Lifted edges as connectivity priors for multicut and disjoint paths

This work studies graph decompositions and their representation by 0/1 labeling of edges. We study two problems. The first is multicut (MC) which represents decompositions of undirected graphs (clustering of nodes into connected components). The second is disjoint paths (DP) in directed acyclic graphs where the clusters correspond to node- disjoint paths. Unlike an alternative representation by node labeling, the number of clusters is not part of the input but is fully determined by the costs of edges. Our main interest is to study connectivity priors represented by so-called lifted edges in the two problems. The cost of a lifted edge expresses whether its endpoints should belong to the same cluster (path) in the optimal decomposition. We call the resulting problems lifted multicut (LMC) and lifted disjoint paths (LDP). The extension of MC to LMC was originally motivated by image segmentation where the information about the connectivity between non-neighboring pixels or superpixels led to a significant quality improvement. After that, LMC was successfully applied to other problems like multiple object tracking (MOT) which is also the main application of our proposed LDP model. Our study of lifted multicut concentrates on partial LMC represented by labeling of a subset of (lifted) edges. Given partial labeling, we conclude that deciding whether a complete LMC consistent with the partial labels exists is NP-complete. Similarly, we conclude that deciding whether an unlabeled edge exists such that its label is determined by the labels of other edges is NP-hard. After that, we present metrics for comparing (partial) graph decompositions. Finally, we study the properties of the LMC polytope. The largest part of this work is dedicated to the proposed LDP problem. We prove that this problem is NP-hard and propose an optimal integer linear programming (ILP) solver. In order to enable its global optimization, we formulate several classes of linear inequalities that produce a high-quality LP relaxation. Additionally, we propose efficient cutting plane algorithms for separating the proposed linear inequalities. Despite the advanced constraints and efficient separation routines, the general time complexity of our optimal ILP solver remains exponential. In order to solve even larger instances, we introduce an approximate LDP solver based on Lagrange decomposition. LDP is a convenient model for MOT because the underlying disjoint paths model naturally leads to trajectories of objects. Moreover, lifted edges encode long-range temporal interactions and thus help to prevent id switches and re-identify persons. Our tracker using the optimal LDP solver achieves nearly optimal assignments w.r.t. input detections. Consequently, it was a leading tracker on three benchmarks of the MOT challenge MOT15/16/17, improving significantly over state-of-the-art at the time of its publication. Our approximate LDP solver enables us to process the MOT15/16/17 benchmarks without sacrificing solution quality and allows for solving large and dense instances of a challenging dataset MOT20. On all these four standard MOT benchmarks we achieved performance comparable or better than state-of-the-art methods (at the time of publication) including our tracker based on the optimal LDP solver.Diese Arbeit studiert Graphenzerlegungen und ihre Repräsentation durch 0/1-wertige Kantenbelegungen. Das erste Problem ist das Mehrfachschnittproblem. Es repräsentiert Zerlegungen von ungerichteten Graphen (Cluster von Knoten sodass jeder Cluster eine Zusammenhangskomponente repräsentiert). Das zweite Problem ist die Suche von disjunkten Pfaden in einem gerichteten azyklischen Graph in dem die Cluster knotendisjunkten Pfaden entsprechen. Im Unterschied zu der alternativen Repräsentation durch Knotenbelegungen ist die Zahl von Clustern nicht im Voraus gegeben, sondern sie ist abhängig von den Kosten der Kanten. Der Fokus dieser Arbeit ist die Erforschung von hochgezogenen Kannten, die eine apriori Information über Verbundenheit von Knoten in Clustern respektive durch Pfade in den zwei Problemen darstellen. Die Kosten einer hochgezogenen Kante drücken aus, ob ihre Knoten zu dem gleichen Cluster (Pfad) in der optimalen Zerlegung gehören sollten. Wir bezeichnen diese neuen Probleme als das hochgezogene Mehrfachschnittproblem und das Problem der hochgezogenen disjunkten Pfade. Die Erweiterung des Mehrfachschnittproblems zu dem hochgezogenen Mehrfachschnittproblem wurde ursprünglich durch die Bildsegmentierung motiviert, für die die Information über Verbundenheit von nicht benachbarten Pixeln oder Superpixeln zu einer bedeutenden Verbesserung der Qualität führte. Danach wurde das hochgezogene Mehrfachschnittproblem zu der Lösung von anderen Problemen wie zum Beispiel der Verfolgung von mehreren Objekten in einem Video angewendet. Diese Aufgabe ist auch die Hauptanwendung des vorgeschlagenen Problems der hochgezogenen disjunkte Pfade. In unserer Untersuchung des hochgezogenen Mehrfachschnittproblems konzentrieren wir uns auf das teilweise hochgezogene Mehrfachschnittproblem. Das Problem wird durch eine Belegung einer Teilmenge der (hochgezogenen) Kanten repräsentiert. Wir beweisen, dass es NP-vollständig ist zu entscheiden, ob ein kompletter hochgezogener Mehrfachschnitt existiert, der einer gegebenen teilweisen Kantenbezeichnung entspricht. In analogerWeise beweisen wir, dass es NP-schwer ist zu entscheiden, ob eine nicht belegte Kante existiert, deren Belegung durch die Belegungen anderer Kanten entschieden ist. Danach präsentieren wir Metriken zum Vergleich von (teilweisen) Graphenzerlegungen. Schließlich untersuchen wir Eigenschaften des hochgezogenen Mehrfachschnitt-Polytops. Der größte Teil dieser Arbeit widmet sich dem von uns vorgeschlagenen Problem der hochgezogenen disjunkten Pfade. Wir beweisen, dass es NP-schwer ist. Wir formulieren es als ein ganzzahliges lineares Optimierungsproblem und implementieren ein Programm für dessen optimale Lösung. Um die globale Optimierung zu ermöglichen, formulieren wir mehrere Klassen von linearen Ungleichungen, die zu einer linearen Relaxierung mit einer hohen Qualität führen. Zusätzlich präsentieren wir ein effektives Schnittebenenverfahren für die Separierung der vorgeschlagenen Ungleichungen. Trotz der fortgeschrittenen Ungleichungen und der Effizienz der Schnittebenenseparierung in unserem optimalen Löser bleibt die allgemeine Komplexität des Algorithmus exponentiell. Um noch kompliziertere Instanzen zu lösen, präsentieren wir einen approximativen Löser, der auf Lagrange-Dualität aufbaut. Hochgezogene disjunkte Pfade sind ein praktisches Modell für die Verfolgung von mehreren Objekten, weil die disjunkten Pfade eine natürliche Repräsentation von Trajektorien der Objekten darstellen. Außerdem repräsentieren die hochgezogenen Kanten Interaktionen einer langen zeitlichen Reichweite. Deswegen helfen sie dieselbe Person in zeitlich weiter auseinander liegenden Zeitpunkten wieder zu identifizieren und Verwechselungen ihrer Identität zu verhindern. Aus diesem Grund war unsere Methode zur Zeit ihrer Publikation die beste für drei Vergleichsdatensätzen MOT Challenge MOT15/16/17 für die Verfolgung von mehreren Objekten. Im Vergleich zu den bisherigen besten Methoden war ihre Leistung sogar bedeutend höher. Unsere approximative Methode für hochgezogene disjunkte Pfade ermöglicht uns die Vergleichsdatensätzen MOT15/16/17 zu verarbeiten ohne die Qualität der Lösungen zu vermindern und erlaubt uns, die großen Instanzen mit hoher Personendichte des anspruchsvolleren Datensatzes MOT20 zu lösen. Zur Zeit ihrer Publikation erreichte die Methode vergleichbare oder bessere Ergebnisse als die bisherigen besten Methoden einschließlich unseres optimalen Löser für hochgezogene disjunkte Pfade

Towards a Polynomial Kernel for Directed Feedback Vertex Set

In the Directed Feedback Vertex Set (DFVS) problem, the input is a directed graph D and an integer k. The objective is to determine whether there exists a set of at most k vertices intersecting every directed cycle of D. DFVS was shown to be fixed-parameter tractable when parameterized by solution size by Chen, Liu, Lu, O\u27Sullivan and Razgon [JACM 2008]; since then, the existence of a polynomial kernel for this problem has become one of the largest open problems in the area of parameterized algorithmics. In this paper, we study DFVS parameterized by the feedback vertex set number of the underlying undirected graph. We provide two main contributions: a polynomial kernel for this problem on general instances, and a linear kernel for the case where the input digraph is embeddable on a surface of bounded genus

Exact Localisations of Feedback Sets

The feedback arc (vertex) set problem, shortened FASP (FVSP), is to transform a given multi digraph $G=(V,E)$ into an acyclic graph by deleting as few arcs (vertices) as possible. Due to the results of Richard M. Karp in 1972 it is one of the classic NP-complete problems. An important contribution of this paper is that the subgraphs $G_{\mathrm{el}}(e)$, $G_{\mathrm{si}}(e)$ of all elementary cycles or simple cycles running through some arc $e \in E$, can be computed in $\mathcal{O}\big(|E|^2\big)$ and $\mathcal{O}(|E|^4)$, respectively. We use this fact and introduce the notion of the essential minor and isolated cycles, which yield a priori problem size reductions and in the special case of so called resolvable graphs an exact solution in $\mathcal{O}(|V||E|^3)$. We show that weighted versions of the FASP and FVSP possess a Bellman decomposition, which yields exact solutions using a dynamic programming technique in times $\mathcal{O}\big(2^{m}|E|^4\log(|V|)\big)$ and $\mathcal{O}\big(2^{n}\Delta(G)^4|V|^4\log(|E|)\big)$, where $m \leq |E|-|V| +1$, $n \leq (\Delta(G)-1)|V|-|E| +1$, respectively. The parameters $m,n$ can be computed in $\mathcal{O}(|E|^3)$, $\mathcal{O}(\Delta(G)^3|V|^3)$, respectively and denote the maximal dimension of the cycle space of all appearing meta graphs, decoding the intersection behavior of the cycles. Consequently, $m,n$ equal zero if all meta graphs are trees. Moreover, we deliver several heuristics and discuss how to control their variation from the optimum. Summarizing, the presented results allow us to suggest a strategy for an implementation of a fast and accurate FASP/FVSP-SOLVER

Towards a Polynomial Kernel for Directed Feedback Vertex Set

In the DIRECTED FEEDBACK VERTEX SET (DFVS) problem, the input is a directed graph D and an integer k. The objective is to determine whether there exists a set of at most k vertices intersecting every directed cycle of D. DFVS was shown to be fixed-parameter tractable when parameterized by solution size by Chen et al. (J ACM 55(5):177–186, 2008); since then, the existence of a polynomial kernel for this problem has become one of the largest open problems in the area of parameterized algorithmics. Since this problem has remained open in spite of the best efforts of a number of prominent researchers and pioneers in the field, a natural step forward is to study the kernelization complexity of DFVS parameterized by a natural larger parameter. In this paper, we study DFVS parameterized by the feedback vertex set number of the underlying undirected graph. We provide two main contributions: a polynomial kernel for this problem on general instances, and a linear kernel for the case where the input digraph is embeddable on a surface of bounded genus

Proceedings of the 8th Cologne-Twente Workshop on Graphs and Combinatorial Optimization

International audienceThe Cologne-Twente Workshop (CTW) on Graphs and Combinatorial Optimization started off as a series of workshops organized bi-annually by either Köln University or Twente University. As its importance grew over time, it re-centered its geographical focus by including northern Italy (CTW04 in Menaggio, on the lake Como and CTW08 in Gargnano, on the Garda lake). This year, CTW (in its eighth edition) will be staged in France for the first time: more precisely in the heart of Paris, at the Conservatoire National d’Arts et Métiers (CNAM), between 2nd and 4th June 2009, by a mixed organizing committee with members from LIX, Ecole Polytechnique and CEDRIC, CNAM