Courcelle's Theorem - A Game-Theoretic Approach

Courcelle's Theorem states that every problem definable in Monadic Second-Order logic can be solved in linear time on structures of bounded treewidth, for example, by constructing a tree automaton that recognizes or rejects a tree decomposition of the structure. Existing, optimized software like the MONA tool can be used to build the corresponding tree automata, which for bounded treewidth are of constant size. Unfortunately, the constants involved can become extremely large - every quantifier alternation requires a power set construction for the automaton. Here, the required space can become a problem in practical applications. In this paper, we present a novel, direct approach based on model checking games, which avoids the expensive power set construction. Experiments with an implementation are promising, and we can solve problems on graphs where the automata-theoretic approach fails in practice.Comment: submitte

Cyclability: Combinatorial Properties, Algorithms and Complexity

Ένα γράφημα G καλείται k-κυκλώσιμο, αν για κάθε k από τις κορυφές του υπάρχει ένας κύκλος στο G που τις περιέχει. Η κυκλωσιμότητα ενός γραφήματος G είναι ο μέγιστος ακέραιος k για τον οποίο το G είναι k-κυκλώσιμο και είναι μία παράμετρος που σχετίζεται με τη συνεκτικότητα. Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή μελετάμε, κυρίως από τη σκοπιά της Παραμετρικής Πολυπλοκότητας, το πρόβλημα ΚΥΚΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑ: Δεδομένου ενός γραφήματος G = (V,E) και ενός μη αρνητικού ακεραίου k (η παράμετρος), να αποφασιστεί αν η κυκλωσιμότητα του G είναι ίση με k. Το πρώτο μας αποτέλεσμα είναι αρνητικό και δείχνει ότι η ύπαρξη ενός FPT-αλγορίθμου για την επίλυση του προβλήματος ΚΥΚΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑ είναι απίθανη (εκτός αν FPT = co- W[1], το οποίο θεωρείται απίθανο). Πιο συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι το πρόβλημα ΚΥΚΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑ είναι co-W[1]-δύσκολο, ακόμα και αν περιορίσουμε την είσοδο στο να είναι χωριζόμενο γράφημα. Από την άλλη, δίνουμε έναν FPT-αλγόριθμο για το ίδιο πρόβλημα περιορισμένο στην κλάση των επίπεδων γραφημάτων. Για να το πετύχουμε αυτό αποδεικνύουμε μια σειρά από συνδυαστικά αποτελέσματα σχετικά με την κυκλωσιμότητα και εφαρμόζουμε μια εκδοχή δύο βημάτων της περίφημης τεχνικής της άσχετης κορυφής, που εισήχθη από τους Robertson και Seymour στη σειρά εργασιών τους για Ελλάσονα Γραφήματα, ως ένα κρίσιμο συστατικό του αλγορίθμου τους για την επίλυση του προβλήματος των ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ. Για να αποδείξουμε την ορθότητα του αλγορίθμου μας εισάγουμε έννοιες, όπως αυτή των ζωτικών κυκλικών συνδέσμων, και αποδεικνύουμε αποτελέσματα με ανεξάρτητου γραφοθεωρητικού ενδιαφέροντος. Κλείνουμε τη μελέτη μας με ένα δεύτερο αρνητικό αποτέλεσμα: Αποδεικνύουμε ότι για το πρόβλημα της ΚΥΚΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ δεν υπάρχουν πολυωνυμικοί πυρήνες, ακόμα και αν περιοριστούμε σε κυβικά επίπεδα γραφήματα, εκτός και αν δεν ισχύει μια υπόθεση της κλασσικής Θεωρίας Πολυπλοκότητας (ότι NP υποσύνολο του co-NP/poly).A graph G is called k-cyclable, if for every k of its vertices there exists a cycle in G that contains them. The cyclability of G is the maximum integer k for which G is k-cyclable and it is a connectivity related graph parameter. In this doctoral thesis we study, mainly from the Parameterized Complexity point of view, the Cyclability problem: Given a graph G = (V,E) and an integer k (the parameter), decide whether the cyclability of G is equal to k. Our first result is a negative one and shows that the existence of an FPT-algorithm for solving Cyclability is unlikely (unless FPT = co-W[1], which is considered unlikely). More specifically, we prove that Cyclability is co-W[1]-hard, even if we restrict the input to be a split graph. On the other hand, we give an FPT-algorithm for the same problem when restricted to the class of planar graphs. To do this, we prove a series of combinatorial results regarding cyclability and apply a two-step version of the so called irrelevant vertex technique, which was introduced by Robertson and Seymour in their Graph Minors series (Irrelevant vertices in linkage problems) as a crucial ingredient for their algorithm solving the Disjoint Paths problem. To prove the correctness of our algorithm, we introduce notions, like the one of vital cyclic linkages, and give results of independent graph-theoretic interest. We conclude our study with a negative result: We prove that Cyclability admits no polynomial kernel, even when restricted to cubic planar graphs, unless a classical complexity theoretic assumption (that NP is a subset of co-NP/poly) fails

Linkages in primal-dual graphs

Ένα από τα επιτεύγματα με τη μεγαλύτερη επιρροή στη Θεωρία Γραφημάτων υπήρξε χωρίς αμφιβολία η σειρά εργασιών "Ελλάσσονα Γραφήματα" των Neil Robertson και Paul D. Seymour, στην οποία, έπειτα από 23 εργασίες από το 1983 έως το 2011, κατάφεραν να αποδείξουν την εικασία του Wagner. Η εικασία αυτή λέει ότι η κλάση των μη κατευθυνόμενων γραφημάτων, μερικώς διατεταγμένων με τη σχέση ελλάσσονος γραφήματος, αποτελεί well-quasi- διάταξη ή ισοδύναμα, για κάθε κλάση γραφημάτων που είναι κλειστή ως προς ελλάσσονα υπάρχει ένα σύνολο από απαγορευμένα γραφήματα ως ελλάσσονα. Μπορεί να υποστηριχθεί ότι, δεν είναι τόσο το ίδιο το τελικό αποτέλεσμα, όσο ολόκληρη η θεωρία που αναπτύχθηκε στην πορεία που είχε, και συνεχίζει να έχει, τεράστιο αντίκτυπο τόσο στη συνδυαστική όσο και στην αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων. Μία από τις κυριότερες συνεισφορές τους, η οποία κατέχει και κεντρικό ρόλο στη δουλειά τους, είναι η κατασκευή ενός αλγορίθμου που λύνει το πρόβλημα των ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ σε χρόνο f(k)n^3, όπου k είναι το πλήθος των διακεκριμένων μονοπατιών που μας ζητείται να βρούμε. Το βασικό συστατικό της απόδειξής τους είναι η ονομαστή τεχνική της άσχετης κορυφής (για την οποία οι πλήρεις αποδείξεις δόθηκαν σε επόμενο μέρος της σειράς) που χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην πορεία. Όσο σπουδαίο κι αν αποδείχθηκε πως είναι το παραπάνω αποτέλεσμα, η συνάρτηση f που εξαρτάται από το k και εμφανίζεται στη χρονική πολυπλοκό- τητα του αλγορίθμου, είναι ασύλληπτα μεγάλη ακόμη και για πολύ μικρές τιμές του k. Για τον λόγο αυτόν, πολλοί ερευνητές θέλησαν να βελτιώσουν αυτήν την παραμετρική εξάρτηση από το k, είτε προσπαθώντας να απλοποιήσουν τις περίπλοκες αποδείξεις των δομικών θεωρημάτων για τη γενική περίπτωση, είτε επικεντρώνοντας την προσοχή τους σε συγκεκριμένες κλάσεις γραφημάτων των οποίων τα δομικά χαρακτηριστικά θα οδηγούσαν, ίσως, σε απλούστερες αποδείξεις και καλύτερη παραμετρική εξάρτηση. Ένα μεγάλο βήμα όσον αφορά την πρώτη κατεύθυνση (παρόλο που το φράγμα για το f(k) είναι 2^(2^(2^(2^Ω(k)))) , το οποίο είναι, σαφώς, ακόμη τεράστιο) έγινε από τους Ken-ichi Kawarabayashi και Paul Wollan στο [20]. Ένα αποφασιστικό βήμα προς τη δεύτερη κατεύθυνση, για την κλάση των επίπεδων γραφημάτων, έγινε από τους Isolde Adler, Stavros G. Kolliopoulos, Philipp Klaus Krause, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, και Dimitrios M. Thilikos στο [2], όπου αποδεικνύουν ένα φράγμα για το f(k) που είναι απλά εκθετικό ως προς k. Βασιζόμενοι σε αυτήν την τελευταία εργασία, μελετάμε μια επέκταση του προβλήματος των ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ στην κλάση των πρωτεύοντων- δυϊκών γραφημάτων και χρησιμοποιώντας την ιδέα άσχετης κορυφής, αποδεικ- νύουμε ένα δομικό θεώρημα το οποίο λέει ότι αν το δεντροπλάτος του πρωτεύοντος- δυϊκού γραφήματος μας είναι αρκούντως μεγάλο, τότε υπάρχει (και μπορεί να εντοπιστεί αλγοριθμικά) ένα τμήμα του το οποίο είναι άσχετο και του οποίου η αφαίρεση από το γράφημα οδηγεί σε ένα απλούστερο και ισοδύναμο στιγμιότυπο του προβλήματος. Επίσης, εξηγούμε πως ένας αλγόριθμος για το πρόβλημα των ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ για την κλάση των πρωτεύοντων-δυϊκών γραφημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή αλγορίθμων για προ- βλήματα σε ενεπίπεδα γραφήματα, όπου είναι απαραίτητο να λαμβάνεται υπόψην η τοπολογία της επίπεδης εμβάπτισης που δίνεται ως είσοδος.One of the most influential bodies of work in Graph Theory has, undoubtedly, been the Graph Minor series of Neil Robertson and Paul D. Seymour, where, after 23 papers during the years 1983-2011, they managed to prove Wagner's conjecture. This conjecture states that undirected graphs, partially ordered by the graph minor relationship, form a well-quasi-ordering, or, equivalently, every family of graphs that is closed under minors can be defined by a finite set of forbidden minors. One can argue that it is not just the final result itself, but whole theory built during the procedure which had, and continues to have, a huge impact in both combinatorial and algorithmic Graph Theory. One of their main contributions, which also has a central role in their work, is constructing an algorithm that solves the Disjoint Paths problem in f(k)n^3 steps, where k is the number of disjoint paths that we are asked to find. The key ingredient of their proof is the so called irrelevant-vertex technique (for which full proofs only appeared in latter parts of the series), which has been used extensively thereafter. As great as this result was proved to be, the function f of k that appears in the running time is immense even for very small values of k. Therefore, many researchers tried to improve this parametric dependance on k, either by trying to simplify the complicated proofs of the structural theorems for the general case, or by restricting their attention to specific graph classes whose structural characteristics would hopefully lead to simpler proofs and better parametric dependance. A big step towards the first direction (although the bound of f(k) is 2^(2^(2^(2^Ω(k)))) which is of course still huge) was made by Ken-ichi Kawarabayashi and Paul Wollan in [20]. A decisive step to the second direction, for the class of planar graphs, was made by Isolde Adler, Stavros G. Kolliopoulos, Philipp Klaus Krause, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos in [2], where their bound for f(k) is just single exponential on k. Based on this latter work, we study an extension of the Disjoint Paths problem for the class of pd-graphs and, using on the idea of the irrelevant-vertex technique, we prove a structural theorem which states that if the treewidth of our pd-graph is sufficiently large, then there exists (and can be found algorithmically) a part of it which is irrelevant and whose removal leads to a simpler and equivalent instance. We also illustrate how an algorithm for the Disjoint Paths problem for the class of pd-graphs can be used to construct algorithms for problems on plane graphs, where the it is essential to respect the topology of the plane embedding given as an input

Tight Complexity Bounds for Counting Generalized Dominating Sets in Bounded-Treewidth Graphs

We investigate how efficiently a well-studied family of domination-type problems can be solved on bounded-treewidth graphs. For sets $\sigma,\rho$ of non-negative integers, a $(\sigma,\rho)$-set of a graph $G$ is a set $S$ of vertices such that $|N(u)\cap S|\in \sigma$ for every $u\in S$, and $|N(v)\cap S|\in \rho$ for every $v\not\in S$. The problem of finding a $(\sigma,\rho)$-set (of a certain size) unifies standard problems such as \textsc{Independent Set}, \textsc{Dominating Set}, \textsc{Independent Dominating Set}, and many others. For almost all pairs of finite or cofinite sets $(\sigma,\rho)$, we determine (under standard complexity assumptions) the best possible value $c_{\sigma,\rho}$ such that there is an algorithm that counts $(\sigma,\rho)$-sets in time c_{\sigma,\rho}^\tw\cdot n^{\O(1)} (if a tree decomposition of width \tw is given in the input). Let \sigMax denote the largest element of $\sigma$ if $\sigma$ is finite, or the largest missing integer $+1$ if $\sigma$ is cofinite; \rhoMax is defined analogously for $\rho$. Surprisingly, $c_{\sigma,\rho}$ is often significantly smaller than the natural bound \sigMax+\rhoMax+2 achieved by existing algorithms [van Rooij, 2020]. Toward defining $c_{\sigma,\rho}$, we say that $(\sigma, \rho)$ is \mname-structured if there is a pair $(\alpha,\beta)$ such that every integer in $\sigma$ equals $\alpha$ mod \mname, and every integer in $\rho$ equals $\beta$ mod \mname. Then, setting \begin{itemize} \item c_{\sigma,\rho}=\max\{\sigMax,\rhoMax\}+1 if $(\sigma,\rho)$ is \mname-structured for some \mname \ge 3, or 2-structured with \sigMax\neq \rhoMax, or 2-structured with \sigMax=\rhoMax being odd, \item c_{\sigma,\rho}=\max\{\sigMax,\rhoMax\}+2 if $(\sigma,\rho)$ is 2-structured, but not \mname-structured for any \mname \ge 3, and \sigMax=\rhoMax is even, and \item c_{\sigma,\rho}=\sigMax+\rhoMax+2 if $(\sigma,\rho)$ is not \mname-structured for any \mname\ge 2, \end{itemize} we provide algorithms counting $(\sigma,\rho)$-sets in time c_{\sigma,\rho}^\tw\cdot n^{\O(1)}. For example, for the \textsc{Exact Independent Dominating Set} problem (also known as \textsc{Perfect Code}) corresponding to $\sigma=\{0\}$ and $\rho=\{1\}$, this improves the 3^\tw\cdot n^{\O(1)} algorithm of van Rooij to 2^\tw\cdot n^{\O(1)}. Despite the unusually delicate definition of $c_{\sigma,\rho}$, we show that our algorithms are most likely optimal, i.e., for any pair $(\sigma, \rho)$ of finite or cofinite sets where the problem is non-trivial (except those having cofinite $\sigma$ with $\rho=\mathbb Z_{\ge0}$), and any $\varepsilon>0$, a (c_{\sigma,\rho}-\varepsilon)^\tw\cdot n^{\O(1)}-algorithm counting the number of $(\sigma,\rho)$-sets would violate the Counting Strong Exponential-Time Hypothesis (\#SETH). For finite sets $\sigma$ and $\rho$, our lower bounds also extend to the decision version, showing that our algorithms are optimal in this setting as well. In contrast, for many cofinite sets, we show that further significant improvements for the decision and optimization versions are possible using the technique of representative sets

Fast algorithms for decomposable graphs

A celebrated theorem by Courcelle states that every problem definable in monadic second-order logic (MSO) can be solved in linear time on graphs of bounded treewidth. This meta-theorem along with its extensions by Arnborg, Lagergren, and Seese as well as by Courcelle and Mosbah explains, why many important graph problems that are NP-hard on general graphs can be solved efficiently on tree-decomposable graphs. Such problems include, for instance, Vertex Cover, Dominating Set, 3-Colorability, Steiner Tree, Max-Cut, and Hamiltonian Cycle. The standard proof of Courcelle's Theorem is to translate the MSO-formula into a finite-state tree automaton that accepts a tree decomposition of the input graph iff the graph is a model for the MSO-formula. Existing, optimized software such as MONA can be used to construct the corresponding tree automaton, which for bounded treewidth is of constant size. Unfortunately, the constants involved can become extremely large - every quantifier alternation in the MSO formula requires a power set construction for the automaton. Here, the required space causes severe problems in practical applications. In this thesis, we develop a novel approach based on model checking games, also known as Hintikka games. We show that one can construct the model checking game via a linear-time dynamic programming algorithm on a tree decomposition of the input graph. To make the size of the games manageable in practical settings, we introduce a three-valued extension of the classical model checking game and a technique that we call "early determinization." Furthermore, we describe our implementation of the resulting MSO model checking algorithm for graphs of bounded treewidth and present experimental results. These indicate that for some natural optimization problems our approach is a suitable alternative to Integer Linear Optimization

Fixed parameter algorithms for answer set programming

Zsfassung in dt. SpracheAnswer Set Programming (ASP) hat sich in den letzten Jahren als geeignete Methode etabliert, um kombinatorische Probleme zu lösen. ASP Programme lassen sich jedoch nur mit großem Aufwand berechnen. Zu ermitteln ob ein ASP Programm widerspruchsfrei ist, ist auf der zweiten Stufe der polynomiellen Hierarchie. Die parameterisierte Komplexitätstheorie ist ein vielversprechender Ansatz, allgemein schwer berechenbare Probleme zu behandeln. Hierbei wird nicht nur die Größe des Problems, sondern auch ein weiterer Wert, der Problemparameter, betrachtet. Einige Probleme sind leicht berechenbar wenn man den Problemparameter beschränkt, diese werden parametrisierbar genannt. Ein solcher Parameter ist die Baumbreite. Sie gibt an wie stark ein Graph einem Baum entspricht. ASP Programme können als Graphen dargestellt werden und besitzen daher eine Baumbreite. Mit Hilfe von monadischer Logik zweiter Ordnung und Courcelle's Theorem wurde bewiesen, dass der Test auf Widerspruchsfreiheit eines ASP Programms parametrisierbar ist.Die Auswertung von monadischer Logik zweiter Ordnung (via Baumautomaten) ist jedoch nicht praktikabel, daher war dieses Ergebnis bisher nur von theoretischem Interesse. Wir stellen einen praktischen Algorithmus vor, der effizient ermittelt ob ein parametrisierbares ASP Programm widerspruchsfrei ist. Weiters geben wir Algorithmen an, die die Anzahl der Lösungen eines ASP Programms berechnen und alle Lösungen aufzählen.Mit Hilfe dynamischer Programmierung stellen wir in linearer Zeit fest, ob ein parametrisierbares ASP Programm widerspruchsfrei ist. Unter der Annahme, dass arithmetische Operationen und Mengenoperationen jeweils nur eine Zeiteinheit benötigen, berechnen wir in linearer Zeit wieviele Lösungen es gibt, und, dass beim Aufzählen aller Lösungen die Wartezeit zwischen zwei Lösungen linear in der Größe der Probleminstanz beschränkt ist. Anhand einer prototypischen Implementierung können wir experimentell bestätigen, dass wir für Baumbreiten bis zu sechs, sehr gute Laufzeiten beim Zählen der Lösungen haben. Der direkte Vergleich mit einem aktuellen ASP System zeigt, dass die Laufzeit beim Aufzählen aller Lösungen kompetitiv ist. Lediglich der Test auf Widerspruchsfreiheit liegt hinter aktuellen Systemen.Answer Set Programming (ASP) has gained much interest in the last decade and is an increasingly acknowledged paradigm for solving combinatorial problems. In general, determining whether an ASP program has at least one solution, that is, the ASP consistency problem, is already on the second level of the polynomial hierarchy. Parameterized complexity is a promising approach to deal with such intractable problems. It considers the problem-complexity not only as a function of the problem size, but also an additional problem-parameter. Hard problems may become tractable, if this problem-parameter is bounded by a fixed constant, they are then called fixed parameter tractable. One such parameter is treewidth, it measures how close a graph resembles a tree.ASP programs can be encoded as graphs and have a treewidth. Using this approach, ASP consistency has been shown to be fixed parameter tractable via monadic second order logic and Courcelle's Theorem. Since the evaluation of monadic second order logic formulae (via tree automata) proved unpractical, this result was only of theoretical value. In this thesis, we propose practical algorithms to efficiently solve the ASP consistency problem. Additionally two more algorithms for problems of ASP, namely the counting problem (compute the number of solutions) and enumeration problem (compute each solution) are shown. Our dynamic programming algorithms solve the ASP consistency problem in linear time.Further, assuming unit cost for arithmetic and set operations, the number of solutions can be computed in linear time, and the enumeration problem is shown to have linear delay. That is, the time between two solution is linearly bounded by the size of the problem instance.Finally, our experiments with a prototype implementation show unprecedented performance for the counting problem. For the enumeration problem, our implementation is comparable to state of the art ASP solvers for a treewidth up to six, only for the ASP consistency problem, we significantly lie behind standard solvers.14

Efficient problem solving based on datalog transformations

Zsfassung in dt. SpracheViele interessante algorithmische Probleme in der Computerwissenschaft können im Allgmeinen nur mit hohem Aufwand auf einer Rechenmaschine gelöst werden.In diesem Zusammenhang sind in den letzten Jahren parametrisierbare Probleme immer wichtiger geworden. Es konnte gezeigt werden, dass viele harte Probleme effizient lösbar werden, wenn ein Parameter durch eine Konstante begrenzt ist. Besitzt ein Problem diese Eigenschaft, bezeichnet man es als fixedparameter- lösbar (engl. fixed-parameter tractable). Bei Problemen aus dem Bereich der Graphentheorie ist die Baumweite (engl. treewidth) ein solcher Parameter.Aufgrund des Courcelle'schen Theorems wissen wir, dass sämtliche Grapheigenschaften, die sich mittels Monadic Second Order Logic (MSO) ausdr ücken lassen, auf Graphen mit beschränkter Baumweite effizient entscheidbar sind. Gottlob et al. haben vor kurzem Monadisches Datalog (jedes Prädikat ist einstellig) über Strukturen mit beschränkter Baumweite als Alternative zu (MSO) vorgeschlagen. Dieser Ansatz sieht theoretisch vielversprechend aus.Eine praktische Evaluierung war aber bislang ausständig. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde der Prozess zur allgemeinen Verarbeitung - vom zugrunde liegenden Problem unabhängig - dieser Datalogregeln implementiert. Am Beispiel des Programms SAT wurde die automatische Transformation von Monadischem Datalog in "normales" Datalog für die verwendeten Datalog Interpreter (DLV, DLV Complex und DLV Complex mit externem Prädikat) durchgeführt und die Applikation mit unterschiedlichen Parametern ausführlich getestet. Als Ergebnis konnte gezeigt werden, dass dieser Ansatz ein großes Potential hat und mit Hilfe von allgemeinen Datalog Interpretern realisiert werden kann. Zudem hat sich herausgestellt, dass dieses Thema noch viel Potential zur Verbesserung bietet.Many interesting algorithmic problems in computer science are well known to be intractable and solvable only with high computational effort. In the recent years parameterized complexity as a new paradigm came up and is getting more and more important. It has turned out that many hard (intractable) problems become tractable if some problem parameter is fixed or bounded by a fixed constant.Problems having such a property are called fixed-parameter tractable (FPT). In case of graph problems the treewidth of a graph is such a constant parameter. By Courcelle's Theorem, we know that all graph properties expressible in Monadic Second Order Logic (MSO) can be efficiently decided on graphs with bounded treewidth. Gottlob et al. have recently proposed monadic datalog (i.e., all intensional predicates are unary) over structures with bounded treewidth as an alternative to Monadic Second Order Logic (MSO). This approach looks theoretically very promising. However, a practical evaluation has been missing so far.In this thesis we implement an evaluation process for datalog rules abstracted from the underlying problem. Using the example of the program SAT we implemented the automatic transformation from monadic datalog to "normal" datalog for the used datalog engine (DLV, DLV Complex and DLV Complex with external predicate) and tested our application with various parameters. As a result we could show that this approach is feasible, has (a lot of) potential and can be implemented using a generic datalog system. Further more we discovered that there is room for further improvements.8

K-best enumeration - theory and application

Where an optimal solution does not contain sufficient information about a given problem instance, enumerating good solutions is a common coping strategy. In combinatorial optimization, k-best enumeration, or ranking, has been studied and applied extensively. The k shortest simple path problem in directed, weighted graphs (kSSP), introduced in 1963 by Clarke, Krikorian and Rausen, is particularly well known. Efficient existing algorithms are based on Yen's algorithm for this problem; they all feature a worst-case running time of O(kn(m + n log n)) on a graph with n vertices and m edges. Vassilevska Williams and Williams show that a polynomially faster kSSP algorithm would also result in an algorithm for the all-pairs shortest path problem with running time O(n\^{3-ε}), which seems unlikely at the moment. We present a kSSP algorithm that is not based on Yen's algorithm, matching the state-of-the-art running time of O(kn(m + n log n)). In particular, we do not solve a single instance of the replacement path problem, a basic building block of Yen's algorithm. Instead, we make use of ideas used in Eppstein's algorithm for a similar problem where paths are allowed to be non-simple. Using our algorithm, one may find Θ(m) simple paths with a single shortest path tree computation and additional O(m + n) time per path in well-behaved cases. We also propose practical improvements for our algorithm, comprising dynamic edge pruning, lazy shortest path tree computations, and fast path simplicity checks. In a detailed computational study, we demonstrate that well-behaved cases are quite common in random graphs, grids and road networks. We showcase usefulness of the dynamic edge pruning approach on those three graph classes and on network topology graphs. Despite 40 years of heavy research on Yen-based kSSP algorithms, including involved algorithm engineering, our algorithm proves to be faster than existing algorithms by at least an order of magnitude. However, there is not much room for improvement for the general worst case. We demonstrate that kSSP can be solved considerably faster if the input graph is restricted to have bounded treewidth. Specifically, we propose an algorithm template for enumerating the k best solutions in a bounded treewidth graph for any problem that can be expressed in counting monadic second-order logic. Our template is a generalization of Courcelle's theorem, mainly utilizing dynamic programming and a persistent heap data structure. It enumerates any constant amount of solutions in time O(n). For general k, it requires O(log n) extra time per solution, resulting in a total running time of O(n + k log n). Finding the initial solution is parallelizable, so the linear term can be dropped and we obtain a running time of O(k log n) in the PRAM model. The class of problems expressible in counting monadic second order logic contains kSSP, matching problems, or the spanning tree problem, but also a number of NP-hard problems like the traveling salesman problem, where we achieve a doubly-exponential speedup