The connected graphs obtained from finite projective planes

In this paper, we give a method of obtaining graphs from finite projective planes, by using an approach based method of taking each line of such a plane as a path graph. All the graphs obtained with the help of this method are connected and some properties of these graphs are determined

Approximation problems in linear and non-linear analysis

En esta tesis estudiamos problemas relacionados con aplicaciones de varios tipos que alcanzan su norma u operadores que alcanzan su radio numérico. Tras un capítulo introductorio donde se comentan las notaciones, los principales conceptos, y un resumen histórico del estado del arte, hay 4 capítulos de contenido matemático donde se estudian diversos tipos de problemas. En el capítulo 2, se estudian clases de operadores entre espacios de Banach tales que cuando casi alcanzan su norma (respectivamente, su radio numérico) en un punto (respectivamente, un estado), necesariamente la alcanzan en un punto cercano (respectivamente, en un estado cercano). Se obtienen resultados positivos para dominios finito dimensionales, funcionales, operadores compactos, y operadores adjuntos, y se estudia si las condiciones obtenidas para dichos resultados son las óptimas o no. También se caracterizan por completo los operadores diagonales que pertenecen a dichas clases cuando el dominio es un espacio de Banach clásico de sucesiones, obteniendo como consecuencia que las proyecciones canónicas pertenecen a dichas clases. Se obtienen varios ejemplos positivos y negativos relativos a estas clases en varios espacios, y se estudia la relación entre ambas clases. En el capítulo 3, se introduce y estudia la propiedad de Bishop-Phelps-Bollobás para el radio numérico restringida al contexto de los operadores compactos. Adaptando los resultados existentes, se obtiene una primera gran colección de espacios de Banach clásicos que satisfacen la propiedad para operadores compactos como consecuencia de que la satisfacen en general. Se obtiene un resultado técnico que afirma que si ciertas proyecciones de un espacio de Banach satisfacen nuestra propiedad para operadores compactos de una forma uniforme, entonces el propio espacio de Banach también cumple dicha propiedad, y este resultado se usa para probar que los preduales isométricos de l_1 cumplen la propiedad. El resultado principal del capítulo afirma que si L es cualquier espacio topológico localmente compacto y Hausdorff, entonces el espacio C_0(L) de funciones continuas en L que se anulan en el infinito siempre tiene la propiedad para operadores compactos (algo que para operadores en general no se sabe por ahora), y para probarlo se demuestra primero un tipo de propiedad de aproximación simultánea para estos espacios y sus duales (basada en una construcción topológica) en conjunto con el lema técnico de las proyecciones. En el capítulo 4 se introducen nociones naturales de alcanzamiento de norma para productos tensoriales proyectivos de espacios de Banach y operadores nucleares entre espacios de Banach. Tras caracterizar los elementos que alcanzan su norma en términos de operadores clásicos, se demuestra que existen tensores y operadores nucleares que alcanzan sus respectivas normas, pero que no todos ellos lo hacen. Se encuentran múltiples resultados positivos sobre la densidad de los elementos de estos espacios que alcanzan su norma, y se prueba definitivamente que dicha densidad no siempre es cierta para tensores, aunque la pregunta análoga para operadores nucleares sigue abierta. Finalmente, en el capítulo 5 se estudian problemas sobre la espaciabilidad del conjunto de funciones Lipschitz que alcanzan su norma fuertemente sobre un espacio métrico infinito M, SNA(M). Primero demostramos que si el métrico es infinito, entonces SNA(M) es n-lineable para todo n. Vemos que todo espacio de Banach puede ser formado con funciones de SNA(M) para un métrico apropiado, y estudiamos posibles restricciones sobre qué espacios se pueden formar si el métrico es pequeño (separable, o incluso sigma-precompacto). Finalmente, se hace un estudio exhaustivo sobre la posibilidad de encontrar c_0 en SNA(M). Se demostró recientemente que eso se puede conseguir siempre isomorfamente, y nosotros demostramos que no siempre se puede hacer isométricamente, aunque vemos que en muchas ocasiones sí se puede. El capítulo concluye con un pequeño estudio para el caso no separable. Finalmente, hay un capítulo de conclusiones y preguntas abiertas, y una exhaustiva y extensa lista de referencias. // En aquesta tesi estudiem problemes relacionats amb diversos tipus de funcions que assoleixen la seua norma o operadors que assoleixen el seu radi numèric. Després d'un capítol introductori on es comenten les notacions, els conceptes principals, i un resum històric de l'estat de l'art, hi ha 4 capítols de contingut matemàtic on s'estudien diversos tipus de problemes. Al capítol 2, s'estudien classes d'operadors entre espais de Banach tals que quan gairebé assoleixen la seua norma (respectivament, el radi numèric) en un punt (respectivament, un estat), necessàriament l'assoleixen en un punt proper (respectivament, en un estat proper). S'obtenen resultats positius per a dominis de dimensió finita, funcionals, operadors compactes i operadors adjunts, i s'estudia si les condicions obtingudes per a aquests resultats són les òptimes o no. També es caracteritzen completament els operadors diagonals que pertanyen a aquestes classes quan el domini és un espai de Banach clàssic de successions, obtenint com a conseqüència que les projeccions canòniques pertanyen a aquestes classes. S'obtenen diversos exemples positius i negatius relatius a aquestes classes a diversos espais, i s'estudia la relació entre ambdues classes. Al capítol 3, s'introdueix i s'estudia la propietat de Bishop-Phelps-Bollobás per al radi numèric restringida al context dels operadors compactes. Adaptant-hi els resultats existents, s'obté una primera gran col·lecció d'espais de Banach clàssics que satisfan la propietat per a operadors compactes com a conseqüència que la satisfan en general. S'obté un resultat tècnic que afirma que si certes projeccions d'un espai de Banach satisfan la nostra propietat per a operadors compactes d'una forma uniforme, aleshores el mateix espai de Banach també compleix aquesta propietat, i aquest resultat s'empra per tal de provar que els preduals isomètrics de l_1 compleixen la propietat. El resultat principal del capítol afirma que si L és qualsevol espai topològic localment compacte i Hausdorff, aleshores l'espai C_0(L) de funcions contínues a L que s'anul·len a l'infinit sempre té la propietat per a operadors compactes (cosa que per a operadors en general no se sap ara com ara), i per provar-ho es demostra primer un tipus de propietat d'aproximació simultània per a aquests espais i els seus duals (basada en una construcció topològica) conjuntament amb el lema tècnic de les projeccions. Al capítol 4 s'introdueixen nocions naturals d'assoliment de norma per a productes tensorials projectius d'espais de Banach i operadors nuclears entre espais de Banach. Després de caracteritzar els elements que assoleixen la seua norma en termes d'operadors clàssics, es demostra que hi ha tensors i operadors nuclears que assoleixen les seues normes respectives, però que no tots ells ho fan. Es troben múltiples resultats positius sobre la densitat dels elements d'aquests espais que assoleixen la seva norma, i es prova definitivament que aquesta densitat no sempre és certa per a tensors, mentre que la pregunta anàloga per a operadors nuclears roman oberta. Finalment, al capítol 5 s'estudien problemes sobre l'espaiabilitat del conjunt de funcions Lipschitz que assoleixen la seva norma fortament sobre un espai mètric infinit M, SNA(M). Primer es demostra que si el mètric és infinit, aleshores SNA(M) és n-lineable per a tot n. Es prova que tot espai de Banach pot ser format amb funcions de SNA(M) per a un mètric apropiat, i estudiem possibles restriccions sobre quins espais es poden formar si el mètric és xicotet (separable, o fins i tot sigma-precompacte). Finalment, es fa un estudi exhaustiu sobre la possibilitat de trobar c_0 a SNA(M). Es va demostrar recentment que això es pot aconseguir sempre isomorfament, i nosaltres demostrem que no sempre es pot fer isomètricament, encara que veiem que moltes vegades sí que es pot. El capítol conclou amb un xicotet estudi per al cas no separable. Finalment, hi ha un capítol de conclusions i preguntes obertes, i una llista exhaustiva i extensa de referències.In this thesis we study problems related to several types of mappings that attain their norm or operators that attain their numerical radius. After an introductory chapter where the notations, the main concepts, and a historical summary of the state of the art are discussed, there are 4 chapters of mathematical content where various types of problems are studied. In Chapter 2, we study classes of operators between Banach spaces such that when they almost attain their norm (respectively, their numerical radius) at one point (respectively, a state), they necessarily attain it at a nearby point (respectively, at a nearby state). Positive results are obtained for finite dimensional domains, functiona, compact operators, and adjoint operators, and it is studied whether the conditions obtained for said results are optimal or not. The diagonal operators that belong to these classes are also completely characterized when the domain is a classical Banach sequence space, obtaining as a consequence that the canonical projections belong to those classes. Several positive and negative examples related to these classes are obtained for several spaces, and the relationship between both classes is studied. In chapter 3, the Bishop-Phelps-Bollobás property for the numerical radius restricted to the context of compact operators is introduced and studied. Adapting the existing results, a first large collection of classical Banach spaces is obtained which satisfy the property for compact operators as a consequence of their satisfying it in general. A technical result is obtained stating that if certain projections of a Banach space satisfy the property for compact operators in a uniform way, then the Banach space itself also satisfies this property, and this result is used to prove that the isometric preduals of l_1 satisfy the property. The main result of the chapter asserts that if L is any locally compact and Hausdorff topological space, then the space C_0(L) of continuous functions on L that vanish at infinity always has the property for compact operators (something that for operators in general is not known for now), and to prove it we first prove a kind of simultaneous approximation property for these spaces and their duals (based on a topological construction) together with the technical lemma about projections. In Chapter 4, natural notions of norm attainment for projective tensor products of Banach spaces and nuclear operators between Banach spaces are introduced. After characterizing the elements that attain their norm in terms of classical operators, it is shown that there are tensors and nuclear operators that attain their respective norms, but that not all of them do. Several positive results are found about the density of the norm-attaining elements in these spaces, but it is proven that such density does not always hold for tensors, although the analogous question for nuclear operators remains open. Finally, in chapter 5 we study problems about the spaceability of the set of Lipschitz functions that strongly attain their norm over an infinite metric space M, SNA(M). We first show that if the metric is infinite, then SNA(M) is n-linear for all n. We see that every Banach space can be formed with functions of SNA(M) for an appropriately chosen metric space, and we study possible restrictions on which spaces can be formed if the metric is small (separable, or even sigma-precompact). Finally, an exhaustive study is carried about the possibility of finding c_0 in SNA(M). It was recently shown that this can always be achieved isomorphically, and we show that it cannot always be done isometrically, although we also see that this can be done on many occasions. The chapter concludes with a small study for the non-separable case. Finally, there is a chapter of conclusions and open questions, and an exhaustive and extensive list of references

Minimal Ramsey graphs, orthogonal Latin squares, and hyperplane coverings

This thesis consists of three independent parts. The first part of the thesis is concerned with Ramsey theory. Given an integer $q\geq 2$, a graph $G$ is said to be \emph{$q$-Ramsey} for another graph $H$ if in any $q$-edge-coloring of $G$ there exists a monochromatic copy of $H$. The central line of research in this area investigates the smallest number of vertices in a $q$-Ramsey graph for a given $H$. In this thesis, we explore two different directions. First, we will be interested in the smallest possible minimum degree of a minimal (with respect to subgraph inclusion) $q$-Ramsey graph for a given $H$. This line of research was initiated by Burr, Erdős, and Lovász in the 1970s. We study the minimum degree of a minimal Ramsey graph for a random graph and investigate how many vertices of small degree a minimal Ramsey graph for a given $H$ can contain. We also consider the minimum degree problem in a more general asymmetric setting. Second, it is interesting to ask how small modifications to the graph $H$ affect the corresponding collection of $q$-Ramsey graphs. Building upon the work of Fox, Grinshpun, Liebenau, Person, and Szabó and Rödl and Siggers, we prove that adding even a single pendent edge to the complete graph $K_t$ changes the collection of 2-Ramsey graphs significantly. The second part of the thesis deals with orthogonal Latin squares. A {\em Latin square of order $n$} is an $n\times n$ array with entries in $[n]$ such that each integer appears exactly once in every row and every column. Two Latin squares $L$ and $L'$ are said to be {\em orthogonal} if, for all $x,y\in [n]$, there is a unique pair $(i,j)\in [n]^2$ such that $L(i,j) = x$ and $L'(i,j) = y$; a system of {\em $k$ mutually orthogonal Latin squares}, or a {\em $k$-MOLS}, is a set of $k$ pairwise orthogonal Latin squares. Motivated by a well-known result determining the number of different Latin squares of order $n$ log-asymptotically, we study the number of $k$-MOLS of order $n$. Earlier results on this problem were obtained by Donovan and Grannell and Keevash and Luria. We establish new upper bounds for a wide range of values of $k = k(n)$. We also prove a new, log-asymptotically tight, bound on the maximum number of other squares a single Latin square can be orthogonal to. The third part of the thesis is concerned with grid coverings with multiplicities. In particular, we study the minimum number of hyperplanes necessary to cover all points but one of a given finite grid at least $k$ times, while covering the remaining point fewer times. We study this problem for the grid $\mathbb{F}_2^n$, determining the number exactly when one of the parameters $n$ and $k$ is much larger than the other and asymptotically in all other cases. This generalizes a classic result of Jamison for $k=1$. Additionally, motivated by the recent work of Clifton and Huang and Sauermann and Wigderson for the hypercube $\set{0,1}^n\subseteq\mathbb{R}^n$, we study hyperplane coverings for different grids over $\mathbb{R}$, under the stricter condition that the remaining point is omitted completely. We focus on two-dimensional real grids, showing a variety of results and demonstrating that already this setting offers a range of possible behaviors.Diese Dissertation besteht aus drei unabh\"angigen Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit Ramseytheorie. Für eine ganze Zahl $q\geq 2$ nennt man einen Graphen \emph{$q$-Ramsey} f\"ur einen anderen Graphen $H$, wenn jede Kantenf\"arbung mit $q$ Farben einen einfarbigen Teilgraphen enthält, der isomorph zu $H$ ist. Das zentrale Problem in diesem Gebiet ist die minimale Anzahl von Knoten in einem solchen Graphen zu bestimmen. In dieser Dissertation betrachten wir zwei verschiedene Varianten. Als erstes, beschäftigen wir uns mit dem kleinstm\"oglichen Minimalgrad eines minimalen (bezüglich Teilgraphen) $q$-Ramsey-Graphen f\"ur einen gegebenen Graphen $H$. Diese Frage wurde zuerst von Burr, Erd\H{o}s und Lov\'asz in den 1970er-Jahren studiert. Wir betrachten dieses Problem f\"ur einen Zufallsgraphen und untersuchen, wie viele Knoten kleinen Grades ein Ramsey-Graph f\"ur gegebenes $H$ enthalten kann. Wir untersuchen auch eine asymmetrische Verallgemeinerung des Minimalgradproblems. Als zweites betrachten wir die Frage, wie sich die Menge aller $q$-Ramsey-Graphen f\"ur $H$ verändert, wenn wir den Graphen $H$ modifizieren. Aufbauend auf den Arbeiten von Fox, Grinshpun, Liebenau, Person und Szabó und Rödl und Siggers beweisen wir, dass bereits der Graph, der aus $K_t$ mit einer h\"angenden Kante besteht, eine sehr unterschiedliche Menge von 2-Ramsey-Graphen besitzt im Vergleich zu $K_t$. Im zweiten Teil geht es um orthogonale lateinische Quadrate. Ein \emph{lateinisches Quadrat der Ordnung $n$} ist eine $n\times n$-Matrix, gef\"ullt mit den Zahlen aus $[n]$, in der jede Zahl genau einmal pro Zeile und einmal pro Spalte auftritt. Zwei lateinische Quadrate sind \emph{orthogonal} zueinander, wenn f\"ur alle $x,y\in[n]$ genau ein Paar $(i,j)\in [n]^2$ existiert, sodass es $L(i,j) = x$ und $L'(i,j) = y$ gilt. Ein \emph{k-MOLS der Ordnung $n$} ist eine Menge von $k$ lateinischen Quadraten, die paarweise orthogonal sind. Motiviert von einem bekannten Resultat, welches die Anzahl von lateinischen Quadraten der Ordnung $n$ log-asymptotisch bestimmt, untersuchen wir die Frage, wie viele $k$-MOLS der Ordnung $n$ es gibt. Dies wurde bereits von Donovan und Grannell und Keevash und Luria studiert. Wir verbessern die beste obere Schranke f\"ur einen breiten Bereich von Parametern $k=k(n)$. Zusätzlich bestimmen wir log-asymptotisch zu wie viele anderen lateinischen Quadraten ein lateinisches Quadrat orthogonal sein kann. Im dritten Teil studieren wir, wie viele Hyperebenen notwendig sind, um die Punkte eines endlichen Gitters zu überdecken, sodass ein bestimmter Punkt maximal $(k-1)$-mal bedeckt ist und alle andere mindestens $k$-mal. Wir untersuchen diese Anzahl f\"ur das Gitter $\mathbb{F}_2^n$ asymptotisch und sogar genau, wenn eins von $n$ und $k$ viel größer als das andere ist. Dies verallgemeinert ein Ergebnis von Jamison für den Fall $k=1$. Au{\ss}erdem betrachten wir dieses Problem f\"ur Gitter im reellen Vektorraum, wenn der spezielle Punkt überhaupt nicht bedeckt ist. Dies ist durch die Arbeiten von Clifton und Huang und Sauermann und Wigderson motiviert, die den Hyperwürfel $\set{0,1}^n\subseteq \mathbb{R}^n$ untersucht haben. Wir konzentrieren uns auf zwei-dimensionale Gitter und zeigen, dass schon diese sich sehr unterschiedlich verhalten können

The Hilbert Null-cone on Tuples of Matrices and Bilinear Forms

We describe the null-cone of the representation of G on M p , where either G = SL(W) × SL(V) and M = Hom(V,W) (linear maps), or G = SL(V) and M is one of the representations S 2(V *) (symmetric bilinear forms), Λ2(V *) (skew bilinear forms), or $$V^* \otimes V^*$$ (arbitrary bilinear forms). Here V and W are vector spaces over an algebraically closed field K of characteristic zero and M p is the direct sum of p of copies of M. More specifically, we explicitly determine the irreducible components of the null-cone on M p . Results of Kraft and Wallach predict that their number stabilises at a certain value of p, and we determine this value. We also answer the question of when the null-cone in M p is defined by the polarisations of the invariants on M; typically, this is only the case if either dim V or p is small. A fundamental tool in our proofs is the Hilbert-Mumford criterion for nilpotency (also known as unstability