Polynomial-Time Algorithms for Quadratic Isomorphism of Polynomials: The Regular Case

Let $\mathbf{f}=(f\_1,\ldots,f\_m)$ and $\mathbf{g}=(g\_1,\ldots,g\_m)$ be two sets of $m\geq 1$ nonlinear polynomials over $\mathbb{K}[x\_1,\ldots,x\_n]$ ($\mathbb{K}$ being a field). We consider the computational problem of finding -- if any -- an invertible transformation on the variables mapping $\mathbf{f}$ to $\mathbf{g}$. The corresponding equivalence problem is known as {\tt Isomorphism of Polynomials with one Secret} ({\tt IP1S}) and is a fundamental problem in multivariate cryptography. The main result is a randomized polynomial-time algorithm for solving {\tt IP1S} for quadratic instances, a particular case of importance in cryptography and somewhat justifying {\it a posteriori} the fact that {\it Graph Isomorphism} reduces to only cubic instances of {\tt IP1S} (Agrawal and Saxena). To this end, we show that {\tt IP1S} for quadratic polynomials can be reduced to a variant of the classical module isomorphism problem in representation theory, which involves to test the orthogonal simultaneous conjugacy of symmetric matrices. We show that we can essentially {\it linearize} the problem by reducing quadratic-{\tt IP1S} to test the orthogonal simultaneous similarity of symmetric matrices; this latter problem was shown by Chistov, Ivanyos and Karpinski to be equivalent to finding an invertible matrix in the linear space $\mathbb{K}^{n \times n}$ of $n \times n$ matrices over $\mathbb{K}$ and to compute the square root in a matrix algebra. While computing square roots of matrices can be done efficiently using numerical methods, it seems difficult to control the bit complexity of such methods. However, we present exact and polynomial-time algorithms for computing the square root in $\mathbb{K}^{n \times n}$ for various fields (including finite fields). We then consider \\#{\tt IP1S}, the counting version of {\tt IP1S} for quadratic instances. In particular, we provide a (complete) characterization of the automorphism group of homogeneous quadratic polynomials. Finally, we also consider the more general {\it Isomorphism of Polynomials} ({\tt IP}) problem where we allow an invertible linear transformation on the variables \emph{and} on the set of polynomials. A randomized polynomial-time algorithm for solving {\tt IP} when $\mathbf{f}=(x\_1^d,\ldots,x\_n^d)$ is presented. From an algorithmic point of view, the problem boils down to factoring the determinant of a linear matrix (\emph{i.e.}\ a matrix whose components are linear polynomials). This extends to {\tt IP} a result of Kayal obtained for {\tt PolyProj}.Comment: Published in Journal of Complexity, Elsevier, 2015, pp.3

Cryptanalysis of Two McEliece Cryptosystems Based on Quasi-Cyclic Codes

We cryptanalyse here two variants of the McEliece cryptosystem based on quasi-cyclic codes. Both aim at reducing the key size by restricting the public and secret generator matrices to be in quasi-cyclic form. The first variant considers subcodes of a primitive BCH code. We prove that this variant is not secure by finding and solving a linear system satisfied by the entries of the secret permutation matrix. The other variant uses quasi-cyclic low density parity-check codes. This scheme was devised to be immune against general attacks working for McEliece type cryptosystems based on low density parity-check codes by choosing in the McEliece scheme more general one-to-one mappings than permutation matrices. We suggest here a structural attack exploiting the quasi-cyclic structure of the code and a certain weakness in the choice of the linear transformations that hide the generator matrix of the code. Our analysis shows that with high probability a parity-check matrix of a punctured version of the secret code can be recovered in cubic time complexity in its length. The complete reconstruction of the secret parity-check matrix of the quasi-cyclic low density parity-check codes requires the search of codewords of low weight which can be done with about $2^{37}$ operations for the specific parameters proposed.Comment: Major corrections. This version supersedes previuos one

On the hardness of the hidden subspaces problem with and without noise. Cryptanalysis of Aaronson-Christiano’s quantum money scheme

[ES] El boom de internet ha marcado el comienzo de la era digital y ésta ha traído consigo un desarrollo espectacular de las tecnologías de la información y de las comunicaciones, entre las que la criptografía es la reina. La criptografía de clave pública actual está basada principalmente en dos problemas que la comunidad criptográfica asume como difíciles: la factorización y el logaritmo discreto. Sin embargo, si se llegase a construir un computador cuántico lo suficientemente potente, esta dificultad no sería tal. Así pues, la computación cuántica pondría en un grave aprieto a la criptografía moderna y, puesto que la trayectoria reciente del campo sugiere que ésta podría convertirse en una realidad en un futuro no muy lejano, la comunidad criptográfica ha comenzado a explorar otras opciones para estar lista en caso de que se logre construir un computador cuántico eficiente. Esto ha dado un im- pulso a lo que se conoce como criptografía post-cuántica, aquella cuya dificultad no se vería afectada por este nuevo paradigma de computación y que está basada en los llamados problemas resistentes a la computación cuántica. La criptografía post-cuántica ha suscitado mucho interés recientemente y actualmente está en proceso de estandarización, por lo que en el momento de iniciar esta tesis resultaba relevante estudiar problemas supuestamente resistentes al computador cuántico. La parte central de esta tesis es el análisis de la dificultad del problema de los subespacios ocultos (HSP por sus siglas en inglés) y del problema de los subespacios ocultos con ruido (NHSP), dos problemas resistentes al computador cuántico según sus autores. Además de la relevancia que su supuesta resistencia a la computación cuántica les confiere, estos dos problemas son también importantes porque en su dificultad se sustenta la seguridad de las dos versiones del primer esquema de dinero cuántico de clave pública que cuenta con una prueba de seguridad. Este primer esquema es el de Aaronson-Christiano, que implementa dinero cuántico — un tipo de dinero que explota las leyes de la mecánica cuántica para crear dinero infalsificable — que cualquiera puede verificar. Los resultados obtenidos acerca de la dificultad del HSP y del NHSP tienen un impacto directo sobre la seguridad del esquema de Aaronson-Christiano, lo cual nos motivó a centrar esta tesis en estos dos problemas. El Capítulo 3 contiene nuestros resultados acerca del problema de los subespacios ocultos y está fundamentalmente basado en nuestro trabajo [Conde Pena et al.,2015]. Los autores del HSP lo definieron originalmente sobre el cuerpo binario, pero nosotros extendemos la definición a cualquier otro cuerpo finito de orden primo, siempre considerando que la instanciación es la que los autores proponen. Después de modelar el HSP con un sistema de ecuaciones con buenas propiedades, usamos técnicas de criptoanálisis algebraico para explorar el sistema en profundidad. Para el HSP sobre cualquier cuerpo que no sea el binario diseñamos un algoritmo que resuelve de manera eficiente instancias que satisfacen una cierta condición. Utilizando técnicas distintas, construimos un algoritmo heurístico, sustentado por argumentos teóricos, que resuelve eficientemente instancias del HSP sobre el cuerpo binario. Ambos algo-ritmos comprometen la dificultad del HSP siempre que las instancias del problema sean escogidas como Aaronson-Christiano proponen. Como consecuencia, nuestros algoritmos vulneran la seguridad de la versión del esquema sin ruido. El capítulo 4 contiene nuestros resultados acerca del problema de los subespacios ocultos con ruido y está fundamentalmente basado en nuestro trabajo [Conde Pena et al., 2018]. Al igual que con el HSP, extendemos la definición del NHSP a cualquier otro cuerpo de orden primo y consideramos instancias generadas como especifi- can Aaronson-Christiano. Mostramos que el NHSP se puede reducir al HSP sobre cualquier cuerpo primo que no sea el binario para ciertas instancias, mientras que el NHSP sobre el cuerpo binario se puede resolver con una probabilidad mayor de la asumida por los autores en la conjetura sobre la que la seguridad de su esquema con ruido se sustenta. Aunque nuestros resultados se obtienen desde un punto de vista puramente no cuántico, durante el desarrollo de esta tesis otro autor demostró que existe una reducción cuántica del NHSP al HSP también en el caso binario. Por tanto, la dificultad del NHSP y la seguridad del esquema de Aaronson-Christiano con ruido se han visto comprometidas por nuestros descubrimientos acerca del HSP

Group theory in cryptography

This paper is a guide for the pure mathematician who would like to know more about cryptography based on group theory. The paper gives a brief overview of the subject, and provides pointers to good textbooks, key research papers and recent survey papers in the area.Comment: 25 pages References updated, and a few extra references added. Minor typographical changes. To appear in Proceedings of Groups St Andrews 2009 in Bath, U

Cryptanalysis of the multivariate encryption scheme EFLASH

Post-Quantum Cryptography studies cryptographic algorithms that quantum computers cannot break. Recent advances in quantum computing have made this kind of cryptography necessary, and research in the field has surged over the last years as a result. One of the main families of post-quantum cryptographic schemes is based on finding solutions of a polynomial system over finite fields. This family, known as multivariate cryptography, includes both public key encryption and signature schemes. The majority of the research contribution of this thesis is devoted to understanding the security of multivariate cryptography. We mainly focus on big field schemes, i.e., constructions that utilize the structure of a large extension field. One essential contribution is an increased understanding of how Gröbner basis algorithms can exploit this structure. The increased knowledge furthermore allows us to design new attacks in this setting. In particular, the methods are applied to two encryption schemes suggested in the literature: EFLASH and Dob. We show that the recommended parameters for these schemes will not achieve the proposed 80-bit security. Moreover, it seems unlikely that there can be secure and efficient variants based on these ideas. Another contribution is the study of the effectiveness and limitations of a recently proposed rank attack. Finally, we analyze some of the algebraic properties of MiMC, a block cipher designed to minimize its multiplicative complexity.Doktorgradsavhandlin

LEDAkem: a post-quantum key encapsulation mechanism based on QC-LDPC codes

This work presents a new code-based key encapsulation mechanism (KEM) called LEDAkem. It is built on the Niederreiter cryptosystem and relies on quasi-cyclic low-density parity-check codes as secret codes, providing high decoding speeds and compact keypairs. LEDAkem uses ephemeral keys to foil known statistical attacks, and takes advantage of a new decoding algorithm that provides faster decoding than the classical bit-flipping decoder commonly adopted in this kind of systems. The main attacks against LEDAkem are investigated, taking into account quantum speedups. Some instances of LEDAkem are designed to achieve different security levels against classical and quantum computers. Some performance figures obtained through an efficient C99 implementation of LEDAkem are provided.Comment: 21 pages, 3 table