentido construir el sistema agregado y, en ese caso, qué información asintótica de la dinámica del sistema original es posible obtener a través del estudio del sistema agregado. El objetivo de esta tesis es extender las técnicas de agregación aproximada disponibles para sistemas no lineales con dos escalas de tiempo, tanto discretos como de ecuaciones diferenciales ordinarias no autónomas. Aplicamos estos resultados al estudio de modelos poblacionales con dos escales de tiempo. Supondremos, sin pérdida de generalidad, que el vector de variables de estado X representa los individuos de una población estructurada. El capítulo 1 trata los sistemas discretos no lineales con dos escalas de tiempo. Los resultados más generales disponibles para la agregación aproximada de este tipo de sistemas se verifican bajo condiciones que, en la práctica, son difíciles de comprobar, lo que limita su aplicabilidad. Hasta donde sabemos, en el estudio de modelos concretos, el proceso lento puede ser representado por una función general de clase 1, mientras que el proceso rápido es descrito por una matriz (constante) estocástica regular. En nuestros resultados presentamos clases de funciones, más generales que las representadas por matrices estocásticas regulares, adecuadas para describir el proceso rápido y que, en particular, pueden incluir términos no lineales. En primer lugar suponemos que el proceso rápido preserva el número total de individuos z=[[X]]. Dicha dinámica está representada por una matriz estocástica regular tal que sus entradas son función de clase 1 de la variable z que, a su vez, es función de las variables de estado. Esta hipótesis significa que la evolución de la población bajo la acción del proceso rápido depende del tamaño total de la población en ese momento. Se demuestra entonces que el correspondiente sistema con dos escalas de tiempo es susceptible de ser estudiado con las técnicas de agregación antes mencionadas. Con estos resultados para estudiar distintos modelos poblacionales que combinan un proceso demográfico y otro migratorio que discurren conforme a escalas de tiempo diferentes. Dichos modelos son analizados intercambiando el papel del proceso rápido y del lento. De entre los resultados obtenidos a partir del estudio del sistema agregado, cabe destacar nuevas interpretaciones de modelos poblacionales clásicos o situaciones en las que se produce el efecto Allé. A continuación tratamos sistemas discretos en los que las variables de estado están parcialmente acopladas bajo la acción de la dinámica rápida. Es decir; bajo la acción del proceso rápido, la evolución de una parte de la población depende del estado de la otra parte de la población. Esta idea es plasmada como sigue. Supongamos que la población está dividida en dos grupos. La evolución de los individuos de cada grupo está descrita por una matriz estocástica regular positiva, de modo que las entradas de la matriz que controla el segundo grupo de variables son función (de clase 2) del primer grupo de varibles. Se demuestra que el correspondiente sistema con dos escalas de tiempo verifica las hipótesis necesarias para poder ser analizado con las técnicas de agregación aproximada. Aplicamos estos resultados a una comunidad con hospedadores y parasitoides en un hábitat fragmentado. Consideramos que los desplazamientos de individuos entre las distintas regiones suceden con mayor frecuencia que las interacciones entre hospedadores y parasitoides a nivel local. Suponemos, además, que los hospedadores se mueven de forma aleatoria, mientras que los parasitoides tienen preferencia por aquellas zonas con mayor densidad de hospedadores. Usando las técnicas de agregación aproximada se demuestra que el sistema completo puede exhibir equilibrios asintóticamente estables cuando, en ausencia de desplazamientos, tales equilibrios no existen. En el capítulo 2 se estudia la agregación aproximada de sistemas no autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias con dos escalas de tiempo. La herramienta fundamental es un teorema debido a F.C. Hoppensteadt y relativo a perturbaciones singulares de sistemas con dos escalas de tiempo en intervalos no acotados. Este teorema establece condiciones que permiten estudiar ciertas propiedades dinámicas de sistemas no autónomos con dos escalas de tiempo a partir de dos problemas asociados más sencillos que el original. Este teorema requiere de una serie de hipótesis restrictivas y complicadas de verificar. Las hipótesis se refieren a la regularidad de las funciones involucradas en el sistema y a la estabilidad de las soluciones de los sistemas asociados. A grandes rasgos, probamos que las condiciones de regularidad se cumplen tanto para sistemas periódicos como para sistemas asintóticamente autónomos. Y, lo que es más importante, demostramos que en esos casos las condiciones sobre la estabilidad de las soluciones de los sistemas auxiliares pueden ser enunciadas en términos de ciertos sistemas variacionales. Esto simplifica enormemente el estudio del sistema completo a través de dichos sistemas asociados. Aplicamos estos resultados al estudio de distintos modelos de poblaciones. Consideramos sistemas periódicos que describen poblaciones espacialmente distribuidas en un hábitat heterogéneo. Supongamos que los desplazamientos de individuos entre las distintas zonas que componen el hábitat son más rápidos que las interacciones entre individuos en cada una de esas zonas. En una primera aplicación estudiamos un sistema depredador-presa de tipo Lotka-Volterra con refugio para las presas e interferencia entre los predadores. Rasgo este último que resulta especialmente relevante para adecuar modelos a conjuntos de datos reales. Obtenemos condiciones que garantizan la coexistencia o la exclusión de los depredadores en términos de ciertos parámetros ''vitales'' derivados del estudio del modelo agregado. En una segunda aplicación consideramos una población afectada por una epidemia con múltiples cepas. A partir del sistema agregado obtenemos números reproductivos y números reproductivos de invasión para el sistema no autónomo espacialmente distribuido. Dichas cantidades son coherentes con la definición habitual para modelos no espaciales. Al comparar esos números reproductivos con los obtenidos en el caso no espacialmente distribuido, se pone de manifiesto que determinadas tasas de desplazamiento en la escala rápida implican que la epidemia es erradicada (resp. persistente) en situaciones en las que, en ausencia de desplazamientos, el modelo predice lo contrario. Finalmente, estudiamos un modelo eco-epidemiológico asintóticamente autónomo. El proceso lento corresponde a un modelo depredador presa de tipo Lotka-Volterra. Los depredadores están afectados por una epidemia que sigue la ley de transmisión dependiente de la frecuencia. Aunque la epidemia no es mortal de necesidad, aumenta la mortalidad de los depredadores infectados. Se demuestra que el tamaño de la población de depredadores (resp. presas) es mayor (resp. menor) cuando la epidemia es erradicada que cuando se vuelve endémica. En este último caso, los tamaños poblacionales dependen de los valores de los parámetros que describen el proceso epidemiológico. Por tanto, la introducción de una epidemia en este tipo de comunidades se postula como un mecanismo para controlar los tamaños poblacionales

Spreading speeds and traveling waves in some population models.

Virtually every ecosystem has been invaded by exotic organisms with potentially drastic consequences for the native fauna or flora. Studying the forms and rates of invading species has been an important topic in spatial ecology. We investigate two two-species competition models with Allee effects in the forms of reaction-diffusion equations and integro-difference equations. We discuss the spatial transitions from a mono-culture equilibrium to a coexistence equilibrium or a different mono-culture equilibrium in these models. We provide formulas for the spreading speeds based on the linear determinacy and show the results on the existence of traveling waves. We also study a two-sex stage-structured model. We carry out initial analysis for the spreading speed and conduct numerical simulations on the traveling waves and spreading speeds in the two-sex model