A Fast Algorithm Finding the Shortest Reset Words

In this paper we present a new fast algorithm finding minimal reset words for finite synchronizing automata. The problem is know to be computationally hard, and our algorithm is exponential. Yet, it is faster than the algorithms used so far and it works well in practice. The main idea is to use a bidirectional BFS and radix (Patricia) tries to store and compare resulted subsets. We give both theoretical and practical arguments showing that the branching factor is reduced efficiently. As a practical test we perform an experimental study of the length of the shortest reset word for random automata with $n$ states and 2 input letters. We follow Skvorsov and Tipikin, who have performed such a study using a SAT solver and considering automata up to $n=100$ states. With our algorithm we are able to consider much larger sample of automata with up to $n=300$ states. In particular, we obtain a new more precise estimation of the expected length of the shortest reset word $\approx 2.5\sqrt{n-5}$.Comment: COCOON 2013. The final publication is available at http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-38768-5_1

Study of random w-trees and automaton synchronization

En aquest treball s'han investigat numèricament i analíticament les propietats de sincronització de paraules repetides en autòmats finits deterministes. Es presenta un algorisme polinomi O(n^2) per trobar paraules curtes de sincronització basades en arbres w. L'algorisme és capaç de trobar paraules sincronitzadores de longitud proporcional a (n log(n))^0.5 amb autòmats de mida de fins a uns quants centenars de milers d'estats. També es presenten resultats experimentals sobre l'alçada dels arbres w que mostren que l'alçada mitjana de l'arbre és de O((n/k)^0.5). A més, en aquest estudi es porta a terme el modelatge del procés de sincronització aleatori de DFA per cadenes de Markov. També es presenten tres estimacions diferents justificades experimentalment per a la longitud mitjana de la paraula de sincronització més curta, que indiquen que la longitud de la paraula de reinici més curta és proporcional a l'arrel quadrada de la mida de l'autòmat.En este trabajo se investigaron numérica y analíticamente las propiedades de sincronización de palabras repetidas en autómatas finitos deterministas. Se presenta un algoritmo polinomial O (n ^ 2) para encontrar palabras sincronizadas cortas basadas en árboles w. El algoritmo es capaz de encontrar palabras de sincronización de longitud proporcional a (n log(n))^0.5 con autómatas de tamaño de unos pocos cientos de miles de estados. También se presentan resultados experimentales sobre la altura de los árboles w los cuales muestran que la altura media de los árboles es de O((n/k)^0.5). Además, en este estudio se lleva a cabo el modelado del proceso de sincronización aleatoria DFA por cadenas de Markov. También se presentan tres estimaciones diferentes justificadas experimentalmente para la longitud media de la palabra de sincronización más corta, lo que indica que la longitud de la palabra de reinicio más corta es proporcional a la raíz cuadrada del tamaño del autómata.The synchronization properties of repeated words on deterministic finite automata were investigated numerically and analytically in this work. A polynomial O(n^2) algorithm for finding short synchronizing words based on w-trees is presented. The algorithm is capable of finding synchronizing words of length proportional to (n log(n))^0.5 with automata of size up to a few hundred thousand states. Experimental results on the height of w-trees is also presented showing that the mean tree height is of O((n/k)^0.5). Furthermore, the modeling of the random DFA synchronization process by Markov chains is carried out in this study. Three different experimentally justified estimates for the mean shortest synchronizing word length are presented as well indicating that the shortest resetting word length is proportional to the square root of the automaton size