337 research outputs found
A Weak Limit Theorem for Galton-Watson Processes in Varying Environments
We extend Donsker’s theorem and the central limit theorem of
classical Galton-Watson process to the Galton-Watson processes in varying
environment
Biased random walks on random graphs
These notes cover one of the topics programmed for the St Petersburg School
in Probability and Statistical Physics of June 2012.
The aim is to review recent mathematical developments in the field of random
walks in random environment. Our main focus will be on directionally transient
and reversible random walks on different types of underlying graph structures,
such as , trees and for .Comment: Survey based one of the topics programmed for the St Petersburg
School in Probability and Statistical Physics of June 2012. 64 pages, 16
figure
Rank-dependent Galton-Watson processes and their pathwise duals
We introduce a modified Galton-Watson process using the framework of an
infinite system of particles labeled by , where is the rank of the
particle born at time . The key assumption concerning the offspring numbers
of different particles is that they are independent, but their distributions
may depend on the particle label . For the associated system of coupled
monotone Markov chains, we address the issue of pathwise duality elucidated by
a remarkable graphical representation, with the trajectories of the primary
Markov chains and their duals coalescing together to form forest graphs on a
two-dimensional grid
Biased random walk on critical Galton-Watson trees conditioned to survive
We consider the biased random walk on a critical Galton-Watson tree
conditioned to survive, and confirm that this model with trapping belongs to
the same universality class as certain one-dimensional trapping models with
slowly-varying tails. Indeed, in each of these two settings, we establish
closely-related functional limit theorems involving an extremal process and
also demonstrate extremal aging occurs
Extremes of geometric variables with applications to branching processes
We obtain limit theorems for the row extrema of a triangular array of
zero-modified geometric random variables. Some of this is used to obtain limit
theorems for the maximum family size within a generation of a simple branching
process with varying geometric offspring laws.Comment: 12 pages, some proofs are added to the published versio
Branching processes in random environment
In der folgenden Arbeit werden Eigenschaften von Verzweigungsprozessen in zufälliger Umgebung (engl. branching processes in random environment, kurz BPREs) untersucht. Das Modell geht auf Smith (1969) und Athreya (1971) zurück. Ein BPRE ist ein einfaches mathematisches Modell für die Entwicklung einer Population von apomiktischen (d.h. sich ungeschlechtlich fortpflanzenden) Individuen in diskreter Zeit, wobei die Umgebungsbedingungen einen Einfluß auf den Fortpflanzungserfolg der Individuen haben. Dabei wird angenommen, dass die Umgebungsbedingungen in den einzelnen Generationen zufällig sind, und zwar unabhängig und identisch verteilt von Generation zu Generation. Man denke z.B. an eine Population von Pflanzen mit einem einjährigen Zyklus, die in jedem Jahr anderen Witterungsbedingungen ausgesetzt sind, wobei angenommen wird, dass diese sich unabhängig und identisch verteilt ändern. In Kapitel 1 wird eines der wichtigsten Hilfsmittel zur Beschreibung von BPREs, die sogenannte zugehörige Irrfahrt, eingeführt und die Klassifizierung von BPREs beschrieben. In Kapitel 2 werden bekannte Resultate, insbesondere zu kritischen, schwach subkritischen und stark subkritischen Verzweigungsprozessen, wiederholt. In Kapitel 3 wird der sogenannte intermediär subkritische Fall behandelt. Mithilfe von funktionalen Grenzwertsätzen für bedingte Irrfahrten wird die genaue Asymptotik der Überlebenswahrscheinlichkeit des Prozesses, die bereits in Vatutin (2004) bewiesen wurde, unter etwas allgemeineren Voraussetzungen gezeigt. Anschließend wird untersucht, wie häufig der Prozess, bedingt auf Überleben, nur noch aus einem Individuum besteht. Im letzten Teil des Kapitels wird ein funktionaler Grenzwertsatz für die zugehörige Irrfahrt, bedingt aufs Überleben des Prozesses, gezeigt. Diese konvergiert, richtig skaliert, gegen einen Levy-Prozess, der darauf bedingt ist, sein Minimum am Ende anzunehmen. In Kapitel 4 werden große Abweichungen von BPREs untersucht. Die Ratenfunktion des BPRE wird sowohl für den Fall mindestens geometrisch schnell abfallender Tails, als auch für den Fall von Nachkommenverteilungen mit schweren Tails bestimmt. Wie sich herausstellt, hängt die Ratenfunktion von der Ratenfunktion der zugehörigen Irrfahrt, der exponentiellen Abfallrate der Überlebenswahrscheinlichkeit sowie, bei Nachkommenverteilungen mit schweren Tails, auch von den Tails derselben ab. In der Ratenfunktion spiegeln sich die wahrscheinlichsten Wege, um Ereignisse der großen Abweichungen zu realisieren, wider, was in Kapitel 4.3 beschrieben wird. In Kapitel 4.4 wird im speziellen Fall von Nachkommenverteilungen mit gebrochen-linearer Erzeugendenfunktion die Ratenfunktion für Ereignisse bestimmt, bei denen ein superkritischer BPRE überlebt, aber klein im Vergleich zum Erwartungswert bleibt. In Kapitel 4.5 werden die großen Abweichungen, bedingt auf die Umgebung untersucht (engl. quenched). In diesem Fall können unwahrscheinliche Ereignisse nur über den Verzweigungsmechanismus und nicht mehr über eine außergewöhnliche Umgebung realisiert werden. Zum Abschluss der Dissertation werden Verzweigungsprozesse in zufälliger Umgebung, bedingt auf Überle-ben, simuliert. Dazu wird eine Konstruktion nach Geiger (1999) angewendet. Diese erlaubt es, Galton-Watson Bäume in variierender Umgebung, bedingt auf Überleben, entlang einer Ahnenlinie zu konstruieren. Der Fall geometrischer Nachkommenverteilungen, auf den wir uns in Kapitel 5 beschränken, erlaubt die explizite Berechnung der benötigten Verteilungen. Als Anwendung des Grenzwertsatzes aus Kapitel 3.1 können nun intermediär subkritische Verzweigungsprozesse, bedingt auf Überleben, wie folgt simuliert werden: Zunächst wird die Umgebung zufällig bestimmt, und zwar als Irrfahrt, bedingt darauf ihr Minimum am Ende anzunehmen. Anschließend wird, der Geiger-Konstruktion folgend, ein Verzweigungsprozess in dieser Umgebung, bedingt auf Überleben, simuliert. Zum Abschluss wird in einem kurzen Ausblick auf aktuelle Forschung verwiesen. Im Anhang befinden sich einige technische Resultate
On the scaling limits of Galton Watson processes in varying environment
We establish a general sufficient condition for a sequence of Galton Watson
branching processes in varying environment to converge weakly. This condition
extends previous results by allowing offspring distributions to have infinite
variance, which leads to a new and subtle phenomena when the process goes
through a bottleneck and also in terms of time scales. Our assumptions are
stated in terms of pointwise convergence of a triplet of two real-valued
functions and a measure. The limiting process is characterized by a backwards
ordinary differential equation satisfied by its Laplace exponent, which
generalizes the branching equation satisfied by continuous state branching
processes. Several examples are discussed, namely branching processes in random
environment, Feller diffusion in varying environment and branching processes
with catastrophes.Comment: Tightness is now proved in a separate paper (arXiv 1409.5215
Upper large deviations for Branching Processes in Random Environment with heavy tails
Branching Processes in a Random Environment (BPREs) are a
generalization of Galton Watson processes where in each generation the
reproduction law is picked randomly in an i.i.d. manner. We determine here the
upper large deviation of the process when the reproduction law may have heavy
tails. The behavior of BPREs is related to the associated random walk of the
environment, whose increments are distributed like the logarithmic mean of the
offspring distributions. We obtain an expression of the upper rate function of
, that is the limit of
when . It depends on the rate function of the associated random
walk of the environment, the logarithmic cost of survival
and the polynomial decay
of the tail distribution of . We give interpretations of this rate
function in terms of the least costly ways for the process of
attaining extraordinarily large values and describe the phase transitions. We
derive then the rate function when the reproduction law does not have heavy
tails, which generalizes the results of B\"oinghoff and Kersting (2009) and
Bansaye and Berestycki (2008) for upper large deviations. Finally, we specify
the upper large deviations for the Galton Watson processes with heavy tails
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