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    An undecidable extension of Morley's theorem on the number of countable models

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    We show that Morley's theorem on the number of countable models of a countable first-order theory becomes an undecidable statement when extended to second-order logic. More generally, we calculate the number of equivalence classes of σ\sigma-projective equivalence relations in several models of set theory. Our methods include random and Cohen forcing, Woodin cardinals and Inner Model Theory.Comment: 31 page

    Aspects of Definability for Equivalence Relations

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    This thesis will show that in the constructible universe L and set forcing extensions of L, there are no almost Borel reductions of the well-ordering equivalence relation into the admissibility equivalence relation and no Borel reductions of the isomorphism relation of any counterexample to Vaught's conjecture into the admissibility equivalence relation. Let E be an analytic equivalence relation on a Polish space X with all classes Borel. Let I be a sigma-ideal on X such that its associated forcing of I-positive Borel subsets is a proper forcing. Assuming sharps of appropriate sets exist, it will be shown that there is an I-positive Borel subset of X on which the restriction of E is a Borel equivalence relation. Assuming there are infinitely many Woodin cardinals below a measurable cardinal, then for any equivalence relation E in L(R) with all Borel classes and sigma-ideal I whose associated forcing is proper, there is an I-positive Borel set on which the restriction of E is Borel.</p

    Ideals, ideal extenders and forcing axioms

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    Ein ideal heißt abschüssig falls die Ultrapotenzen mit einem für den zugehörigen Forcing generischen Filter stets fundiert ist. Es werden die zusammenhänge zwischen abschüssige Ideale und Forcing Axiome analysiert. Erst wird eine Forcingtechnik präsentiert, die beweist das das Beschränkte Martins Maximum Axiom zusammen mit der abschüssigkeit des nichtstationären Ideals ein starkes effektives Gegenbeispiel zur Kontinuumshypothese impliziert. In einem zweiten Teil wird gezeigt das das beschränkte proper Forcing Axiom zusammen mit der Existenz eines Abschüssigen Ideals die Existenz eines inneren Models mit einer Woodin Kardinalzahl impliziert. Im letzten Teil wird eine Verallgemeinerung von abschüssigen Ideale studiert. Es wird gezeigt das eine Kardinalzahl die generisch stark ist, schon stark im im Kernmodel sein muss, falls es keine woodinkardinalzahlen gibt. Und damit die Äquikonsistenz von generisch starken und starken Kardinalzahlen bewiesen
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