A new approach to the vakonomic mechanics

The aim of this paper is to show that the Lagrange-d'Alembert and its equivalent the Gauss and Appel principle are not the only way to deduce the equations of motion of the nonholonomic systems. Instead of them, here we consider the generalization of the Hamiltonian principle for nonholonomic systems with nonzero transpositional relations. By applying this variational principle which takes into the account transpositional relations different from the classical ones we deduce the equations of motion for the nonholonomic systems with constraints that in general are nonlinear in the velocity. These equations of motion coincide, except perhaps in a zero Lebesgue measure set, with the classical differential equations deduced with d'Alembert-Lagrange principle. We provide a new point of view on the transpositional relations for the constrained mechanical systems: the virtual variations can produce zero or non-zero transpositional relations. In particular the independent virtual variations can produce non-zero transpositional relations. For the unconstrained mechanical systems the virtual variations always produce zero transpositional relations. We conjecture that the existence of the nonlinear constraints in the velocity must be sought outside of the Newtonian model. All our results are illustrated with precise examples

The Boltzmann–Hamel equations for the optimal control of mechanical systems with nonholonomic constraints

In this paper, we generalize the Boltzmann–Hamel equations for nonholonomic mechanics to a form suited for the kinematic or dynamic optimal control of mechanical systems subject to nonholonomic constraints. In solving these equations one is able to eliminate the controls and compute the optimal trajectory from a set of coupled first-order differential equations with boundary values. By using an appropriate choice of quasi-velocities, one is able to reduce the required number of differential equations by m and 3 m for the kinematic and dynamic optimal control problems, respectively, where m is the number of nonholonomic constraints. In particular we derive a set of differential equations that yields the optimal reorientation path of a free rigid body. In the special case of a sphere, we show that the optimal trajectory coincides with the cubic splines on SO (3). Copyright © 2010 John Wiley & Sons, Ltd.Peer Reviewedhttp://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/79427/1/1598_ftp.pd

On the Dynamical Propagation of Subvolumes and on the Geometry and Variational Principles of Nonholonomic Systems.

Their are two main themes of this thesis. The first is the theory and application of the propagation of subvolumes in dynamical systems. We discuss the integral invariants of Poincare-Cartan and introduce a new and closely related set of integral invariants, those of Wirtinger type, and relate these new invariants to a minimum obtainable symplectic volume. We will then consider the application of this approach to the orbit determination and correlation problem for tracking particles of space debris. The second theme is on the geometry of nonholonomic systems. In particular we will focus on the precise geometric understanding of quasi-velocity techniques and its relation to the formulation of variational principles for these systems. We will relate the Euler-Poincar'e equations for Lie groups to the Boltzmann-Hamel equations and further extend both these equations to a higher order form that is applicable to optimal dynamical control problems on manifolds.Ph.D.Applied and Interdisciplinary MathematicsUniversity of Michigan, Horace H. Rackham School of Graduate Studieshttp://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/58444/1/jmaruski_1.pd

On some apllications of Lie Algebroids in Geometry and Physics

El objetivo de esta tesis es el estudio de algunas aplicaciones de la teoría de algebroides de Lie, un concepto que generaliza tanto al de álgebra de Lie como al de fibrado vectorial, en problemas matemáticos y físicos concretos. La estructura de algebroide de Lie ha sido ya utilizada en distintos campos como mecánica, topología algebraica, geometría algebraica y geometría diferencial. En el primer capítulo hemos introducido esta noción, presentado unos ejemplos de ello y unas de sus propiedades que van a ser útiles en los siguientes capítulos. Un concepto fundamental para la parte matemática de nuestro trabajo es el del campo de Jacobi, que en la geometría Riemanniana puede ser interpretado como el campo vectorial variacional asociado a una familia 1-paramétrica de geodésicas. En esta parte, uno de nuestros resultados principales es la generalización de dicha noción a la de sección de Jacobi asociada a una ecuación diferencial de segundo orden (denominada sode) definida en un algebroide de Lie, que está acompañada de la generalización de la ecuación de Jacobi que la satisfacen estas secciones de Jacobi. Para ello hemos introducido el concepto de derivada dinámica covariante y el del endomorfismo de Jacobi asociados a una sode en este caso general. Una referencia importante relacionada con estos asuntos es. A continuación hemos considerado el caso de un algebroide de Lie Riemanniano. Hemos recordado brevemente la noción de la conexión Levi-Civita asociada a la métrica de Riemann, su correspondiente spray geodésico y hemos hallado las fórmulas de variación de la funcional de energía. Hemos utilizado nuestra teoría por el caso de una sode definida en un algebroide de Lie Riemanniano, donde el sode es el spray geodésico asociado a la conexión de Levi-Civita. En este caso, hemos mostrado que la derivada covariante asociada a la conexión Levi-Civita es la derivada covariante dinámica asociada al spray geodésico correspondiente a esta conexión, y hemos hallado la relación existente entre el endomorfismo Jacobi asociado a este spray y el tensor de la curvatura de la conexión Levi-Civita. Con estas observaciones, a través de la forma que lleva la segunda variación calculada anteriormente, se ha reencontrado, tal como en el caso de la Geometría Riemnniana, la relación que hay entre las secciones de Jacobi y los problemas de minimización de la energía. En final, hemos definido el concepto de puntos conjugados y hemos demostrado que si a largo de una curva integral del spray geodésico no hay puntos conjugados, entonces esta minimiza la funcional energía del sistema cuyas soluciones son dadas de este mismo spray. En la parte relativa a las aplicaciones físicas nos hemos centrado nuestra atención sobre el teorema de virial, mostrando que admite una generalización al marco de algebroides de Lie. El teorema de virial para una función virial,-una función acotada en un intervalo de tiempo-, afirma que su promedio sobre un tal intervalo es cero. En casos particulares, como consecuencia, en el teorema de virial aparecen relaciones entre los promedios temporales de cantidades, como, por ejemplo, de la energía cinética del sistema con la de la energía potencial del sistema. Originalmente introducido de Clausius en el campo de la mecánica clásica estadística, el teorema de virial se ha mostrado de gran utilidad también en otras distintas ramas de la física. Tiene una amplia aplicabilidad en sistemas dinámicos y termodinámicos, sistemas con velocidad dependiente de fuerzas y en sistemas viscosos. Aunque el teorema de virial ofrece menos información que las propias soluciones de las ecuaciones de movimiento, es mas simple de aplicar y puede ofrecer información sobre sistemas cuyo análisis completo puede ser complicado. Se ha probado recientemente que los teoremas de tipo virial son válidos también para espacios de configuración distintos al espacio real n-dimensional. Fue estudiado haciendo uso del formalismo simpléctico tanto en el caso Hamiltoniano como en el Lagrangiano. En la parte de aplicaciones en física, hemos comenzado con el formalismo Lagrangiano, y escrito intrínsecamente y en coordinadas locales el teorema de virial para un sistema Lagrangiano de tipo mecánico en una variedad de Riemann. Casos particulares importantes estudiados son el de una función virial afin asociada con un campo vectorial en la variedad de configuración, los de funciones viriales asociadas con campos Killing, homotéticos, y conformes Killing. Los campos vectoriales conformes de Killing y en particular los campos vectoriales homoteticos han sido relevantes en muchos problemas en física y particularmente en la geometría espacio-tiempo. Cada uno de estos casos particulares ha sido ilustrado por medio de un ejemplo. Después hemos estudiado en el marco geométrico del teorema de virial en términos de cuasi velocidades en el caso Lagrangiano dando así una interpretación geométrica del formalismo de Boltzmann del teorema de virial, trasladable en cuasi-momenta al caso Hamiltoniano, dando así una interpretación geométrica del teorema de virial en el formalismo de Poincaré. Esto nos ha preparado el camino para proponer una generalización del teorema de virial para sistemas mecánicos en Lie algebroides, usando los métodos geométricos de la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana en la prologación de un algebroide de Lie en el caso Lagrangiano, respectivo de su dual en el caso Hamiltonianao, con respecto al Lie algebroide inicial, dos casos particulares de algebroides de Lie simplécticos. Esta nueva generalización del teorema del virial y en particular el caso de la formulación en términos de cuasi-velocidades nos permite utilizarlo para sistemas mecánicos con ligaduras no holónomas. El oscilador armónico noholonómico, el trineo de Chapygin, y el sistema de Suslov, son ejemplos que hemos usado para ilustrar la teoría de los sistemas no holónomos.The main purpose of our work is to present applications of the Lie algebroid structure in both mathematical and physical context. In the first chapter we have introduced the notion of Lie algebroid, presenting a number of examples, and we have presented some useful properties that we used later on. One of our principal results in the mathematical part was to give a generalization of the notion of Jacobi fields corresponding to sode on manifolds and on Lie algebroids. We have done that considering a new take on a first order variational equation on a manifold. We also generalized the Jacobi equation for this generalized cases of Jacobi fields associated to sode. For that we had to generalize the non-linear connection and the Jacobi endomorphism to the context of Lie algebroid. We used this theory in the particular instance of a geodesic spray on a Riemannian Lie algebroid. For this case we have shown that an integral curve of it has no conjugate points along it if and only if it minimizes the energy functional of the system whose solution are given by the geodesic spray. To exemplify the theorem we considered the space of skew-symmetric matrices of dimension 3 who has a Lie algebroid structure. In Chapter 4, for the physical counterpart, we analyzed the virial theorem in the first place for mechanical systems and nonholonomic systems on the tangent bundle, and afterwards, for unconstrained and nonholonomic systems on Lie algebroids. We could prove that a virial like theorem holds for systems on Lie algebroids, fact that will allow us to obtain information about the time average of the action of the dynamical section upon the virial function for more systems than before due to the wide range of systems that can be described with the help of a Lie algebroid structure. Also in this chapter we have presented in detail instances of this theorem through some examples. We find interesting for further investigation to see if the minimizing theorem presented here takes place for any Lagrangian, not necessarily a Riemannian one and for the other topology. Precisely see in what conditions the result holds when we look for the geodesic to be a strong minimum for the energy functional

Geometric and numerical methods for optimal control of mechanical systems

Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matermáticas. Fecha de lectura: 03-06-2014Las aplicaciones de técnicas provenientes de la Geometría Diferencial moderna y la Topología han ayudado a una mayor comprensión de los problemas provenientes de la teor ía de Sistemas Dinámicos. Estas aplicaciones han reformulado la mecánica analítica y cl ásica en un lenguaje geométrico que junto a nuevos métodos analíticos, topológicos y numéricos conforman una nueva area de investigación en matemáticas y física teórica llamada Mecánica Geométrica. La Mecánica Geometrica se configura como un punto de encuentro de disciplinas diversas como la Mecánica, la Geometría, el Análisis, el Álgebra, el Análisis Numérico, las Ecuaciones en Derivadas Parciales... Actualmente, la Mecánica Geométrica es un área de investigación pujante con fructíferas conexiones con otras disciplinas como la Teoría de Control no-lineal y el Análisis Numérico. El objetivo de la Teoría de Control es determinar el comportamiento de un sistema dinámico por medio de acciones externas de forma que se cumplan ciertas condiciones prefi jadas como, por ejemplo, que haya un extremo fijo, los dos, que ciertas variables no alcancen algunos valores u otro tipo de situaciones más o menos complicadas. Las aplicaciones de la Mecánica Geométrica en Teoría de Control han causado grandes progresos en esta área de investigación. Por ejemplo, la formulación geométrica de los sistemas mecánicos de control sujetos a ligaduras no holónomas han ayudado a la comprensión de problemas en locomoción, contrabilidad y planificación de trayectorias, problemas de control con obstáculos e interpolación Uno de los mayores objetivos del Análisis Numérico y de la Matemática Computacional ha sido traducir los fenómenos físicos en algoritmos que producen aproximaciones numéricas suficientemente precisas, asequibles y robustas. En los últimos años, el campo de la Integración Geométrica surgió con el objetivo de diseñar y analizar métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias y, m as recientemente, para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que preservan, tanto como sea posible, la estructura geométrica subyacente. La Mecánica Discreta, entendida como el punto de encuentro de la Mecánica Geométrica y la Integración Geométrica, es un área de investigación bien fundamentada y una herramienta poderosa a la hora de entender los sistemas dinámicos y físicos, más concretamente, aquellos relacionados con la Mecánica y la Teoría de Control. Una herramienta clave en Mecánica Discreta, y muy utilizada en este trabajo, son los integradores variacionales, i.e., integradores geométricos basados en la discretización de los principios variacionales. El presente trabajo de investigación incluye nuevos resultados en el área de la Mecánica Geométrica que permiten el estudio de sistemas mecánicos, su aplicación a la teoría de control óptimo y la construcción de integradores geométricos que preservan ciertas estructuras subyacentes de gran interés para el análisis numérico de los sistemas de control. Más precisamente, presentamos una nueva formulación geométrica para la dinámica de sistemas mecánicos de orden superior sujeto a ligaduras, también de orden superior, debido a que un problema de control óptimo de sistemas mecánicos puede ser resuelto como un problema variacional de orden superior con ligaduras de orden superior. Hemos estudiado la relación entre los sistemas Lagrangianos de orden superior con ligaduras (noholónomas y vakónomas) y los sistemas Hamiltonianos asociados, la reducción por simetrías de esta clase de sistemas y la integración geométrica de problemas de control. El trabajo desarrollado en esta tesis también contribuye con nuevos desarrollos en Mecánica Discreta y su interrelación con la teoría de control, algebroides de Lie y grupoides de Lie.The applications of techniques from the modern Di erential Geometry and Topology have helped a new way of understanding the problems which come from the theory of Dynamical Systems. These applications have reformulated the analytic mechanics and classical mechanics in a geometric language which attracted new analytic, topologic and numerical methods given rise to a new research line in mathematics and theoretical physics, called Geometric Mechanics. Geometric Mechanics is a meeting point for di erent areas such as, Analysis, Algebra, Numerical Analysis, Partial Di erential Equations... Currently, Geometric Mechanics is a research area with a strong relationship with Nonlinear Control Theory and Numerical Analysis. The applications of Geometric Mechanics in control theory have given great progress in this area. For example, the geometric formulation of mechanical systems subject to nonholonomic constraints has helped the understanding of problems in locomotion, controllability and trajectory planning, control problems with obstacles and interpolation problems. One of the main goals of the numerical analysis and computational mathematics has been rendering physical phenomena into algorithms that produces su ciently accurate, a ordable, and robust numerical approximations. In the last years, the eld of Geometric Integration arose to design and to analyze numerical methods for ordinary di erential equations and, more recently, for partial di erential equations, that preserves exactly, as much as possible, the underlying geometrical structures. The Discrete Mechanics, understood as the con uence of Geometric Mechanics and Geometric Integration, is both a well-founded research area and a powerful tool in the understanding of dynamical and physical systems, more concretely of those related to mechanics. A key tool of Discrete Mechanics, which has been strongly used in this work, is the variational integrators, i.e., geometric integrators for mechanical problems based on the discretization of variational principles. The work developed in this thesis includes new valuable developments in Geometric Mechanics which permits the understanding about mechanical systems, its applications in control theory and the construction of geometric integrators which preserves underlying geometrical structures of great interest to the numerical analysis of control systems. More precisely, we give a new geometric formulation for the dynamics of higher-order mechanical systems subject also to higher-order constraints since an optimal control problem for mechanical systems can be seen as higher-order variational problem with higher-order constraints. We have studied the relation between higher-order Lagrangian systems with constraints (nonholonomics and vakonomics) and higher-order Hamiltonian systems, the reduction by symmetries of this kind of mechanical systems and the geometric integration of control problems. The work developed in this thesis also is in line with new developments in Discrete Mechanics and its relation with control theory, Lie groupoids and Lie algebroid

A Fiber Bundle Approach to the Transpositional Relations in Nonholonomic Mechanics

The equations of nonholonomic mechanics may be derived using a number of variational principles. This paper studies some of these principles from the contemporary geometric point of view, taking into account various bundle structures that are intrinsically present in the nonholonomic setting