Lógicas modales con memoria

Desde la antigüedad hasta hoy, el campo de la lógica ha ido ganando fuerza y actualmente contribuye activamente en muchas áreas distintas, como filosofía, matemática, lingüística, ciencias de la computación, inteligencia artificial, fabricaci ón de hardware, etc. Cada uno de estos escenarios tiene necesidades espec íficas, que van desde requerimientos muy concretos, como un método de inferencia eficiente, hasta propiedades teóricas más abstractas, como un sistema axiomático elegante. Durante muchos años, los lenguajes clásicos (principalmente la lógica de primer orden) eran la alternativa a utilizar, pero esta gran variedad de aplicaciones hizo que otro tipo de lógicas empezaran a resultar atractivas en muchas situaciones. Supongamos que llega el momento de elegir una lógica para una tarea en particular. ¿Cómo podemos decidir cuál es la más adecuada? ¿Qué propiedades deberíamos buscar? ¿Cómo podemos "medir" una lógica con respecto a otras? Éstas no son preguntas sencillas, y no hay una receta general que uno pueda seguir. En esta tesis vamos a restringir estas cuestiones a una familia de lógicas en particular, y en ese contexto vamos a investigar algunos aspectos teóricos que nos van a ayudar a responder parte de estas inquietudes. Podemos aprender mucho estudiando casos particularmente interesantes, y nuestra contribución se va a desarrollar teniendo esa filosofía en mente. Las lógicas modales proposicionales ofrecen una alternativa a los lenguajes tradicionales. Pueden ser pensadas como un conjunto de herramientas que permiten diseñar lógicas específicamente construidas para una tarea en particular, posibilitando tener un control fino en su expresividad. Más aún, las lógicas modales resultaron tener un buen comportamiento computacional que probó ser bastante robusto frente a extensiones. Estas características, entre otras, ubicaron a las lógicas modales como una alternativa atractiva con respecto a los lenguajes clásicos. En este trabajo vamos a presentar una nueva familia de lógicas modales llamada memory logics. Las lógicas modales tradicionales posibilitan describir estructuras relacionales desde una perspectiva local, ¿pero cuál será el resultado si permitimos que una fórmula cambie la estructura en la que está siendo evaluada? Queremos explorar el efecto de agregar a las lógicas modales clásicas una estructura de almacenamiento explícita, una memoria, que permita modelar comportamiento dinámico a través de operadores que permitan almacenar y recuperar información de la memoria. Naturalmente, dependiendo del tipo de estructura de almacenamiento que utilicemos, y de qué operadores tengamos disponibles, la lógica resultante va a tener distintas propiedades que valen la pena investigar. Esta tesis está organizada de la siguiente manera. En el Capítulo 1 empezamos dando un breve resumen de cómo nacieron las lógicas modales, mostrando las diferentes perspectivas con las que históricamente se miró a la lógica modal. Luego presentamos formalmente a la lógica modal básica, y a un conjunto extendido de operadores que permiten apreciar el "estilo" modal de algunos lenguajes más ricos. Este capítulo ánaliza con un primer bosquejo de las memory logics, mostrando cómo pueden ayudar a modelar la noción de estado cuando dejamos a un conjunto como estructura de almacenamiento. El capítulo 2 está dedicado a presentar a las memory logics con detalle. En dicho capítulo mostramos algunos ejemplos que pueden ser descriptos agregando un conjunto a las estructuras relacionales estándar, junto con los operadores usuales sobre conjuntos que permiten agregar elementos y verificar pertenencia. A continuación mostramos otros operadores sobre conjuntos que pueden ser considerados, y discutimos la posibilidad de agregar restricciones a la interacción entre los operadores que trabajan sobre la memoria y los operadores modales. Estas restricciones pueden ser pensadas como una manera de lograr un control más úno en la expresividad. Dado que realizamos cambios en las lógicas modales clásicas, estamos interesados en analizar el impacto que esos cambios causaron en las lógicas resultantes. Por lo tanto, el resto del capítulo presenta un conjunto de herramientas a través de las cuales analizamos esta nueva familia de lógicas. Este conjunto de herramientas puede verse como un esquema que organiza el resto de la tesis, y que permite analizar a las memory logics en téerminos de expresividad, complejidad, interpolación y teoría de prueba. El resto de los capítulos investigan cada uno de estos aspectos en detalle. En los Capítulos 3 y 4 exploramos el poder expresivo de varias memory logics y estudiamos para cada fragmento la decidibilidad del problema de determinar la satisfactibilidad de una fórmula. En los casos decidibles, determinamos la complejidad computacional de cada uno. Analizamos el impacto de los diferentes operadores, su interacción, y también estudiamos otras estructuras de almacenamiento, como la pila. Luego, en el Capítulo 5, analizamos las propiedades de interpolación de Craig y definibilidad de Beth para algunas memory logics. También nos interesa estudiar a las memory logics desde la perspectiva de la teoría de prueba. En los Capítulos 6 y 7 nos volcamos al estudio de axiomatizaciones á la Hilbert y sistemas de tableau, y caracterizamos varios fragmentos usando principalmente técnicas utilizadas en lógicas híbridas. En el Capítulo 8 presentamos nuestras conclusiones, mencionamos algunos problemas abiertos y futuras direcciones de investigación.From ancient times to the present day, the field of logic has gained significant strength and now it actively contributes to many different areas, such as philosophy, mathematics, linguistic, computer science, artificial intelligence, hardware manufacture, etc. Each of these scenarios has specific needs, that range from very concrete requirements, like an efficient inference method, to more abstract theoretical properties, like a neat axiomatic system. Given this wide diversity of uses, a motley collection of formal languages has been developed. For many years, classical languages (mainly classical first order logic) were the alternative, but this assortment of applications made other types of logics also attractive in many situations. Imagine that the time for choosing a logic for some specific task arrives. How can we decide which is the one that fits best? Which properties should we look for? How can we "measure" a logic with respect to others? These are not easy questions, and there is not a general recipe one can follow. In this thesis we are just going to restrict these questions to a particular family of logics, and in that context we will investigate theoretical aspects that help to answer some of these concerns. Much can be discovered by carefully analyzing appealing cases, and our contribution will be developed having that philosophy in mind. Propositional modal logics offer an alternative to traditional languages. They can be regarded as a set of tools that allow to design logics specially tailored for specific tasks, having a fine-grained control on their expressivity. Additionally, modal logics turned out to have a good computational behavior, which proved to be quite robust under extensions. These characteristics, among others, placed modal logics as an attractive alternative to classical languages. In this dissertation we are going to present a new family of modal logics called memory logics. Traditional modal logics enable us to describe relational structures from a local perspective. But what about changing the structure? We want to explore the addition of an explicit storage structure to modal logics, a memory, that allows to model dynamic behavior through explicit memory operators. These operators store or retrieve information to and from the memory. Naturally, depending on which type of storage structure we want, and which memory operators are available, the resulting logic will enjoy different properties that are worth investigating. The thesis is organized as follows. In Chapter 1 we start by giving a brief recap of how modal logic was born, showing the different historical perspectives used to look at modal logic. Then we formally present the basic modal logic and a set of extended operators that helps grasp the modal "flavor" of some richer languages. We finish this chapter by giving a first glance of memory logics, and showing how they can help to model state when we choose to use a set as storage structure. Chapter 2 is devoted to present memory logics in detail. We show some examples that can be described by adding a set to standard relational structures, and the usual set operators to add elements and test membership. We then show some other memory operators that can be considered, and we discuss the possibility of adding constraints to the interplay between memory and modal operators. These constraints can be regarded as a way to have a finer-grained control on the logic expressivity. Since we have made changes to classical modal logics, we are interested in analyzing the impact those changes cause in the resulting logics. Therefore, the rest of this chapter presents a basic logic toolkit through which we can analyze this new family of logics. This toolkit can be seen as an outline that organizes the rest of the thesis and that allows to analyze memory logics in terms of expressivity, complexity, interpolation and proof theory. The rest of the chapters investigate each of these aspects in detail. In Chapters 3 and 4 we explore the expressive power of several memory logics and we study the decidability of their satisfiability problem. In the decidable cases, we determine their computational complexity. We analyze the impact of the different memory operators we consider, and how they interact. We also study other memory containers, such as a stack. Then, in Chapter 5, we analyze Craig interpolation and Beth definability for some memory logic fragments. We also study memory logics from a proof-theoretic perspective. In Chapter 6 and 7 we turn to Hilbert-style axiomatizations and tableau systems, and we characterize several fragments of the memory logic family mostly using techniques borrowed from hybrid logics. We close in Chapter 8 with some concluding remarks, open problems and directions for further research.Fil:Mera, Sergio Fernando. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina

Dynamic Logic for an Intermediate Language: Verification, Interaction and Refinement

This thesis is about ensuring that software behaves as it is supposed to behave. More precisely, it is concerned with the deductive verification of the compliance of software implementations with their formal specification. Two successful ideas in program verification are integrated into a new approach: dynamic logic and intermediate verification language. The well-established technique of refinement is used to decompose the difficult task of program verification into two easier tasks

Automated Deduction – CADE 28

This open access book constitutes the proceeding of the 28th International Conference on Automated Deduction, CADE 28, held virtually in July 2021. The 29 full papers and 7 system descriptions presented together with 2 invited papers were carefully reviewed and selected from 76 submissions. CADE is the major forum for the presentation of research in all aspects of automated deduction, including foundations, applications, implementations, and practical experience. The papers are organized in the following topics: Logical foundations; theory and principles; implementation and application; ATP and AI; and system descriptions

Foundations of Software Science and Computation Structures

This open access book constitutes the proceedings of the 22nd International Conference on Foundations of Software Science and Computational Structures, FOSSACS 2019, which took place in Prague, Czech Republic, in April 2019, held as part of the European Joint Conference on Theory and Practice of Software, ETAPS 2019. The 29 papers presented in this volume were carefully reviewed and selected from 85 submissions. They deal with foundational research with a clear significance for software science