A note on the Cops & Robber game on graphs embedded in non-orientable surfaces

The Cops and Robber game is played on undirected finite graphs. A number of cops and one robber are positioned on vertices and take turns in sliding along edges. The cops win if they can catch the robber. The minimum number of cops needed to win on a graph is called its cop number. It is known that the cop number of a graph embedded on a surface $X$ of genus $g$ is at most $3g/2 + 3$, if $X$ is orientable (Schroeder 2004), and at most $2g+1$, otherwise (Nowakowski & Schroeder 1997). We improve the bounds for non-orientable surfaces by reduction to the orientable case using covering spaces. As corollaries, using Schroeder's results, we obtain the following: the maximum cop number of graphs embeddable in the projective plane is 3; the cop number of graphs embeddable in the Klein Bottle is at most 4, and an upper bound is $3g/2 + 3/2$ for all other $g$.Comment: 5 pages, 1 figur

Graph Theory

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LIPIcs, Volume 248, ISAAC 2022, Complete Volume

LIPIcs, Volume 248, ISAAC 2022, Complete Volum

Exact Algorithms for NP-hard Problems on Networks: Design, Analysis, and Implementation

Die Arbeit befasst sich mit dem Entwurf von exakten Algorithmen für verschiedene NP-vollständige Optimierungsprobleme auf Graphen, wie etwa Vertex Cover, Independent Set, oder Dominating Set. Viele praxisbezogene Aufgaben, beispielsweise sogenannte 'facility location'-Probleme aus dem Bereich der Entscheidungsanalyse (decision analysis), sind durch entsprechende Netzwerk-Modellierung auf derartige Fragestellungen zurückzuführen. Im Vordergrund der Arbeit stehen Lösungsverfahren mit beweisbaren Laufzeitschranken. Wegen der solchen Problemen inhärenten, hohen kombinatorischen Komplexität müssen wir exponentielles Laufzeitverhalten unserer Algorithmen in Kauf nehmen, wollen dieses jedoch kleinstmöglich halten. Wir verfolgen dabei den jüngst vorgeschlagenen Ansatz sogenannter 'parametrisierter Algorithmen'. Vereinfacht gesagt handelt es sich hierbei um eine zweidimensionale Herangehensweise, bei welcher die Laufzeit nicht ausschlie3lich in der Grö3e der Eingabeinstanz, sondern überdies auch in der Grö3e eines sogenannten 'Problemparameters' gemessen wird. Dabei untersuchen wir sowohl von theoretischer, als auch von praktischer Seite unterschiedliche Methoden des Algorithmen-Designs: Datenreduktion, beschränkte Suchbäume, Separation von Graphen und das Konzept von Baumzerlegungen. Schlie3lich stellen wir ein Software-Paket vor, welches im Rahmen dieses Projektes entwickelt wurde und eine Vielzahl der entwickelten Algorithmen implementiert. Wir berichten über eine Reihe von empirischen Studien zur Auswertung der Praxistauglichkeit dieser Algorithmen.This thesis deals with the design of exact algorithms for various NP-complete optimization problems on graphs like Vertex Cover, Independent Set, or Dominating Set. We encounter such problems in a broad variety of application ranges, e.g., when modelling so-called facility location tasks in the area of decision analysis and network design. The main focus of this work is on solving algorithms with provable bounds on the running time. Due to the seemingly unavoidable inherent high combinatorial complexity of the problems under consideration, we are forced to deal with exponential running times; our goal, however, is to keep this exponential part as low as possible. To this end, we follow a recent approach of so-called 'fixed-parameter algorithms,' where the running time of an algorithm solving this problem shall be measured not only in the size of the input instance, but also in the size of a so-called 'problem parameter.' In this sense, whereas classical complexity theory offers a one-dimensional approach, parameterized complexity theory is a two-dimensional study of combinatorial problems. We investigate from both, a theoretical, as well as a practical point of view, various methods in the design of fixed-parameter algorithms: data reduction, bounded search trees, graph separation, and the concept of tree-decompositions. In addition, a software-package is presented, which was developed in our project and which implements most of our algorithms. Finally, we report on a first series of empirical studies underpinning the practical strength and usefulness of our algorithms