The Surface Laplacian Technique in EEG: Theory and Methods

This paper reviews the method of surface Laplacian differentiation to study EEG. We focus on topics that are helpful for a clear understanding of the underlying concepts and its efficient implementation, which is especially important for EEG researchers unfamiliar with the technique. The popular methods of finite difference and splines are reviewed in detail. The former has the advantage of simplicity and low computational cost, but its estimates are prone to a variety of errors due to discretization. The latter eliminates all issues related to discretization and incorporates a regularization mechanism to reduce spatial noise, but at the cost of increasing mathematical and computational complexity. These and several others issues deserving further development are highlighted, some of which we address to the extent possible. Here we develop a set of discrete approximations for Laplacian estimates at peripheral electrodes and a possible solution to the problem of multiple-frame regularization. We also provide the mathematical details of finite difference approximations that are missing in the literature, and discuss the problem of computational performance, which is particularly important in the context of EEG splines where data sets can be very large. Along this line, the matrix representation of the surface Laplacian operator is carefully discussed and some figures are given illustrating the advantages of this approach. In the final remarks, we briefly sketch a possible way to incorporate finite-size electrodes into Laplacian estimates that could guide further developments.Comment: 43 pages, 8 figure

A Review of the Method of Using the Scalp Electric Field in EEG Analysis

This paper reviews a recent method to study electroencephalogram (EEG) data involving a combination of the surface Laplacian and tangential electric field on the scalp. The method was applied to problems in EEG classification, where it was effective in improving results using data from a variety of experiments. The most relevant result was a 13.3% improvement on the average classification rate of a visual perception task involving nine different two-dimensional images. It also improved performance in language-comprehension and mental-imagery tasks

Effects of EEG-neurofeedback training on brain functional connectivity

Tese de Mestrado Integrado, Engenharia Biomédica e Biofísica, 2022, Universidade de Lisboa, Faculdade de CiênciasO neurofeedback (NF) consiste em medir a atividade cerebral, usando técnicas como a eletroencefalografia (EEG) ou a imagem por ressonância magnética funcional (fMRI), e apresentar ao participante, em tempo real, uma representação de um padrão de atividade de interesse, enquanto lhe é pedido para manipular essa mesma representação através da autorregulação da atividade cerebral (Sitaram et al., 2017). As bases neurofisiológicas desta técnica ainda não são conhecidas na sua totalidade, apesar de vários estudos terem demonstrado que o treino através de NF tende a reorganizar as redes cerebrais. Posto isto, existem poucos estudos que tentam comparar a influência da utilização de diferentes modalidades sensoriais de apresentação do “feedback” nos resultados do treino por NF em EEG, e os poucos estudos existentes não investigam possíveis efeitos nas métricas de conectividade funcional do cérebro. Neste projeto, pretendemos avaliar o efeito da utilização de diferentes modalidades de “feedback” no treino de NF através EEG (EEG-NF) para o incremento da amplitude relativa da banda alfa superior no canal Cz, e investigar se existe um efeito significativo nos padrões de conectividade funcional do cérebro. Para esse fim, será efetuada a análise de dados previamente recolhidos em 20 participantes saudáveis que realizaram quatro sessões de treino por EEG-NF, que visava incrementar a densidade espectral na banda alfa superior, e que utilizaram diferentes modalidades de feedback (visual, realidade virtual (VR), e auditiva). Os dados de EEG foram pré-processados, com remoção de artefactos através de análise de componentes independentes. Adicionalmente, duas técnicas de re-referenciação do sinal EEG foram utilizadas para comparação posterior, sendo estas a re-referenciação para a média de todos os canais EEG, e a re-referenciação através da aplicação de um Laplaciano de Superfície com parâmetro de rigidez de valores 4 e 3, respetivamente. A avaliação dos resultados foi efetuada a diversos níveis, com a análise: i) das variações intra-sessão da amplitude relativa da banda alfa superior no canal Cz, ii) da distribuição topológica da banda alfa superior no decorrer do treino, iii) das variações intrasessão dos padrões de conectividade funcional da banda alfa superior, utilizando a parte imaginária da coerência como métrica de conectividade, e iv) por fim, em termos de uma análise de redes, que visava avaliar a importância de nodos de rede, verificada através das métricas como betweeness centrality e força, da atividade segregada, verificada através da métrica de transitividade, e da atividade integrada, verificada através de métricas como caminho característico e eficiência global da rede cerebral. Relativamente aos resultados para a análise espectral e topológica, encontram-se correlações estatisticamente significativas entre o valor da amplitude relativa da banda alfa superior e o número de set, em todos os grupos, principalmente nas duas primeiras sessões, sendo cada set composto por 6 trials com duração de 30 segundos Posto isto, não são registadas diferenças estatisticamente significativas intra-sessão, isto é, do set 1 para o set 5 de cada sessão. Para a análise topológica, não se realizaram testes de significância, mas é possível visualizar uma acentuação da amplitude relativa da banda alfa superior em zonas parietais/occipitais, e é também possível verificar que o treino realizado, não afetou somente a banda de interesse mas também a banda theta, cuja atividade não focal diminui, a banda alfa inferior, cuja amplitude relativa parece incrementar. Relativamente aos resultados da análise de conetividade, os mesmos sugerem que o treino de EEG-NF para o incremento da banda alfa superior resulta num incremento mais pronunciado nas fases iniciais do treino, isto é, nas duas primeiras sessões de treino. Este incremento é representado pelo do número de canais que apresentam conectividade funcional com a zona parietal central, com canais como o Pz, e com a zona parietal direita, CP6, P4, entre outros, independentemente da modalidade de feedback, ou seja, para a generalidade dos "Learners”. De facto, os próprios canais parietais direitos, P4, P8, CP6, TP10 aumentam de forma estatisticamente significativa a conectividade entre eles. Isto parece indiciar a criação de um complexo focado na zona parietal direita. Em todas as modalidades, à exceção da VR, verifica-se ainda um aumento significativo intra-sessão da transitividade e eficiência global enquanto uma diminuição estatisticamente significativa intra-sessão é observada para a métrica caminho característico. Posto isto, a metodologia de neurofeedback no contexto experimental que foi implementado, parece promover a atividade cerebral segregada, isto é, a atividade que resulta de uma atividade cerebral mais localizada, e também integrada, isto é, que resulta da integração da atividade de áreas cerebrais dispersas. A não existência de variações significativas na modalidade VR não parece estar relacionada com a modalidade em si, mas sim devido a uma menor amostra do respetivo grupo. Assim, futuramente será necessário aumentar a amostra, pelo menos para este grupo, por forma a poderem ser extraídos resultados significativos da análise do mesmo. Interessantemente, e independentemente do método de rereferenciação utilizado, enquanto para o grupo do treino NF para a modalidade visual se observa a partir da terceira sessão de treino a estabilização do número de conexões funcionais entre os diferentes elétrodos, ou seja deixa de haver um crescimento acentuado da transitividade e da eficiência global com diminuição simultânea do caminho característico, para o grupo do treino NF com a modalidade auditiva a generalidade dos incrementos verificados, estão presentes em todas as sessões, incluindo a última sessão. No referente ao estudo sobre o método de re-referenciação dos dados EEG, com interesse específico na utilização de um Laplaciano de superfície comparativamente à simples utilização da média dos sinais EEG, a análise topológica das diferentes bandas cerebrais confirma que a utilização do Laplaciano de superfície contribuiu para aumento da resolução espacial dos dados de EEG, uma vez que atenuou para as diferentes bandas a amplitude relativa da atividade periférica, ou seja não focal, que estará relacionada com frequências espaciais mais baixas. Relativamente à análise da conectividade funcional intra-sessão, verifica-se que a aplicação do Laplaciano se reflete na mudança das configurações de variações de conexões funcionais no cérebro, nomeadamente eliminando determinados aumentos estatisticamente significativos, por exemplo para a sessão 1 dos “Learners”, após a aplicação do Laplaciano de superfície, o incremento da conectividade funcional entre Pz e O2 deixa de ser estatisticamente significativo. Possivelmente, isto poderá estar relacionado com uma eliminação de conexões espúrias. Também na análise de redes, a aplicação do Laplaciano afeta a configuração dos dados e outputs embora não se consiga precisar uma relação causa efeito. Posto isto, a variação da própria configuração do Laplaciano, no que se refere à rigidez do mesmo, de parâmetro m=4 para m=3, não se traduz em resultados tão diferentes, pese embora algumas alterações notadas na análise de redes. De facto, para análise de conectividade funcional, os heatmaps resultantes da aplicação de Laplaciano de superfície com m=4, são exatamente iguais aos heatmaps resultantes da aplicação de Laplaciano de superfície com m=3. Quanto à análise de redes, nomeadamente nas métricas de transitividade, caminho característico e eficiência global, se verificarmos os gráficos e tabelas apresentadas, apesar de serem notados ligeiros desvios quer nas curvas quer em valores de correlação ou variação intra-sessão, o nível de significância é quase sempre atingido, independentemente da rigidez do Laplaciano aplicado, para a mesma sessão. Posto isto, não é possível reportar claramente uma relação causa-efeito vantajosa decorrente da aplicação do Laplaciano de superfície nos dados aqui tratados. De facto, reitera-se que, pela análise topológica se confirma que este possa estar associado a um filtro espacial, mas nas restantes análises não se consegue confirmar se este “melhorou ou não” os nossos dados.Neurofeedback (NF) consists in measuring brain activity and presenting a real-time representation of a brain activity pattern of interest to an individual, while instructing him to manipulate the feedback representation through self-regulation. The neurophysiological basis for NF remains to be fully elucidated, whereas several studies support that NF training tends to reorganize the brain networks. Only a handful of studies compare how different feedback sensory modalities affect the outcomes of EEG-based NF training, and none of them analyzes such effect on the functional connectivity or network metrics. In this project, we evaluate how using different feedback modalities on the EEG-based NFtraining will affect the brain’s functional connectivity, by analyzing previously collected data from a total of 20 healthy subjects, who underwent four sessions of upper-alpha (UA) band EEG-based NF training, with different feedback modalities (visual, auditory, or virtual reality (VR)). The EEG data was preprocessed and re-referenced with three different methods for posterior comparison, the common average reference (avgREF), and spline lines Surface Laplacian with stiffness parameters equals 4 and 3. The data were evaluated in terms of: i) the within-sessions’ variations of the relative amplitude of the UA at the Cz channel, ii) relative band amplitude topological distribution across sets and sessions, iii) the within-sessions’ variations of the UA functional connectivity patterns, computed with the imaginary part of coherency, and iv) an UA band network analysis of the metrics betweenness centrality, strength, transitivity, charpath and global efficiency. Our results suggest that the UA EEG-based NF-training is associated with an early increment of functional connections with channels over parietal areas (e.g. Pz), independently of the feedback sensory modality. All the modalities, except the VR, which had a reduced sample, verify statistically significant intra-session increases in the transitivity and global efficiency, while showing statistically significant intra-session decreases of the charpath, suggesting that this protocol promotes both clustered and integrated brain activity. While for the visual NF-training group the third session seems to be a breakthrough point, where the number of functional connections stabilize, for the auditory NF-training group longer lasting “variations” are reported. Through the topological analysis we confirm that the application of Laplacian leads to higher spatial resolutions on the EEG data. Regarding the connectivity analysis and network analysis, we note that the application of the Surface Laplacian creates different values when compared to the avgREF data, yet no advantageous outcome can be reported

Challenges in Statistical Theory: Complex Data Structures and Algorithmic Optimization

Technological developments have created a constant incoming stream of complex new data structures that need analysis. Modern statistics therefore means mathematically sophisticated new statistical theory that generates or supports innovative data-analytic methodologies for complex data structures. Inherent in many of these methodologies are challenging numerical optimization methods. The proposed workshop intends to bring together experts from mathematical statistics as well as statisticians involved in serious modern applications and computing. The primary goal of this meeting was to advance the mathematical and methodological underpinnings of modern statistics for complex data. Particular focus was given to the advancement of theory and methods under non-stationarity and complex dependence structures including (multivariate) financial time series, scientific data analysis in neurosciences and bio-physics, estimation under shape constraints, and highdimensional discrimination/classification

Probabilistic topographic information visualisation

The focus of this thesis is the extension of topographic visualisation mappings to allow for the incorporation of uncertainty. Few visualisation algorithms in the literature are capable of mapping uncertain data with fewer able to represent observation uncertainties in visualisations. As such, modifications are made to NeuroScale, Locally Linear Embedding, Isomap and Laplacian Eigenmaps to incorporate uncertainty in the observation and visualisation spaces. The proposed mappings are then called Normally-distributed NeuroScale (N-NS), T-distributed NeuroScale (T-NS), Probabilistic LLE (PLLE), Probabilistic Isomap (PIso) and Probabilistic Weighted Neighbourhood Mapping (PWNM). These algorithms generate a probabilistic visualisation space with each latent visualised point transformed to a multivariate Gaussian or T-distribution, using a feed-forward RBF network. Two types of uncertainty are then characterised dependent on the data and mapping procedure. Data dependent uncertainty is the inherent observation uncertainty. Whereas, mapping uncertainty is defined by the Fisher Information of a visualised distribution. This indicates how well the data has been interpolated, offering a level of ‘surprise’ for each observation. These new probabilistic mappings are tested on three datasets of vectorial observations and three datasets of real world time series observations for anomaly detection. In order to visualise the time series data, a method for analysing observed signals and noise distributions, Residual Modelling, is introduced. The performance of the new algorithms on the tested datasets is compared qualitatively with the latent space generated by the Gaussian Process Latent Variable Model (GPLVM). A quantitative comparison using existing evaluation measures from the literature allows performance of each mapping function to be compared. Finally, the mapping uncertainty measure is combined with NeuroScale to build a deep learning classifier, the Cascading RBF. This new structure is tested on the MNist dataset achieving world record performance whilst avoiding the flaws seen in other Deep Learning Machines

Geometric Functional Data Analysis

In this thesis, we introduce a comprehensive framework for the analysis of statistical samples that are functional data with non-trivial geometry. Geometry can interplay with functional data in different forms. The most general setting considered here is that of functional data supported on random non-linear smooth manifolds. This is a situation often encountered in neuroimaging, where modern imaging modalities are now able to produce structural brain representations coupled with functional information. Practitioners have commonly approached the analysis of such data with a two step approach. In the first step the manifolds are registered to a template and in the second step the functional information is analyzed on the template ignoring the registration step. The separation of the two steps precludes studies aimed at understanding how geometric variations relate to functional variations. On the other hand, functional data analysis has mostly developed tools for simplified settings, such as one-dimensional functional samples, limiting their applicability to real data. We formulate a model which is able to jointly represent geometric and functional variations. In this setting, modeling functional information requires the formulation of models able to incorporate structural information on the geometry of the underlying domains, with the aim of mitigating the curse of dimensionality. This is achieved by adopting regularized models involving differential operator penalties. Modeling random smooth manifolds requires the formulation of models constrained to produce `sensible' shapes, e.g. not self-intersecting. This is achieved by means of diffeomorphic flows. The proposed models have been applied to real data to perform studies able to relate structural changes to functional changes, and specifically, to study associations between brain shape and cerebral cortex thickness. We can also deal with more complex functional samples, themselves constrained to lie in a non-linear subspace. This is for instance the case of covariance operators, describing brain connectivity, which are symmetric and positive semi-definite operators. Thanks to the proposed models, we are able to model connectivity as an `object' and study its variations in time or across individuals. We also consider further extensions of this framework to the inverse problems setting, which is the setting where each sample is a latent object, and only indirect measurements are available.EPSRC Centre for Doctoral Training in Analysis (Cambridge Centre for Analysis) EP/L016516/

Review on solving the inverse problem in EEG source analysis

In this primer, we give a review of the inverse problem for EEG source localization. This is intended for the researchers new in the field to get insight in the state-of-the-art techniques used to find approximate solutions of the brain sources giving rise to a scalp potential recording. Furthermore, a review of the performance results of the different techniques is provided to compare these different inverse solutions. The authors also include the results of a Monte-Carlo analysis which they performed to compare four non parametric algorithms and hence contribute to what is presently recorded in the literature. An extensive list of references to the work of other researchers is also provided