Loss systems in a random environment

We consider a single server system with infinite waiting room in a random environment. The service system and the environment interact in both directions. Whenever the environment enters a prespecified subset of its state space the service process is completely blocked: Service is interrupted and newly arriving customers are lost. We prove an if-and-only-if-condition for a product form steady state distribution of the joint queueing-environment process. A consequence is a strong insensitivity property for such systems. We discuss several applications, e.g. from inventory theory and reliability theory, and show that our result extends and generalizes several theorems found in the literature, e.g. of queueing-inventory processes. We investigate further classical loss systems, where due to finite waiting room loss of customers occurs. In connection with loss of customers due to blocking by the environment and service interruptions new phenomena arise. We further investigate the embedded Markov chains at departure epochs and show that the behaviour of the embedded Markov chain is often considerably different from that of the continuous time Markov process. This is different from the behaviour of the standard M/G/1, where the steady state of the embedded Markov chain and the continuous time process coincide. For exponential queueing systems we show that there is a product form equilibrium of the embedded Markov chain under rather general conditions. For systems with non-exponential service times more restrictive constraints are needed, which we prove by a counter example where the environment represents an inventory attached to an M/D/1 queue. Such integrated queueing-inventory systems are dealt with in the literature previously, and are revisited here in detail

Optimal queue-size scaling in switched networks

We consider a switched (queuing) network in which there are constraints on which queues may be served simultaneously; such networks have been used to effectively model input-queued switches and wireless networks. The scheduling policy for such a network specifies which queues to serve at any point in time, based on the current state or past history of the system. In the main result of this paper, we provide a new class of online scheduling policies that achieve optimal queue-size scaling for a class of switched networks including input-queued switches. In particular, it establishes the validity of a conjecture (documented in Shah, Tsitsiklis and Zhong [Queueing Syst. 68 (2011) 375-384]) about optimal queue-size scaling for input-queued switches.Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.1214/13-AAP970 the Annals of Applied Probability (http://www.imstat.org/aap/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

Metastability of Queuing Networks with Mobile Servers

We study symmetric queuing networks with moving servers and FIFO service discipline. The mean-field limit dynamics demonstrates unexpected behavior which we attribute to the meta-stability phenomenon. Large enough finite symmetric networks on regular graphs are proved to be transient for arbitrarily small inflow rates. However, the limiting non-linear Markov process possesses at least two stationary solutions. The proof of transience is based on martingale techniques

Decomposition of discrete-time open tandem queues with Poisson arrivals and general service times

In der Grobplanungsphase vernetzter Logistik- und Produktionssysteme ist man häufig daran interessiert, mit geringem Berechnungsaufwand eine zufriedenstellende Approximation der Leistungskennzahlen des Systems zu bestimmen. Hierbei bietet die Modellierung mittels zeitdiskreter Methoden gegenüber der zeitkontinuierlichen Modellierung den Vorteil, dass die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Leistungskenngrößen berechnet werden kann. Da Produktions- und Logistiksysteme in der Regel so konzipiert sind, dass sie die Leistung nicht im Durchschnitt, sondern mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (z.B. 95%) zusichern, können zeitdiskrete Warteschlangenmodelle detailliertere Informationen über die Leistung des Systems (wie z.B. der Warte- oder Durchlaufzeit) liefern. Für die Analyse vernetzter zeitdiskreter Bediensysteme sind Dekompositionsmethoden häufig der einzig praktikable und recheneffiziente Ansatz, um stationäre Leistungsmaße in den einzelnen Bediensystemen zu berechnen. Hierbei wird das Netzwerk in die einzelnen Knoten zerlegt und diese getrennt voneinander analysiert. Der Ansatz basiert auf der Annahme, dass der Punktprozess des Abgangsstroms stromaufwärts liegender Stationen durch einen Erneuerungsprozess approximiert werden kann, und so eine unabhängige Analyse der Bediensysteme möglich ist. Die Annahme der Unabhängigkeit ermöglicht zwar eine effiziente Berechnung, führt jedoch zu teilweise starken Approximationsfehlern in den berechneten Leistungskenngrößen. Der Untersuchungsgegenstand dieser Arbeit sind offene zeitdiskrete Tandem-Netzwerke mit Poisson-verteilten Ankünften am stromaufwärts liegenden Bediensystem und generell verteilten Bedienzeiten. Das Netzwerk besteht folglich aus einem stromaufwärts liegenden M/G/1-Bediensystem und einem stromabwärts liegenden G/G/1-System. Diese Arbeit verfolgt drei Ziele, (1) die Defizite des Dekompositionsansatzes aufzuzeigen und dessen Approximationsgüte mittels statistischer Schätzmethoden zu bestimmen, (2) die Autokorrelation des Abgangsprozesses des M/G/1-Systems zu modellieren um die Ursache des Approximationsfehlers erklären zu können und (3) einen Dekompositionsansatz zu entwickeln, der die Abhängigkeit des Abgangsstroms berücksichtigt und so beliebig genaue Annäherungen der Leistungskenngrößen ermöglicht. Im ersten Teil der Arbeit wird die Approximationsgüte des Dekompositionsverfahrens am stromabwärts liegenden G/G/1-Bediensystem mit Hilfe von Linearer Regression (Punktschätzung) und Quantilsregression (Intervallschätzung) bestimmt. Beide Schätzverfahren werden jeweils auf die relativen Fehler des Erwartungswerts und des 95%-Quantils der Wartezeit im Vergleich zu den simulierten Ergebnissen berechnet. Als signifikante Einflussfaktoren auf die Approximationsgüte werden die Auslastung des Systems und die Variabilität des Ankunftsstroms identifiziert. Der zweite Teil der Arbeit fokussiert sich auf die Berechnung der Autokorrelation im Abgangsstroms des M/G/1-Bediensystems. Aufeinanderfolgende Zwischenabgangszeiten sind miteinander korreliert, da die Abgangszeit eines Kunden von dem Systemzustand abhängt, den der vorherige Kunde bei dessen Abgang zurückgelassen hat. Die Autokorrelation ist ursächlich für den Dekompositionsfehler, da die Ankunftszeiten am stromabwärts liegenden Bediensystem nicht unabhängig identisch verteilt sind. Im dritten Teil der Arbeit wird ein neuer Dekompositionsansatz vorgestellt, der die Abhängigkeit im Abgangsstroms des M/G/1-Systems mittels eines semi-Markov Prozesses modelliert. Um eine explosionsartige Zunahme des Zustandsraums zu verhindern, wird ein Verfahren eingeführt, das den Zustandsraum der eingebetteten Markov-Kette beschränkt. Numerischen Auswertungen zeigen, dass die mit stark limitierten Zustandsraum erzielten Ergebnisse eine bessere Approximation bieten als der bisherige Dekompositionsansatz. Mit zunehmender Größe des Zustandsraums konvergieren die Leistungskennzahlen beliebig genau